Grundlagen der elementanalytischen Sternspektroskopie - FG ...

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Die Ähnlichkeit zum eindimensionalen Potential lässt sich noch erkennen, wenn wir die
Wahrscheinlichkeitsdichten des dazugehörenden Niveaus auf die jeweilige Achse projezieren.
Für den Grundzustand ist das noch kein Problem, für den ersten Anregungszustand erhalten
wir drei unterschiedliche Orientierungen der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im Raum,
jeweils um 90°, wie eingezeichnet, gedreht. Jedes n kann zwar unabhängig voneinander
beliebige Werte annehmen, für den Fall des ersten Anregungszustandes kann jedoch nur ein n
den Wert Zwei besitzen, während die beiden anderen jeweils Eins haben müssen. Je nachdem
welches n diese Werte annimmt, ergeben sich unterschiedliche Ausrichtungen im Raum, die
jedoch alle die gleiche Energie haben. Hier erkennt man erstmals die Verwandtschaft mit
Atomorbitalen bei denen trotz unterschiedlicher Ausrichtung auch die selben Energieniveaus
resultieren. Auffällig in der Abbildung ist die Knotenfläche, auf der die Wahrscheinlichkeit
ein Elektron zu finden Null ist. Dies ist analog zu den Knotenpunkten im eindimensionalen
Fall zu sehen.
Wir haben nun eine Ahnung davon, wie die Schrödingergleichung funktioniert. Für die
Anwendung auf ein Atom bedarf es jedoch sehr viel mehr Mathematik, mit der wir uns nicht
aufhalten wollen. Einen kleinen Einblick gewähren wir uns aber dennoch, wenn auch wieder
nur für das simpelste Element, den Wasserstoff.
Wir befinden uns jetzt im Atom und müssen natürlich die potentielle Energie des Elektrons
berücksichtigen. Diese kennen wir bereits aus Formel 4.1.1.9. Die potentielle Energie des
Elektrons ist abhängig von seinem Abstand vom Kern, der der Radius einer Kugel ist. Statt in
kartesischen Koordinaten muss daher in Polarkoordinaten gerechnet werden, denn das
Potential ist kugelsymmetrisch und kein Quader. Die Schrödingergleichung lautet zunächst
analog zu Formel 4.1.2.15 und wird für den dreidimensionalen Fall erweitert:
Eindimensional: − ℏ2
2m ⋅ d 2
d x 2 E pot ⋅ = E ges ⋅
Dreidimensional: − ℏ2
2m ⋅ d 2
d x 2 d2
d y 2 d2
d z 2 E pot⋅ = E ges⋅
Formel 4.1.2.23: Ein- und dreidim. Schrödingergl., oben: Ψ ist Ψ (x), unten: Ψ ist Ψ (x;y;z)
Den Ausdruck in Klammern kann man auch durch einen Operator ausdrücken, den sog.
Laplace-Operator. Dieser soll nun auf Kugelkoordinaten umgeformt werden.