2 - SAM - ETH Zürich

Definition 1.3.2 (Lokale Lipschitz-Stetigkeit).
f : Ω ↦→ R d heisst lokal Lipschitz-stetig
⇔:
∀(t,y) ∈ Ω: ∃δ > 0, L > 0:
‖f(τ,z) − f(τ,w)‖ ≤ L ‖z − w‖
∀z,w ∈ D: ‖z − y‖ < δ, ‖w − y‖ < δ, ∀τ ∈ I: |t − τ| < δ .
Damit kann (1.3.1) auf dem Intervall [t 0 , t 1 ] als Fixpunktgleichung T(y) = y in F geschrieben werden.
Aus der lokalen Lipschitz-Stetigkeit folgt für genügend kleines t 1 > t 0 , dass T eine Kontraktion
ist. Mit dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Behauptung für das Zeitintervall (t 0 , t 1 ). Das maximale
Existenzintervall erhält man über Fortsetzung.
Bemerkung 1.3.1 (Definitionsintervalle von Lösungen von AWPen).
Lokale Lipschitz-Stetigkeit impliziert globale Lipschitz-Stetigkeit auf jeder kompakten Teilmenge K
von Ω:
∃L = L(K) > 0: ‖f(τ,z) − f(τ,w)‖ ≤ L ‖z − w‖ ∀(τ,z), (τ,w) ∈ K .
Die Lösung eines Anfangswertproblems sucht sich Ihren Definitionsbereich selbst”
”
!
Definitionsbereich J(t 0 ,y 0 ) hängt (meist) von (t 0 ,y 0 ) ab !
Terminologie: Falls J(t 0 ,y 0 ) = I ➥ Lösung y : I ↦→ R d ist global.
△
✎ Notation: D y f ˆ= Ableitung von f nach Zustandsvariablen (= Jacobimatrix ∈ R d,d !)
Ein einfaches Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit (Beweis über Mittelwertsatz):
✬
✩
1.3
p. 37
1.3
p. 39
Lemma 1.3.3 (Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit).
Sind f und D y f stetig auf Ω, so ist f lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2).
✫
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✬
✩
Theorem 1.3.4 (Satz von Peano & Picard-Lindelöf). [1, Satz II(7.6)]
Falls f : ˆΩ ↦→ R d lokal Lipschitz-stetig in der Variablen y, so hat das AWP (1.1.6) ∀(t 0 ,y 0 ) ∈ ˆΩ
eine eindeutige maximal fortsetzbare Lösung y : J(t 0 ,y 0 ) ↦→ D.
✫
✪
Beweisidee: (→ [27, I.§6]) Integration von (1.1.6) liefert
y(t) = y 0 +
∫ t
f(s,y(s)) ds,
t 0
t ≥ t 0 . (1.3.1)
Definiere Raum
F = {y ∈ C([t 0 , t 1 [), y(t 0 ) = y 0 }
für ein t 1 > t 0 und den Operator
∫ t
T : F → F, T : y ↦→ z(t) = y 0 + f(s,y(s)) ds.
1.3
t 0
p. 38
Definition 1.3.5 (Evolutionsoperator).
Die zweiparametrige Familie Φ s,t von Abbildungen Φ s,t : D ↦→ D heisst Evolutionsoperator
zur Dgl. ẏ = f(t,y), wenn
t ∈ J(s,z) ↦→ Φ s,t z Lösung des AWP
{
˜Ω ↦→ D
Definitionsbereich: Φ :
(t,s,y) ↦→ Φ s,t y
ẏ = f(t,y) ,
y(s) = z ,
, ˜Ω :=
⋃
(s,y)∈Ω
für alle (s,z) ∈ Ω .
J(s,y) × {(s,y)}
Satz 1.3.4 ⇒ Φ t,t = Id , Φ s,t y = (Φ r,t ◦ Φ s,r )y , t,r ∈ J(s,y), (s,y) ∈ Ω . (1.3.2)
Konvention: Für autonome Differentialgleichungen (1.1.3) (→ Bem. 1.1.5): Φ t := Φ 0,t
➣ Falls J(0,y) = R ∀y ∈ D aus (1.3.2):
Gruppe von Abbildungen von D: Φ s ◦ Φ t = Φ s+t , Φ −t ◦ Φ t = Id ∀t ∈ R . (1.3.3)
1.3
p. 40