2 - SAM - ETH Zürich

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p
Beachte: (1.4.11) erfordert Auflösen einer (evtl. nichtlinearen) Gleichung nach y k+1 !
(➤ Terminologie ”
implizit”)
Bemerkung 1.4.8 (Implizite Mittelpunktsregel als Differenzenverfahren).
2
1.5
1
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
40 timesteps on [0,10.000000]
1.5
1
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
160 timesteps on [0,10.000000]
(1.4.11) aus Approximation der Zeitableitung
dt d durch zentralen Differenzenquotienten auf Zeitgitter
G := {t 0 , t 1 ,...,t N }:
ẏ = f(t,y) ←→ y h(t k+1 ) − y h (t k )
h k
= f( 1 2 (t k + t k+1 ), 1 2 (y h(t k ) + y(t k+1 )), k = 0, ...,N − 1 .
Beispiel 1.4.9 (Implizite Mittelpunktsregel für logistische Dgl.).
△
y 2
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−4 −3 −2 −1 0 1 2
y 1
3
Fig. 46
y 2
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0
y 1
0.5 1 1.5
Fig. 47
Wiederholung der numerischen Experimente aus Beispiel 1.4.3 für implizite Mittelpunktsregel (1.4.11):
☞ Implizite Mittelpunktsregel: Perfekte Längenerhaltung !
✸
✬
Lemma 1.4.2 (Erhaltung quadratischer erster Integrale durch implizite Mittelpunktsregel).
Falls I : D ⊂ R d ↦→ R, I(y) := 2 1yT Ay, A ∈ R d,d , erstes Integral (→ Def. 1.2.1) der
autonomen Dgl. ẏ = f(y) mit global differenzierbarer rechter Seite f : D ↦→ R d , dann gilt
✩
1.4
p. 77
✫
I(y k ) = I(y 0 ) ∀k ∈ Z für y k gemäss (1.4.11)
Beispiel 1.4.11 (Implizite Mittelpunktsregel für Pendelgleichung).
✪
1.4
p. 79
10 −1
10 −2
error (Euclidean norm)
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −6
10 −8
10 −10
10 −7
10 −8
λ = 1.000000
λ = 2.000000
λ = 5.000000
λ = 10.000000
10 −12
10 −14
10 0 timestep h
10 −2
10 −4
error (Euclidean norm)
λ = 10.000000
λ = 20.000000
λ = 50.000000
λ = 90.000000
O(h 2 )
10 −9
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 44
λ klein: O(h 2 )-Konvergenz (asymptotisch)
10 0 timestep h
Anfangswertproblem und numerische Experimente wie in Bsp. 1.4.6
6
4
2
0
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
50 timesteps on [0,5.000000]
6
4
2
100 timesteps on [0,5.000000]
4
3
2
1
200 timesteps on [0,5.000000]
−2
−4
0
−2
0
−1
−2
O(h 2 )
10 −16
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 45
λ gross: stabil für alle Zeitschrittweiten h ! ✸
−6
−8
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4
α
−4
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
Fig. 48
−6
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Fig. 49
−4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Fig. 50
α
−3
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
α
Beispiel 1.4.10 (Implizite Mittelpunktregel für Kreisbewegung).
1.4
p. 78
1.4
p. 80