2 - SAM - ETH Zürich

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
2
Pendulum g = 9.800000, l = 1.000000,α(0)=1.570796,p(0)=0.000000
5
Pendulum g = 9.800000, l = 1.000000,α(0)=1.570796,p(0)=0.000000
Ordnung, siehe (1.1.5): mit v k+ 1
2
:= y k+1−y k
h
angle α
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
velocity p
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
ÿ = f(y)
↕
y k+1 − 2y k + y k−1 = h 2 k f(y k)
←→
←→
ẏ = v ,
˙v = f(y) .
↕
v k+ 1 = v k + h
2
2 f(y k) ,
y k+1 = y k + hv k+ 1 ,
2
v k+1 = v k+ 1 + h
2
2 f(y k+1) .
−1.5
−2
time t
Fig. 53
−4
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 54
Zweischrittverfahren
Einschrittverfahren
Startschritt (→ Bem. 1.4.13) ist implizit in der Einschrittformulierung enthalten.
△
Bemerkung 1.4.16 (Störmer-Verlet-Verfahren als Polygonzugmethode).
10
Energies for Stoermer−Verlet discrete evolution
1.4
p. 85
y/v
1.4
p. 87
9
8
energy
7
6
5
4
3
2
1
kinetic energy
potential energy
total energy
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 55
☞ Keine Energiedrift trotz grosser Zeitschrittweite
Perfekt periodische Orbits !
Kontrast: Bsp. 1.4.6
✸
Perspektive: Störmer-Verlet-Verfahren
als Einschrittverfahren
(siehe Bem. 1.4.15)
v k+ 1 = v
2 k− 1 + hf(y k ) ,
2
y k+1 = y k + hv k+ 1 .
2
v k−3/2
v k−1/2
v k+1/2
△
y k
f
f
y k−2
y k−1
y k+1
Bemerkung 1.4.15 (Einschrittformulierung des Störmer-Verlet-Verfahrens).
t k−2 t k−1 t k t k+1
t
Für uniforme Zeitschrittweite, vgl. (1.4.14), analog zur Umwandlung einer Dgl. 2. Ordnung → Dgl. 1.
Erinnerung (Bem. 1.2.2) an die Frage
für ODEs?”
”
Warum viele verschiedene numerischer Lösungsverfahren
1.4
p. 86
Antwort:
Jeder numerische Integrator hat spezielle Eigenschaften
1.4
➥ besonders geeignet/ungeeignet für bestimmte Klassen von AWPe p. 88