Grundlagen der elementanalytischen Sternspektroskopie - FG ...

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und somit für die stationäre Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten:
− ℏ2 1 d d 1
⋅[ ⋅ ⋅r2 2 2m r dr dr r 2 d d 1
⋅ ⋅sin
sin d d r 2 sin 2 2
d
⋅
d 2 ]⋅ E pot⋅ = E ges⋅
Formel 4.1.2.26: stationäre Schrödingergleichung, Ψ ist Ψ(r; ϑ;φ)
Wie schon beim eindimensionalen Potential wird für die Schrödingergleichung hier ebenfalls
ein Separationsansatz gemacht. Vorhin diente er dazu die Wellenfunktion in einen orts- bzw.
zeitabhängien Teil zu zerlegen, jetzt zerlegen wir in einen Radial- und einen Winkelanteil,
wobei wir die Winkel nochmal gesondert separieren können.
Formel 4.1.2.27: Separationsansatz
Die Wellenfunktion zerfällt daraufhin in drei Differentialfunktionen, die Radial-, Polar- und
Azimutalgleichung (vgl. Abbildung 4.1.2.6). Die Separationskonstanten dieser Funktionen
werden n, m und l genannt. Die Lösung von Θ(ϑ) ergibt sogenannte Legendresche Polynome.
Werden diese in Polarkoordinaten dargestellt, erhält man folgende Funktionen für einige der
Polynome in Abhängigkeit von m und l.
r ; ; = R r⋅ Y ;
= R r⋅⋅
Abbildung 4.1.2.7:Legendre-Polynome