Promotion_M_Hesse_upload.pdf - Ernst-Moritz-Arndt-Universität ...

3 Material und Methoden
A Ā Randsummen
B a b n 1 = a + b
¯B c d n 2 = c + d
Randsummen a + c b + d n = a + b + c + d
Tabelle 3.9: Vierfeldertafel für den χ 2 -Test
Unter der Nullhypothese H 0 sind die relevanten Ereignisse der Prüfgrößen ohne Zusammenhang
und unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit ihres Zutreffens wird
aus den relativen Häufigkeiten geschätzt. Es gilt annähernd die folgende Gleichung, die
nach Umstellung für die erwartete Häufigkeit für das Ereignis a unter Annahme der Nullhypothese
wie folgt aussieht:
a
a + b = a + c
n
Umstellung nach a: a =
(a + b)(a + c)
n
Analog lassen sich mit Hilfe der Randsummen auch die Wahrscheinlichkeiten für die
unter H 0 erwarteten Häufigkeiten für b, c und d berechnen. Der Chi 2 -Test vergleicht nun
die beobachteten Häufigkeiten (B) a, b, c und d mit den Häufigkeiten, die unter der Nullhypothese
zu erwarten sind (E). Man erhält also für jedes der vier Ereignisse einen
Quotienten. Aus der Summe dieser vier Quotienten wird die Prüfgröße χ 2 gebildet. Sie
ist umso größer, je mehr die beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten Häufigkeiten
abweichen. Die Prüfgröße χ 2 wird jetzt mit dem Wert, einer nach Signifikanzniveau
und Stichprobenumfang adjustierten, Testprüfgröße verglichen. Wenn χ 2 größer ist als
die Testprüfgröße, wird die Nullhypothese abelehnt.
Fishers exakter Test stellt eine Alternative für den χ 2 -Test dar, wenn eine erwartete
Häufigkeit kleiner als fünf ist. Die Vierfeldertafel wird dann so angeordnet, dass die
kleinste erwartete Häufigkeit oben links steht. Sie ist dann die Häufigkeit a. Die Wahrscheinlichkeit
für diese Situation berechnet sich dann wie folgt:
P i =
(a + d)! (c + d)! (a + c)! (c + d)!
n! a! b! c! d!
52