Grundlagen der elementanalytischen Sternspektroskopie - FG ...

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Die Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb eines Orbitals ist wie wir sehen (Abbildung
4.1.2.9) nicht überall gleich. Für den Grundzustand liegt die größte Wahrscheinlichkeits-
dichte beim Bohrschen Radius, für höhere Zustände liegen die Maxima der radialen Dichten
der Zustände so wie im Bohr-Sommerfeld-Modell beschrieben, jedoch existieren auch noch
Nebenmaxima. Die Lösung der Schrödingergleichung ergibt bei Vernachlässigung der Masse
des Protons und der damit zugrundeliegenden Schwerpunktsdiskussion des Systems Elektron-
Kern, für den Wasserstoff genau das Bohrsche Atommodell. Für höhere Elemente mit mehr
Elektronen wird die Schrödingergleichung sehr viel komplexer und die Wellenfunktion
ebenso. Sie ist jedoch das beliebteste Mittel zur näherungsweisen Beschreibung von
Zuständen und Energien der Quantenobjekte. Es gibt übrigens keine wirkliche Herleitung der
Schrödingergleichung, denn sie basiert auf keiner wirklichen klassischen Theorie, bis auf der
Annahme von Materiewellen durch De Broglie. Umso erstaunlicher erscheint da die
Denkleistung Schrödingers, weshalb Richard Feynman (1918-1988), der Schöpfer des
Doppelspaltexperiments auch folgende treffenden Worte für die Schrödingergleichung fand:
„Woher haben wir diese Gleichung. Nirgendwoher. Es ist unmöglich, sie aus irgendetwas
Bekanntem herzuleiten. Sie ist Schrödingers Kopf entsprungen.“ Spektroskopische
Messungen bestätigen die Richtigkeit der Überlegungen Schrödingers, da sich die
Energiedifferenzen der berechneten Zustände als Spektrallinien zeigen. Mittels der drei
Separationskonstanten kann eindeutig die Form des Aufenthaltsraums, die Energie und
Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung eines Elektrons in der Atomhülle bestimmt werden. Für
jede Kombination von Quantenzahlen gibt es demnach unterschiedliche Lösungen der
Schrödingergleichung. Das Schema zur Lösung aus dem eindimensionalen Fall, den wir
berechnet haben, bleibt jedoch immer gleich. Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Atom
an den Rändern des Potentials asymptotisch gegen Null geht (Siehe Abbildung 4.1.2.9) ist der
Aufenthaltsraum prinzipiell nicht begrenzt. Als eigentliches Orbital bezeichnet man daher nur
den Raum in dem die Wahrscheinlichkeit das Elektron anzutreffen mindestens 90% ist, bzw.
|Ψ(x)| 2 ≥ 0,9.
4.1.3 Exkurs zu den Quantenzahlen
Wie bereits erwähnt, entsprechen die Separationskonstanten aus der Schrödingergleichung
den Quantenzahlen n, l und m und sind mathematisch miteinander verknüpft. Die
Hauptquantenzahl n gibt, allgemein gesagt, die Größe des Orbitals an und entspricht beim
Wasserstoff den Energieniveaus, da die Energie im Wasserstoff nur von n abhängt. Warum
das so ist werden wir gleich sehen. Die Quantenzahl l bezeichnet die Form des Orbitals und
kann die Werte 0...(l-1) annehmen. Beispiele sehen wir in Abbildung 4.1.2.8. Sie wird auch