2 - SAM - ETH Zürich

2.3 Runge-Kutta-Verfahren
Nachteil der Kollokationseinschrittverfahren: Alle (mit Ausnahme des expliziten Euler-Verfahrens) sind
implizit (→ Def. 2.1.2)
Gibt es explizite Einschrittverfahren höhererOrdnung? Wenn ja, wie findet man diese?
Definition 2.3.1 (Runge-Kutta-Verfahren).
Für b i ,a ij ∈ R, c i := ∑ s
j=1 a ij , i,j = 1,...,s, s ∈ N, definiert
s∑
s∑
k i := f(t 0 + c i h,y 0 + h a ij k j ) , i = 1,...,s , Ψ t 0,t 0 +h y 0 := y 0 + h b i k i .
j=1
ein s-stufiges Runge-Kutta-Einschrittverfahren (RK-ESV) für AWP (1.1.6) mit Inkrementen k i ∈
R d .
i=1
2.3.1 Konstruktion
➣ Verallgemeinerung der Kollokationsverfahren → Sect. 2.2
(doch keine konkrete Konstruktionsvorschrift !)
AWP:
∫
ẏ(t) = f(t,y(t)) ,
t1
⇒ y(t 1 ) = y 0 + f(τ,y(t 0 + τ)) dτ
y(t 0 ) = y 0 t 0
Approximation durch Quadraturformel (auf [0, 1]) mit s Knoten c 1 , ...,c s :
y(t 1 ) ≈ y 1 ( = y h (t 1 )) = y 0 + h
Wie bekommt man diese Werte ?
s∑
b i f(t 0 + c i h, y(t 0 + c i h) ) , h := t 1 − t 0 .
i=1
Beispiel 2.3.1 (Konstruktion einfacher Runge-Kutta-Verfahren).
Quadraturformel → Trapezregel:
auf Intervall [a,b]
✄ Bootstrapping
Q(f) = 1 2 (b − a)(f(a) + f(b)) ↔ s = 2: c 1 = 0, c 2 = 1 , b 1 = b 2 = 1 2 , (2.3.1)
und y h (T) aus explizitem Eulerschritt (1.4.2)
k 1 = f(t 0 ,y 0 ) , k 2 = f(t 0 + h,y 0 + hk 1 ) , y 1 = y 0 + h 2 (k 1 + k 2 ) . (2.3.2)
(2.3.2) = explizite Trapezregel
Quadraturformel → einfachste Gauss-Quadraturformel (Mittelpunktsregel) & y h ( 1 2 (t 1 + t 0 )) aus
explizitem Eulerschritt (1.4.2)
k 1 = f(t 0 ,y 0 ) , k 2 = f(t 0 + h 2 ,y 0 + h 2 k 1) , y 1 = y 0 + hk 2 . (2.3.3)
2.3
p. 141
Falls a ij = 0 für i ≤ j Explizites Runge-Kutta-Verfahren → Def. 2.1.2
Kurznotation für Runge-Kutta-Verfahren:
Butcher-Schema
✄
c A
b T :=
c 1 a 11 · · · a 1s
. . .
. (2.3.4)
c s a s1 · · · a ss
b 1 · · · b s
A echte untere Dreiecksmatrix ➤ explizites Runge-Kutta-Verfahren
2.3
A untere Dreiecksmatrix ➤ diagonal-implizites Runge-Kutta-Verfahren (DIRK) p. 143
Bemerkung 2.3.2 (Stufenform der Inkrementgleichungen).
Für s-stufiges Runge-Kutta-Einschrittverfahren (RK-ESV), → Def. 2.3.1, definiere (Annahme: eindeutige
Lösbarkeit der Inkrementgleichungen)
Stufen (engl. stages:)
Stufengleichungen
g i = y 0 + h
g i = y 0 + h
s∑
a ij k j , i = 1, ...,s ⇒ k i = f(t 0 + c i h,g i ) .
j=1
(2.3.5)
s∑
a ij f(t 0 + c j h,g j ) , i = 1, ...,s . (2.3.6)
j=1
△
(2.3.3) = explizite Mittelpunktsregel
Diskrete Evolutionen der Form (2.2.3)
✸
2.3
p. 142
Interpretation: Runge-Kutta-Verfahren ↔ Polygonzugapproximation der Lösungskurve
→ Sect. 1.4
Anzahl b i ≠ 0 ˆ= Anzahl der Teilstrecken im Polygonzug
b i , i = 1, ...,s − 1 ˆ= relative Länge des i. Teilintervalls
k i ˆ= Steigung” der i. Teilstrecke
2.3
p. 144