2 - SAM - ETH Zürich

1.5
1.5
Verallgemeinerung: Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung, n ∈ N:
y (n) = f(t,y,ẏ,...,y (n−1) ) . (1.1.4)
y
1
y
1
✎ Notation: Superscript
(n) ˆ= n. Ableitung nach der Zeit t
0.5
0
0 0.5 1 1.5
t
Fig. 1
Richtungsfeld
0.5
0
0 0.5 1 1.5
t
Fig. 2
Lösungskurven
Lösungskurven tangential zum Richtungsfeld in jedem Punkt des erweiterten Zustandsraumes.
➤ Umwandlung in ODE (System !) erster Ordnung (d ← n · d):
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
y(t)
z
z 2
1
z(t) := ⎜ y (1) (t)
⎟
⎝ . ⎠ = ⎜z 2
⎟
⎝ . ⎠ ∈ z 3
Rdn : (1.1.4) ↔ ż = g(z) , g(z) :=
⎜ .
⎟
y (n−1) ⎝ z
(t) z n ⎠ .
n
f(t,z 1 , ...,z n )
(1.1.5)
Theorie
Theorie
für ODEs 1. Ordnung ➥ für ODEs n. Ordnung !
Numerische Verfahren Numerische Verfahren
✸
1.1
p. 13
Vorsicht: (1.1.5) weist spezielle Struktur auf, die ein generisches Verfahren für ODEs 1. Ordnung
vielleicht nicht zur Verbesserung der Genauigkeit/Verringerung des Rechenaufwandes auszunutzen
vermag (→ Diskussion in späteren Kapiteln)
1.1
p. 15
Spezialfall: f(t,y) = f(y) ➡ autonome Differentialgleichung (hier I = R)
ẏ = f(y) . (1.1.3)
Bemerkung 1.1.4. Die Transformation (1.1.5) ist nur eine von (unendlich) vielen Möglichkeiten der
Transformation von (1.1.4) in eine ODE 1. Ordnung.
△
Hier: f : D ⊂ R d ↦→ R d is ein (stetiges) Vektorfeld (Geschwindigkeitsfeld)
Bemerkung 1.1.2 (Translationsinvarianz von Lösungen autonomer Dgl.).
ODE + Anfangsbedigungen = Anfangswertproblem (AWP)
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 für ein (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω . (1.1.6)
t ↦→ y(t) Lösung von (1.1.3) ⇒ t ↦→ y(t + τ) Lösung von (1.1.3) ∀τ ∈ R
△
Definition 1.1.2 (Lösung eines Anfangswertproblems).
Eine Lösung y : J ↦→ D, t 0 ∈ J, von (1.1.1), die y(t 0 ) = y 0 erfüllt, heisst Lösung des
Anfangswertproblems (1.1.6).
Bemerkung 1.1.3 (Autonomisierung).
( )
y(t)
z(t) := =
t
(
z ′
z d+1
)
: (1.1.1) ↔ ż = g(z) , g(z) :=
(
f(zd+1 ,z ′ )
)
.
1
Bemerkung 1.1.5.
Wenn ODE autonom
Bem. 1.1.2
➣ O.B.d.A. setze t 0 = 0 in (1.1.6)
△
△
Bemerkung 1.1.6 (Anfangswerte für Dgl. höherer Ordnung).
1.1
p. 14
Anfangswertproblem für gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung (1.1.4):
y (n) = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 ,ẏ(t 0 ) = y 1 , . ..,y (n−1) (t 0 ) = y n−1 . p. 16
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