2 - SAM - ETH Zürich

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ist als Störung der Einheitsmatrix inverstierbar für hinreichend kleines h.
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Lemma 2.2.1 (Lösbarkeit der Inkrementgleichungen).
Ist f lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2) auf dem erweiterten Zustandsraum Ω, so gibt es zu
jedem (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω ein h 0 > 0 so, dass (2.2.3) für jedes h < h 0 eindeutig nach den Inkrementen
k i auflösbar ist, und diese sind stetige Funktionen in h.
Ist f ∈ C m (Ω, R d ), m ∈ N, dann sind auch die Inkremente m-fach stetig differenzierbare
Funktionen von y 0 , t 0 ,h.
✫
Beweis” (von Lemma 2.2.1, unter stärkeren Voraussetzungen, für autonomen Fall ẏ = f(y))
”
Annahme:
k i = f(y 0 + h
s∑
a ij k j ) ⇔
j=1
f ist stetig differenzierbar auf Ω
⎛
f(y 0 + h s ⎞
∑
a 1j k j )
j=1
G(h, k) = 0 , G(h, k) := k −
.
,
⎜
⎝ ∑
f(y 0 + h s ⎟
a sj k j )
⎠
j=1
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2.2
p. 117
Ein alternativer Beweis gibt zusätzliche Schrittweitenschranke für die Existenz einer Lösung der Inkrementgleichungen:
Hilfsmittel bei alternativem Beweis (→ Analysis-Vorlesung):
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Theorem 2.2.3 (Banachscher Fixpunktsatz, parameterabhängige Version).
V ⊂ R d abgeschlossen, U ⊂ R n offen, F : U × V ↦→ V sei total m-mal stetig differenzierbar,
m ∈ N 0 , und besitze die gleichmaässige Kontraktionseigenschaft
✫
∃0 ≤ q < 1: ‖F(u,z) − F(u,w)‖ ≤ q ‖z − w‖ ∀z,w ∈ V , ∀u ∈ U .
Dann gibt es eine m-mal stetig differenzierbare Funktion G : U ↦→ V so dass
F(u, G(u)) = G(u) ∀u ∈ U .
✎ Übliche Notation für Koeffizientenmatrix A := ( ) s
a ij i,j=1 ∈ Rs,s 2.2
p. 119
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mit k = (k 1 , ...,k s ) T ∈ R s·d .
Idee: Anwendung des Satzes über implizite Funktionen auf G : R × D ↦→ D
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Theorem 2.2.2 (Satz über implizite Funktionen).
→ Analysis-Vorlesung
Seien I ⊂ R q , U ⊂ R n offen und G = G(ξ,y) : I × U ↦→ R n sei stetig differenzierbar. Für
ein (ξ 0 ,y 0 ) ∈ I × U gelte G(ξ,y) = 0.
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s∑
✎ Zeilensummennorm ‖A‖ ∞ := max |a ij | (ˆ= Matrixnorm zur Maximumnorm)
i=1,...,s j=1
Beweis. (von Lemma 2.2.1 für autonomen Fall ẏ = f(y))
Vorbereitung: Wie im Beweis von Thm. 2.1.10 betrachten wir f wieder auf einer kompakten Umgebung
K δ der L¨soungskurve t ↦→ y(t) im erweiterten Phasenraum Ω. Daher (zunächst) ohne
Beschränkung der Allgemeinheit die Annahme:
f global Lipschitz-stetig, vgl. Def. 1.3.2:
Ist die Jacobi-Matrix ∂G
∂y (ξ 0, y 0 ) invertierbar, dann gibt es eine Umgebung V ⊂ I von ξ 0 und
eine eindeutige stetig differenzierbare Funktion ξ ↦→ z(ξ) so, dass
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G(ξ, z(ξ)) = 0 ∀ξ ∈ V .
k 0 := (f(y 0 ),...,f(y 0 )) T erfüllt G(0, k 0 ) = 0
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∃L > 0: ‖f(z) − f(w)‖ ≤ L ‖z − w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.6)
Wir nehmen auch an, dass sich eine r-Umgebung von y 0 in D befindet:
∃r > 0: ‖z − y 0 ‖ ≤ r ⇒ z ∈ D .
Idee: Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes Thm. 2.2.3 auf die (äquivalenten) Inkrementgleichungen
(2.2.5) für die g i : mit g := (g 1 ,...,g s ) ∈ R s·d
Ableitung (ˆ= Jacobi-Matrix) von G in (0,k 0 ) (aus Kettenregel)
⎛
D k G(0,k 0 ) = I − h ⎝ a ⎞
11D y f(y 0 ) · a 1s D y f(y 0 )
.
. ⎠ ,
a s1 D y f(y 0 ) · a ss D y f(y 0 )
2.2
p. 118
⎛
y 0 + h s ⎞
∑
a 1j f(g j )
j=1
(2.2.5) ⇔ g = F(h, g) , F(h, g) :=
.
. (2.2.7)
⎜
⎝ ∑
y + h s ⎟
a f(g )
⎠
2.2
p. 120