Grundlagen der elementanalytischen Sternspektroskopie - FG ...

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linken Seite zu einer Konstanten mit dem Wert B 2 = 2mEges ħ -2 zusammen. Die Gleichung
lautet dann:
' ' x = −B 2 ⋅x
Formel 4.1.2.17: zeitunabhängige
Schrödingergleichung ohne Potential
Die zweite Ableitung der Wellenfunktion stimmt bis auf den Faktor -B 2 mit der
Wellenfunktion überein. Diese Eigenschaft besitzen sowohl die Sinus- als auch die
Cosinusfunktion (vgl.: sin''(x) = -sin(x) ). Da Ψ(0) = 0 jedoch ein Knotenpunkt ist, kommt nur
die Sinusfunktion in Frage. Diese Bedingung nennt man auch Randbedingung. Eine zweite
Randbedingung lautet Ψ(a) = 0, da dort ebenfalls ein Knotenpunkt liegt. Die Aufenthalts-
wahrscheinlichkeit des Elektrons muss außerhalb des Potentials Null sein, daher sind diese
Randbedingungen notwendig. Unsere Wellenfunktion hat die Form:
x = A⋅sin Bx
Formel 4.1.2.18: Ansatz zur Lösung
der Schrödingergleichung
Die zweite Randbedingung Ψ(a) = A ·sin(B ·a) = 0 ist dann gegeben, wenn B ·a = n ·π, denn
der Sinus hat bei n ·π eine Nullstelle. Über B können wir dann die Gesamtenergie ausdrücken.
B = n⋅
a = 2mE ges
ℏ 2
E ges = n 2 ⋅ ℏ2 2
2ma 2 = n2 ⋅ h2
8ma 2
Formel 4.1.2.19: Gesamtenergie im
Potentialtopf
Wir haben hier ausschließlich mit Randbedingungen und der zeitunabhängigen
Schrödingergleichung die Formel für die Gesamtenergie aus Formel 4.1.2.16 und deren
Quantisierung hergeleitet. Das war bei Bohr nicht der Fall. Die Schrödingergleichung muss