2 - SAM - ETH Zürich

Betrachte Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.1) mit Verfahrensfunktion
Ψ : Ω h ⊂ I × I × D ↦→ R d
Beweis. (durch Induktion nach N)
Ψ t,t+h y := y + hψ(t,y,h) . (2.1.5)
Inkrementfunktion
Annahme: Lokale Abschätzung für Konsistenzfehler(→ Def. 2.1.7): für ein p ∈ N
∥
∀(t,y) ∈ Ω: ∃C c > 0,δ > 0: ∥Φ t,t+h y − Ψ t,t+h y∥ ≤ C c h p+1 ∀|h| hinreichend klein ,
∀ty: |t − t| < δ, ‖y − y‖ < δ .
Beachte: Konsistenzordnung p für diskrete Evolution Ψ bzgl. ẏ = f(t,y) ⇒ (2.1.6)
(2.1.6)
y G = (y k ) N k=0 : Gitterfunktion erzeugt durch ESV Ψ auf Zeitgitter (T > t 0 ˆ= Endzeitpunkt) )
vgl. Def. 2.1.1.
G := {t 0 < t 1 < · · · < t N = T } ⊂ J(t 0 ,y 0 ) ,
Mit der Konvention, dass leere Summen verschwinden, gilt die Behauptung für N = 0 (Induktionsbeginn)
Induktionsschluss:
ξ N+1
(2.1.7)
≤ Ch p+1
N + (1 + lh N)ξ
⎛ N
⎛
⎞
⎞
∗
≤ Ch p+1
N + (1 + Lh N) ⎝C ( N−1 ) 1
max
k=0 hp k
⎝exp ( N−1 ∑ )
L h
L
k − 1 ⎠ + exp ( N−1 ∑ )
L h k ξ0 ⎠
k=0
k=0
⎛
≤ C ( N )
max
k=0 hp k
⎝h N + 1 (
exp ( N∑ ) ) ⎞
L h
L k − 1 − LhN ⎠ + exp ( N∑ )
L h k ξ0
k=0
k=0
Das ist die Behauptung des Lemmas für N + 1.
∗: Benutzt die Induktionsannahme, d.h., die Behauptung des Lemmas für ξ N .
Benutzt die elementare Abschätzung 1+x ≤ exp(x), x ∈ R (Konvexität der Exponentialfunktion).
✬
Theorem 2.1.10 (Kovergenztheorem für Einschrittverfahren).
Es gelte Annahme (2.1.6) und die Darstellung (2.1.5). Ist die Inkrementfunktion ψ lokal
Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2) in der Zustandsvariablen y, dann
(i) liefert die Verfahrensfunktion Ψ für alle Zeitgitter G mit hinreichend kleinem h G eine
Gitterfunktion y G zum Anfangswert y 0 ,
(ii) konvergiert diese Familie {y G } G von Gitterfunktionen von der Ordnung p gegen t ↦→ y(t),
siehe Def. 2.1.4
✫
Hilfsmittel beim Beweis:
✩
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2.1
p. 101
Beweis von Thm. 2.1.10.
➀ Kompakte Umgebung der Lösungstrajektorie t ↦→ y(t) zum Anfangswert y 0 :
Für hinreichend kleines δ > 0:
K δ := {(t,y) ∈ I × R d : t 0 ≤ t ≤ T, ‖y − y(t)‖ ≤ δ} , δ > 0 .
K δ ⊂ Ω
Infolge der lokalen Lipschitz-Bedingung an ψ und der lokalen Konsistenzfehlerabschätzung (2.1.6)
➁ Annahme A1: (y k ) N k=0 existiert und y k ∈ K δ ⊂ Ω für ein δ > 0. Diese Annahme wird a posteriori
(durch Induktion nach N) für hinreichend kleines h G besätigt.
2.1
p. 103
✬
Lemma 2.1.11 (Diskretes Gronwall-Lemma, siehe Lemma 1.3.7).
Erfüllt die Folge (ξ k ) k∈N0 , ξ k ≥ 0, die Differenzenungleichung
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ξ k+1 ≤ Ch p+1
k + (1 + Lh k )ξ k , k ∈ N 0 , L,C,h k ≥ 0 , (2.1.7)
so gilt
⎛
⎞
ξ N ≤ C ( ) 1
max
k=0,...,N−1 hp k
⎝exp ( N−1 ∑ )
L h
L
k − 1 ⎠ + exp ( N−1 ∑ )
L h k · ξ0 , N ∈ N 0 .
k=0
k=0
✩
✪
2.1
p. 102
➂ Beachte y k+1 = Ψ t k,t k+1 y k ➣ Rekursion für Fehler e k := y(t k ) − y k
(
)
)
e k+1 = y(t k+1 ) − Ψ t k,t k+1y(tk ) +
(Ψ t k,t k+1y(tk ) − Ψ t k,t k+1yk
} {{ } } {{ }
Einschrittfehler
propagierter Fehler
(2.1.5)
= τ(t k ,y(t k ), h k ) + e k + h k (ψ(t k ,y(t k ), h k ) − ψ(t k ,y k , h k )) ,
wobei die Def. 2.1.7 des Konsistenzfehlers τ benutzt worden ist.
➃ Kompaktheitsargumente:
(2.1.8)
2.1
p. 104