2 - SAM - ETH Zürich

y
y h (t 1 )
y(t)
y 0
✁
t
t 0 t 1 Fig. 22
Explizites Euler-Verfahren
(Eulersches Polygonzugverfahren)
Erster Schritt des expliziten Euler-Verfahrens
(d = 1):
Steigung der Tangente = f(t 0 ,y 0 )
y h (t 1 ) ist Startwert für nächsten Schritt !
In Formeln: durch explizites Eulerverfahren erzeugte Näherungen für y(t k ) erfüllen die Rekursion
y k+1 := y h (t k+1 ) = y h (t k ) + h k f(t k ,y h (t k )) , k = 0,...,N − 1 , (1.4.2)
mit lokaler (Zeit)schrittweite h k := t k+1 − t k .
Beispiel 1.4.2 (Konvergenz(-geschwindigkeit) des expliziten Euler-Verfahrens).
AWP für Riccati-Dgl. (1.1.2) auf [0, 1]
Explizites Euler-Verfahren (1.4.2) mit
uniformem Zeitschritt h = 1/n,
n ∈ {5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640}.
Beobachtung:
Fehler err h := |y(1) − y h (1)|
Algebraische Konvergenz
err h = O(h)
error (Euclidean norm)
10 0
10 −1
10 −2
y0 = 0.10
y0 = 0.20
y0 = 0.40
y0 = 0.80
O(h)
10 −3
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
10 1 timestep h
Fig. 24 ✸
✎ Notation “Landau-O”:
✎ Alternative Notation: y k := y h (t k )
e(h) = O(g(h)) für h → 0 :⇔ ∃h 0 > 0, C > 0: |e(h)| ≤ Cg(h) ∀0 ≤ h ≤ h 0 .
1.4
p. 61
1.4
p. 63
Veranschaulichung: Explizites Eulerverfahren
Anfangswertproblem
für
Riccati-Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.1.1
y 0 = 2 1 , t 0 = 0, T = 1,
gleichgrosse Zeitschritte h = 0.2
ẏ = y 2 + t 2 . (1.1.2)
↦→ ˆ= Richtungsfeld der Riccati-Dgl.
✄
y
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
exact solution
explicit Euler
Bemerkung 1.4.1 (Explizites Eulerverfahren als Differenzenverfahren).
0.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
t
Fig. 23
Definition 1.4.1 (Arten der Konvergenz).
Sei err h der Diskretisierungsfehler eines Verfahrens zum Diskretisierungsparameter/Schrittweite
h, h > 0.
err h = O(h α ) :⇔ Algebraische Konvergenz der Ordnung α > 0
err h = O(exp(−βh −γ )), :⇔ exponentielle Konvergenz, falls β,γ > 0
Fehlerplots bei algebraischer Konvergenz (h i = (3/2) −i , i = 1, ...,10)
(1.4.2) aus Approximation von Ableitung
dt d durch Vorwärtsdifferenzenquotienten auf Zeitgitter G :=
{t 0 , t 1 ,...,t N }:
ẏ = f(t,y) ←→ y h(t k+1 ) − y h (t k )
h k
= f(t k ,y h (t k )) , k = 0,...,N − 1 .
Frage: Wie genau ist die Näherungslösung ?
△
1.4
p. 62
1.4
p. 64