2 - SAM - ETH Zürich

= Einschrittformulierung des Störmer-Verlet-Verfahrens (1.4.14), siehe Bem. 1.4.15 !
(2.5.6) ←→
r k+ 1 = r k + 1
2
2 hv k ,
v k+1 = v k + ha(r k+ 1) ,
2
r k+1 = r k+ 1 + 1
2
2 hv k+1 .
(2.5.7)
✸
2.6 Schrittweitensteuerung [5, Kap. 5], [16, Sect. 2.8]
Erinnerung an das Keplerproblem von Bsp. 2.4.6, Oregonator-Reaktion von Bsp. 1.2.5:
Häufig: Lösungen von AWPs zeigen stark ungleichmässiges Verhalten in der Zeit.
Idee:
Ersetze
Exakte Evolutionen −→ diskrete Evolutionen
Φ h g , Φh f −→ Ψ h g , Ψh f
Beispiel 2.5.4 (Inexakte Splittingverfahren). Forsetzung Bsp. 2.5.1
AWP von Bsp. 2.5.1, Inexakte Splittingverfahren auf der Grundlage verschiedener inexakter Basisverfahren:
Effizienz
✬
Ziel: ♯G möglichst klein
✫
Adaptive Wahl des Rechengitters für ESV durch zeitlokale Fehlerschätzung
(→ Ordnungssteuerung bei Extrapolationsverfahren, Sect. 2.4.5)
&
Genauigkeit
max ‖y(t k) − y k ‖ Ordnung(Ψ)
⇒ Φ t,t+h y(t k ) − Ψ t,t+h y(t k ) ≈ EST
} {{ } k := ˜Ψ t,t+h y(t k ) − Ψ t,t+h y(t k ) . (2.6.1)
Konsistenzfehler
Heuristik für konkretes h
Beispiel 2.6.1 (Qualität der Fehlerschätzung).
Skalares AWP: ẏ = cos 2 (ay), Lösung y(t) = 1/a arctan(at) auf [−1, 1], a = 10
☞
Ordnung der Splittingverfahren wird durch Konsistenzordnung von Φ h f , Φh g begrenzt.
Ausnahme: SS-EuEI: reversibles Verfahren ➢ Konsistenzordnung ≥ 2 nach Thm. 2.1.15
✸
Ψ ↔ Explizites Euler-Verfahren (1.4.2), Ordnung p = 1
˜Ψ ↔ Explizite Trapezregel (2.3.2), Ordnung p = 2
2.6
p. 198
2.6
p. 200