2 - SAM - ETH Zürich

s∑
k i = f(y 0 + h a ij k j ) =
j=1
⎛ ⎞ ⎛
⎞
s∑
s∑ s∑
= f(y 0 ) + h Df(y 0 ) ⎝ a ij k j
⎠ + 1 2 h2 D 2 f(y 0 ) ⎝ a ij k j , a ij k j
⎠ + O(h 3 )
j=1
j=1
Einsetzen ”
kürzerer Taylorentwicklungen” anstelle der Inkremente
Beachte:
➌
k i =f(y 0 ) + hDf(y 0 )
s∑
a ij
⎛
⎝f ( y 0 + hDf(y 0 )
j=1
(2.3.16)
Inkremente werden mit h multipliziert !
⎞
s∑
a il k l + O(h 2 ) ) ⎠ +
j=1
l=1
⎛
⎞
s∑
s∑
1
2 h2 D 2 f(y 0 ) ⎝ a ij (f(y 0 ) + O(h)), a ij (f(y 0 ) + O(h)) ⎠ + O(h 3 )
j=1
j=1
=f(y 0 ) + h · ∑s
j=1 a ij Df(y 0 )f(y 0 )+
} {{ }
=c i , siehe Bem. 2.3.5
h 2( ∑ s )
a il c l Df(y0 )Df(y 0 )f(y 0 ) + h 21 2 c2 i D2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 )) + O(h 3 ) .
l=1
Ψ h y 0 = y 0 + h
Ψ h y 0 = y 0 +
(
h
s∑
b i k i ➤ Entwicklung bis O(h 3 ) ausreichend
i=1
) (
s∑
s∑
b i f(y 0 ) + h 2 b i c i
)Df(y 0 )f(y 0 )+
⎛ i=1 ⎞ i=1
s∑ s∑
⎝h 2 b i a ij c j
⎠Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 )+
i=1 j=1
( )
s∑
1
2 h 2 b i c 2 i D 2 f(f(y 0 ),f(y 0 )) + O(h 4 ) .
i=1
(2.3.17)
Gleichsetzen der Koeffizienten der linear unabhängigen (→ Übung) elementaren Differentiale
1,f(y 0 ), Df(y 0 )f(y 0 ), Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 ),D 2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 ))
2.3
p. 157
s∑
b i c i = 1 2 , (2.3.19)
i=1
s∑
b i c 2 i = 1 3 ,
i=1
s∑ s∑
b i a ij c j = 1 (2.3.20)
6 .
i=1
☞ (2.3.18) hinreichend & notwendig für Konsistenzordnung p = 1, siehe Lemma 2.3.2
☞ (2.3.18) + (2.3.19) hinreichend & notwendig für Konsistenzordnung p = 2
Bemerkung 2.3.10 (Butcher-Bäume).
j=1
Allgemeiner kombinatorischer Algorithmus zum Aufstellen der RK-Bedingungsgleichungen: Butcher-
Bäume [5, Sect. 4.2.3], [11, Ch. III]
➞
Konstruktion von RK-Verfahren vorgegebener Konvergenzordnung durch Lösen der (nichtlinearen)
Bedingungsgleichungen (vom Typ (2.3.18)-(2.3.20)):
p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
♯B.G. 1 2 4 8 17 37 85 200 486 1205 20247374
Einige Konvergenzordnungen von Runge-Kutta-Verfahren:
Explizite Verfahren
Expliztes Eulerverfahren (2.2.1) p = 1
Explizite Trapezregel (2.3.2) p = 2
Explizite Mittelpunktsregel (2.3.3) p = 2
Klassisches Runge-Kutta-V. (2.3.7) p = 4
Kuttas 3/8-Regel (2.3.8) p = 4
Implizite Verfahren
Implizites Eulerverfahren (2.2.1) p = 1
Implizite Mittelpunktsregel (2.2.11) p = 2
Gauss-Kollokationsverfahren p = 2s
✸
△
2.3
p. 159
in (2.3.17) und (2.3.15)
Viele weitere RK-Verfahren ✄ [14, 15]
Hinreichende & notwendige Bedingungsgleichungen für Konsistenzordnung p = 3 eines
(autonomisierungsinvarianten) RK-Verfahrens:
s∑
b i = 1 , (2.3.18)
i=1
2.3
p. 158
Ordnungsschranken:
Für explizite Runge-Kutta-Verfahren p ≤ s
Für allgemeine Runge-Kutta-Verfahren p ≤ 2s
2.3
➣ Gauss-Kollokationsverfahren realisieren maximale Ordnung p. 160