2 - SAM - ETH Zürich

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3
Phase field for pendulum: l=1, g=1
3
2
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Lemma 1.2.3 (“Energieerhaltungssatz”).
Die Hamilton-Funktion H is ein erstes Integral des autonomen Hamiltonschen Systems.
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p = velocity
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−4 −3 −2 −1 0
q = α
1 2 3 4
Fig. 13
Vektorfeld für (1.2.11)
p = velocity
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
q = α
Fig. 14
Isolinien der Energie ↔ Lösungskurven
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Hamiltonsches System in der Form (1.1.1):
(
p
y = ⇒ (1.2.12) ⇔ ẏ = J
q)
−1 · gradH(y) , J :=
✎ Notation: I n ˆ= n × n Einheitsmatrix
( )
0 In
∈ R
−I n 0
2n,2n . (1.2.13)
Zusammen mit (1.2.4) folgt sofort Lemma 1.2.3, denn J ist schiefsymmetrisch (J T = −J) und für
jede schiefsymmetrische Matrix A ∈ R n,n gilt x · Ax = 0 ∀x ∈ R n .
Beispiel 1.2.9 (Massenpunkt im Zentralfeld).
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Newtonsche Bewegungsgleichungen eines Körpers (Ortskoordinate r = r(t)) mit Masse m > 0 im
Kraftfeld f : R n ↦→ R n , n ∈ N:
m ¨r(t) = f(r(t)) . (1.2.14)
Definition 1.2.2 (Hamiltonsche Differentialgleichung).
→ [11, Sect. VI.1.2]
Es sei n ∈ N, M ⊂ R n offen, H : R n × M ↦→ R, H = H(p,q), stetig differenzierbar. Dann
heisst die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
ṗ(t) = − ∂H
∂q (p(t),q(t)) ,
∂H
˙q(t) = (p(t),q(t)) , (1.2.12)
∂p
ein autonomes Hamiltonsches System mit Hamilton-Funktion (engl. Hamiltonian) H.
1.2
p. 29
Spezialfall:
radialsymmetrisches konservatives Kraftfeld
f(x) = −grad U(x) , x ∈ R n , U(x) = G(‖x‖) . (1.2.15) p. 31
√
✎ Notation: ‖x‖ := x 2 1 + · · · + x2 n ˆ= Euklidische Norm eines Vektors
Speziell G(r) = G 0
r
:
Keplerproblem: [11, Sect. I.2], [5, Sect. 1.1]
Bewegung im Gravitationsfeld einer Zentralmasse
(Sonne – Planet)
1.2
Für Pendelgleichung (1.2.11): n = 1, M =]0, 2π[, q ↔ α,
H(p,q) = 2 1p2 − g l cos q (Gesamtenergie !)
Terminologie: q ˆ= Ortsvariable, Konfigurationsvariable,
p ˆ= Impulsvariable (engl. momentum variable),
M ˆ= Konfigurationsraum.
Bemerkung 1.2.8. Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik führen auf autonome Hamiltonsches
Systeme, siehe [1, Sect. I.3] für eine Einführung, [2] für eine umfassende Darstellung.
△
←→
Hamiltonsches System (→ Def. 1.2.2) mit Konfigurationsraum M := R n \ {0}, q := r, und
Hamilton-Funktion (Energie) H(p,q) := 1
2m ‖p‖2 + G(‖q‖) (1.2.16)
p := mṙ ˆ= Impuls, kinetische Energie potentielle Energie
ṗ = −G ′ (‖q‖) q
‖q‖ , ˙q = m−1 p . (1.2.17)
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Lemma 1.2.4 (Bahnebene).
Jede Lösung ( p
q
)
: J ⊂ R ↦→ R 2n von (1.2.17) erfüllt
p(t),q(t) ∈ Span {p(t 0 ),q(t 0 )} ∀t 0 ,t ∈ J .
✩
1.2
p. 30
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1.2
p. 32