2 - SAM - ETH Zürich

Allgemeine Definition der Matrixexponentialfunktion durch
Wichtige Eigenschaft:
∞∑ 1
“Matrixexponentialreihe”: exp(M) =
k! Mk . (1.3.6)
k=0
Matrixexponentialfunktion kommutiert mit Ähnlichkeitstransformationen
M = S −1 AS ⇒ exp(M) = S −1 exp(A)S ∀A,M,S ∈ C d,d , S regulär. (1.3.7)
• Inhomogener Fall
Ansatz:
ẏ(t) = Ay(t) + g(t) partikuläre Lösung durch ”
Variation der Konstanten”:
y(t) = exp(At)z(t) mit z ∈ C 1 (R, R d ) → [1, Thm I(5.14)]
ẏ(t) = A exp(At)z(t) + exp(At)ż(t) = Ay(t) + g(t) = A exp(At)z(t) + g(t)
∫ t
ż(t) = exp(−At)g(t) ⇒ z(t) = y 0 + exp(−Aτ)g(τ) dτ
t 0
y(t) = exp(At)y 0 + ∫ t
t0
exp(A(t − τ))g(τ) dτ
Lsg. des homogenen Problems
Faltung mit Inhomogenität
Bemerkung 1.3.5 (Bedeutung linearer AWPe).
Linearisierung um einen stationären Punkt f(y ∗ ) = 0:
y ≈ y ∗ : f(y) = D y f(y ∗ )(y − y ∗ ) + O(|y − y ∗ | 2 ) ,
falls f ∈ C 2 .
➣ Lösungen von ẏ = f(y) verhalten sich in der Umgebung von y ∗ (qualitativ) wie Lösungen der
linearen ODE ẏ = D y f(y ∗ )y.
△
1.3.3 Sensitivität [5, Sect. 3.1]
1.3.3.1 Grundbegriffe
1.3
p. 45
Erinnerung
(→ Vorlesung ”
Numerische Methoden”):
1.3
p. 47
Allgemeinere Betrachtungen
→ [1, Kap. III]:
Bemerkung 1.3.4 (Allgemeine Variation-der-Konstanten-Formel). → [1, Thm. (11.13)]
Problem = Abbildung Π : X ↦→ Y von Datenraum X in den Ergebnisraum Y
(beide versehen mit Metriken d X , d Y )
A : J ⊂ R ↦→ R d,d stetige Matrixfunktion, J ⊂ R Intervall
g : J ↦→ R d stetig
✗
✖
Problem ist wohlgestellt (engl. well-posed), wenn Π stetig.
✔
✕
(s, t) ↦→ E(s, t) ∈ R d,d beschreibt Evolutionsoperator, definiert durch
∂E
(s, t) = A(t)E(s, t) ∀(s, t) ∈ J × J , E(s, s) = I . (1.3.8)
∂t
Dann ist die (eindeutige → Thm. 1.3.4) Lösung des nicht-autonomen linearen Anfangswertproblems
gegeben durch
ẏ = A(t)y + g(t) , y(t 0 ) = y 0 ,
Kondition/Sensitivität eines Problems:
Mass für Einfluss von Störungen in den Daten auf das Ergebnis
d
Absolute Kondition: κ abs := sup Y (Π(x), Π(x ′ ))
x,x ′ ∈X,x≠x ′ d X (x,x ′ . (1.3.10)
)
Sprachgebrauch: Problem ist ”
gut konditioniert”, wenn ”
κ abs ≈ 1”
∫t
y(t) = E(t, t 0 )y 0 +
t 0
E(t, s)g(s) ds , t ∈ J . (1.3.9)
△
1.3
p. 46
• Wohlgestelltheit und Gutkonditioniertheit eines Problems hängen entscheidend von den
gewählten Metriken ab. Diese sind bei praktischen Problemen dadurch bestimmt, “woran der
Anwender interessiert ist”.
1.3
p. 48