2 - SAM - ETH Zürich

Definition 2.1.12 (Nichtlineare Stabilität).
Eine diskrete Evolution Ψ ist (nichtlinear) stabil
∥
:⇔ ∃c > 0: ∥Ψ t,t+h y − Ψ t,t+h z∥ ≤ (1 + ch) ‖y − z‖
lokal gleichmässig in (t,y) für hinreichend kleine ‖y − z‖, h > 0.
Für ESV (2.1.5): Lokale Lipschitz-Stetigkeit von ψ ➣ nichtlineare Stabilität
Unter der Annahme der Eindeutigen Auflösbarkeit der Definitionsgleichung (1.4.11) nach y k+1 :
⇒ y = Ψ t+h,t Ψ t,t+h y .
Störmer-Verlet-Verfahren (→ Sect. 1.4.4) in Einschrittformulierung von Bem. 1.4.15
v k+ 1 = v k + h
2
2 f(y k) ,
y k+1 = y k + hv k+ 1 ,
2
v k+1 = v k+ 1 + h
2
2 f(y k+1) .
⇒
v k+ 1 = v k+1 − h
2
2 f(y k+1) ,
y k = y k+1 − hv k+ 1 ,
2
v k = v k+ 1 − h
2
2 f(y k) .
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Theorem 2.1.13 ( Konsistenz & (nichtlineare) Stabilität ⇒ Konvergenz ).
Falls Ψ konsistent mit Φ (von Ordnung p) und (nichtlinear) stabil, so konvergiert das Einschrittverfahren
global (von Ordnung p).
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Man erkennt Reversibilität an der Verfahrensvorschrift, wenn der Austausch y k ↔ y k+1 und h ↔
−h Gleichungen liefert, die mit der ursprünglichen Verfahrensvorschrift identisch sind.
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2.1.5 Reversibilität
2.1
p. 109
Theorem 2.1.15 (Konsistenzordnung reversibler ESV).
Die maximale Konsistenzordnung (→ Def. 2.1.9) eines reversiblen Einschrittverfahrens (→
Def. 2.1.14) ist gerade.
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Der Beweis verwendet folgendes Hilfsresultat ([5, Lemma 4.38]):
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2.1
p. 111
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Wir haben gesehen: Eine approximative diskrete Evolution Ψ (→ Sect. 2.1.1) kann im Allgemeinen
nicht erfüllen: Ψ r,s Ψ t,r = Ψ t,s
Jedoch: für s = t ist diese Forderung realisierbar !
Definition 2.1.14 (Reversible diskrete Evolutionen).
Eine diskrete Evolution Ψ : ˜Ω h ⊂ I × I × D ↦→ R d (und das zugehörige Einschrittverfahren)
heisst reversibel, falls
Lemma 2.1.16 (Störungslemma für diskrete Evolutionen).
Sei f zweimal stetig differenzierbar und Ψ eine zur ODE ẏ = f(t,y) konsistente (→ Def. 2.1.5)
diskrete Evolution, stetig differenzierbar in h und y. Dann gilt für (t,y) ∈ Ω und hinreichend
kleine z ∈ R d
Ψ t,t+h (y + z) = Ψ t,t+h y + z + h ∂f
∂y (t,y)z + r(h,z) , ‖r(h,z)‖ ≤ C(h2 ‖z‖ + h ‖z‖ 2 ) ,
mit C > 0 unabhängig von h und z.
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Ψ t,s Ψ s,t y = y ∀(t,y) ∈ Ω , ∀ |t − s| hinreichend klein .
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Thm. 2.1.15 erklärt in Bsp. 1.4.9 beoachtete O(h 2 )-Kovergenz der impliziten Mittelpunktsregel.
Beispiel 2.1.4 (Einfache reversible Einschrittverfahren).
implizite Mittelpunktsregel (1.4.11)
Ψ t,t+h y = y + hf(t + 2 1h, 2 1(y + Ψt,t+h y))
⇓
2.1
y = Ψ t,t+h y − hf(t + h − 2 1h, 2 1(y + Ψt,t+h y) . p. 110
2.2
p. 112