2 - SAM - ETH Zürich

Für S ∈ R d,d regulär, ŷ := S −1 y (→ Sect. 1.3.2, (1.3.4)), Ψ, ̂Ψ aus RK-Verfahren (→ Def. 2.3.1)
Ψ s,t
h = Diskrete Evolution zu ẏ = f(t,y) ,
̂Ψ s,t
ŜΨ s,t
h S −1 y = Ψ s,t
h
h = Diskrete Evolution zu ˙ŷ = ̂f(t,ŷ) y . (2.3.9)
→ (1.3.4)
Bemerkung 2.3.5 (Autonomisierungsinvarianz von Runge-Kutta-Verfahren).
Warum c i = ∑ s
j=1 a ij in Def. 2.3.1 ?
Autonomisierung:
→ Bem. 1.1.3
ẏ = f(t,y) ,
y(t 0 ) = y 0
▼
⇒
( y ˙
=
s)
(
f(s,y)
1
▼
)
=: ̂f
Evolutionen: Φ t+h,t ↔ ̂Φt+h,t ,
Diskrete Evl.: Ψ t+h,t
h ↔ ̂Ψt+h,t h .
Wunsch:
(
Φ t+h,t )
y
) ( )
=
t + h
y
t+h,t Ψ h y
t t + h
( (
̂Ψ t+h,t
∑ y
h = y + h si=1
)
b îki
t)
t + h ∑ s ,
i=1 b îκ i
(( y
,
s))
=
△
( ) ( ) y(0) y0
= .
s(0) t 0
(
t+h,t y ̂Ψ h . (2.3.10)
t)
) ( ∑ (̂ki f(t + h sj=1
a
=
iĵκ j ,y + h ∑ )
s
j=1 a iĵkj )
.
̂κ i 1
2.3
p. 149
Ziel:
Stückweise polynomiale Definition von t ↦→ y h (t)
Interpolationseigenschaft y h (t k ) = y k , k = 0, ...,N
y h|[tk ,t berechenbar aus k+1
y k , y k+1 und Inkrementen im k. Schritt
mit Polynomen p 0 ,p 1 , q i : R ↦→ R.
y h (t k + ξh k ) = p 0 (ξ)y k + p 1 (ξ)y k+1 +
Wunsch: Für RK-ESV der Ordnung p ➣
s∑
q(ξ)k i , 0 ≤ ξ ≤ 1 ,
i=1
max ‖y(t) − y h(t)‖ = O(h p )
0≤t≤T
Bemerkung 2.3.7 (Lösung der Inkrementgleichungen). → [5, Sect. 6.2.2]
Inkrementgleichungen für implizites RW-ESV (→ Def. 2.3.1) = (i.a. nichtlineares) Gleichungssystem
mit s · d Unbekannten
Im autonomen Fall (vgl. Beweis von Lemma 2.2.1)
k i := f(y 0 + h
s∑
a ij k j )
j=1
k i =f(y 0 +g i )
⇐⇒
g i = h
s∑
a ij f(y 0 + g j ) , i = 1, ...,s . (2.3.12)
j=1
△
2.3
p. 151
c i = ∑ s
j=1 a ij ➣ ̂k i = k i &
∑ si=1
b i = 1 . (2.3.11)
Die Grössen g i + y 0 heissen auch Stufen (engl. stages) des Runge-Kutta-Verfahrens, siehe
Bem. 2.3.2
= Hinreichende + notwendige Bedingungen für Autonomisierungsinvarianz eines RK-Verfahrens
✄
Analyse von autonomisierungsinvarianten RK-Verfahren kann sich auf autonome Probleme beschränken.
Bemerkung 2.3.6 (“Dense output”).
[14, Sect. II.5]
Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1) liefern Gitterfunktionen G ↦→ R d als Näherung von
t ↦→ y(t) in diskreten Zeitpunkten.
Was, wenn Näherungen für y(t) zu anderen Zeitpunkten/überall auf [0,T] gebraucht werden ?
△
2.3
p. 150
➣ iterative Lösung mit vereinfachtem Newton-Verfahren ( ”
eingefrorene” Jacobi-Matrix)
! Effizienz: Minimiere Anzahl von f, Df-Auswertungen
Mit g = (g 1 , ...,g s ) T ∈ R s·d definiere
⎛
h s ⎞
∑
a 1j f(y 0 + g j )
j=1
F(g) := g −
.
⎜
⎝ ∑
h s ⎟
a sj f(y 0 + g j )
⎠
j=1
⇒ {(2.3.12) ⇔ F(g) = 0} . (2.3.13)
h ”
klein” ➣ Natürliche Anfangsnaḧerung für vereinfachte Newton-Iteration: g (0) = 0
⎛
⎞
I − ha 11 Df(y 0 ) −ha 12 Df(y 0 ) · · · −ha 1s Df(y 0 )
DF(g (0) ) = ⎜ −ha 21 Df(y 0 ) I − ha 22 Df(y 0 ) .
⎟
⎝ . . .. . ⎠ . 2.3
−ha s1 Df(y 0 ) · · · −ha s,s−1 Df(y 0 ) I − ha ss Df(y 0 )
p. 152