2 - SAM - ETH Zürich

Vorlesung 401-2654-00L, Numerische Mathematik, FS 2008
Numerische Mathematik
(Numerik der ODEs)
1.3.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.3.2 Unser Problem: das Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.3.3 Wohlgestelltheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3.3.4 Asymptotische Kondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.3.3.5 Schlecht konditionierte AWPe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.4 Polygonzugverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4.1 Das explizite Eulerverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4.2 Das implizite Euler-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Prof. Ralf Hiptmair
1.4.3 Implizite Mittelpunktsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.4.4 Störmer-Verlet-Verfahren [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 Einschrittverfahren 89
Seminar for Applied Mathematics, ETH Zürich
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.1.1 Abstrakte Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.1.2 Konsistenz [5, Sect. 4.1.1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Entwurf Mai 2009, Subversion rev #18697
http://www.sam.math.ethz.ch/˜hiptmair/tmp/NUMODE09.pdf
Inhaltsverzeichnis
0.1 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Einleitung 10
1.1 Anfangswertprobleme (AWP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Beispiele und Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Ökologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Chemische Reaktionskinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Physiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4 Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Theorie [5, Sect. 2], [1, Ch. II] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.1 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.2 Lineare AWPe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.3 Sensitivität [5, Sect. 3.1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 p. 2
0.0
p. 1
0.0
2.1.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.1.4 Das Äquivalenzprinzip (Dahlquist, Lax) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1.5 Reversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.2 Kollokationsverfahren[5, Sect. 6.3], [11, Sect. II.1.2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2.1 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2.2 Konvergenz von Kollokationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 0.0
2.3 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 p. 3
2.3.1 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.3.2 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.4 Extrapolationsverfahren [5, Sect. 4.3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.4.1 Der Kombinationstrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.4.2 Extrapolationsidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.4.3 Extrapolation von Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.4.4 Lokale Extrapolations-Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.4.5 Ordnungssteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2.4.6 Extrapolation reversibler Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.5 Splittingverfahren [11, Sect. 2.5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.6 Schrittweitensteuerung [5, Kap. 5], [16, Sect. 2.8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3 Stabilität [5, Kap. 6] 219
3.1 Modellproblemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.2 Vererbung asymptotischer Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3.3 Nichtexpansivität [5, Abschn. 6.3.3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3.4 Gleichmässige Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.5 Steifheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
3.6 Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren [5, Sect. 6.4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.7 Exponentielle Integratoren [21, 24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
3.8 Differentiell-Algebraische Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.8.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.8.2 Runge-Kutta-Verfahren für Index-1-DAEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 0.0
3.8.3 DAEs mit höherem Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 p. 4

4 Strukturerhaltende numerische Integration 324
4.1 Polynomiale Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
4.2 Volumenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Kapitel 4:
Kapitel 6:
http://www.sam.math.ethz.ch/˜hiptmair/tmp/Literatur1.pdf
http://www.sam.math.ethz.ch/˜hiptmair/tmp/Literatur2.pdf
4.3 Verallgemeinerte Reversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
4.4 Symplektizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
4.4.1 Symplektische Evolutionen Hamiltonscher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
4.4.2 Symplektische Integratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
4.4.3 Rückwärtsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
4.4.4 Modifizierte Gleichungen: Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
4.4.5 Strukturerhaltende modifizierte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
4.5 Methoden für oszillatorische Differentialgleichungen [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
5 Randwertprobleme 455
Enzyklopädische Präsentation klassischer numerischer Integratoren:
E. HAIRER, S. NORSETT, AND G. WANNER, Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems,
Springer, Heidelberg, 2nd ed., 1993.
E. HAIRER AND G. WANNER, Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic
Problems, Springer, Heidelberg, 1991.
Umfassende Darstellung “strukturerhaltender” Integratoren:
Verzeichnisse 456
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
Verzeichnis der Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Verzeichnis der Definitionen und Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
Verzeichnis der MATLAB-CODE-Fragmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Allgemeine Informationen
0.0
p. 5
E. HAIRER, C. LUBICH, AND G. WANNER, Geometric numerical integration, vol. 31 of Springer Series
in Computational Mathematics, Springer, Heidelberg, 2002.
Gute Einführung in die Numerik Hamiltonscher Differentialgleichungen:
B. LEIMKUHLER AND S. REICH, Simulating Hamiltonian Dynamics, vol. 14 of Cambridge Monographs 0.0
on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2004. p. 7
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Dozent: Prof. Ralf Hiptmair, SAM, D-MATH, Büro: HG G 58.2 Tel.: 044 632 3404,
hiptmair@sam.math.ethz.ch
Assistent: Holger Heumann, SAM, D-MATH Büro: HG G 58.3, Tel.: 044 632 8587,
holger.heumann@sam.math.ethz.ch
http://elbanet.ethz.ch/wikifarm/rhiptmair/index.php?n=Main.NCSECourse
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Website:
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Prüfung:
Übungen:
schriftliche Prüfung am Rechner (teilweise MATLAB-basierte Programmieraufgaben),
keine (mitgebrachten) Hilfsmittel
Vorlesungsunterlagen werden als PDF-Datei zur Verf¨gung gestellt
• wöchentliches Übungsblatt (Bearbeitungszeit 1 Woche)
• MATLAB-basierte Programmieraufgaben
• Testatbedingung: 75% der Übungen abgegeben und akzeptiert
• (sub)section where the error has been found,
• precise location (e.g, after Equation (4), Thm. 2.3.3, etc. ). Refrain from giving page numbers,
• brief description of the error.
Alternative: E-mail an hiptmair@sam.math.ethz.ch, Subject: NUMODE
☞ Literatur:
P. DEUFLHARD AND F. BORNEMANN, Numerische Mathematik II, DeGruyter, Berlin, 2 ed., 2002. p. 6
0.0
0.1
p. 8

0.1 Danksagung
Dank geht an Frau Evgenia Ageeva für die Aufarbeitung der MATLAB-Codes zu numerischen Beispielen.
offene Teilmenge D ⊂ R d ˆ= Zustandsraum ↔ “Zustandsvariable” y (engl. state space)
Ω := I × D ˆ= erweiterter Zustandsraum (enthält Tupel (t,y))
✎ Notation (Newton): Punkt ˙ ˆ= (totale) Ableitung nach der Zeit t
✎ Notation: Fettdruck für Spaltenvektoren (Komponenten selektiert durch Subscript-Indices)
Für d > 1 heisst (1.1.1) auch System gewöhnlicher Differentialgleichungen:
⎛
(1.1.1) ⇐⇒ ⎝ y ⎞ ⎛
1
. ⎠ = ⎝ f ⎞
1(t,y 1 , ...,y d )
. ⎠ .
y d f d (t, y 1 ,...,y d )
0.1
p. 9
Grundannahme: stetige rechte Seite f : I × D ↦→ R d 1.1
p. 11
1 Einleitung
1.1 Anfangswertprobleme (AWP)
Definition 1.1.1 (Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung).
Eine Funktion y ∈ C 1 (J, D), J ⊂ I Intervall positiver Länge, heisst Lösung der gewöhnlichen
Differentialgleichung (1.1.1), falls
ẏ(t) = f(t,y(t)) für alle t ∈ J .
Beispiel 1.1.1 (Richtungsfeld und Lösungskurven).
Riccati-Differentialgleichung
skalare ODE
Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
ẏ = y 2 + t 2
➤
d = 1, I, D = R + . (1.1.2)
(engl. first-order ordinary differential equation (ODE)):
ẏ = f(t,y) (1.1.1)
f : I × D ↦→ R d ˆ= rechte Seite (d ∈ N)
I ⊂ R ˆ= (Zeit)intervall ↔ “Zeitvariable” t p. 10
1.1
1.1
p. 12

1.5
1.5
Verallgemeinerung: Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung, n ∈ N:
y (n) = f(t,y,ẏ,...,y (n−1) ) . (1.1.4)
y
1
y
1
✎ Notation: Superscript
(n) ˆ= n. Ableitung nach der Zeit t
0.5
0
0 0.5 1 1.5
t
Fig. 1
Richtungsfeld
0.5
0
0 0.5 1 1.5
t
Fig. 2
Lösungskurven
Lösungskurven tangential zum Richtungsfeld in jedem Punkt des erweiterten Zustandsraumes.
➤ Umwandlung in ODE (System !) erster Ordnung (d ← n · d):
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
y(t)
z
z 2
1
z(t) := ⎜ y (1) (t)
⎟
⎝ . ⎠ = ⎜z 2
⎟
⎝ . ⎠ ∈ z 3
Rdn : (1.1.4) ↔ ż = g(z) , g(z) :=
⎜ .
⎟
y (n−1) ⎝ z
(t) z n ⎠ .
n
f(t,z 1 , ...,z n )
(1.1.5)
Theorie
Theorie
für ODEs 1. Ordnung ➥ für ODEs n. Ordnung !
Numerische Verfahren Numerische Verfahren
✸
1.1
p. 13
Vorsicht: (1.1.5) weist spezielle Struktur auf, die ein generisches Verfahren für ODEs 1. Ordnung
vielleicht nicht zur Verbesserung der Genauigkeit/Verringerung des Rechenaufwandes auszunutzen
vermag (→ Diskussion in späteren Kapiteln)
1.1
p. 15
Spezialfall: f(t,y) = f(y) ➡ autonome Differentialgleichung (hier I = R)
ẏ = f(y) . (1.1.3)
Bemerkung 1.1.4. Die Transformation (1.1.5) ist nur eine von (unendlich) vielen Möglichkeiten der
Transformation von (1.1.4) in eine ODE 1. Ordnung.
△
Hier: f : D ⊂ R d ↦→ R d is ein (stetiges) Vektorfeld (Geschwindigkeitsfeld)
Bemerkung 1.1.2 (Translationsinvarianz von Lösungen autonomer Dgl.).
ODE + Anfangsbedigungen = Anfangswertproblem (AWP)
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 für ein (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω . (1.1.6)
t ↦→ y(t) Lösung von (1.1.3) ⇒ t ↦→ y(t + τ) Lösung von (1.1.3) ∀τ ∈ R
△
Definition 1.1.2 (Lösung eines Anfangswertproblems).
Eine Lösung y : J ↦→ D, t 0 ∈ J, von (1.1.1), die y(t 0 ) = y 0 erfüllt, heisst Lösung des
Anfangswertproblems (1.1.6).
Bemerkung 1.1.3 (Autonomisierung).
( )
y(t)
z(t) := =
t
(
z ′
z d+1
)
: (1.1.1) ↔ ż = g(z) , g(z) :=
(
f(zd+1 ,z ′ )
)
.
1
Bemerkung 1.1.5.
Wenn ODE autonom
Bem. 1.1.2
➣ O.B.d.A. setze t 0 = 0 in (1.1.6)
△
△
Bemerkung 1.1.6 (Anfangswerte für Dgl. höherer Ordnung).
1.1
p. 14
Anfangswertproblem für gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung (1.1.4):
y (n) = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 ,ẏ(t 0 ) = y 1 , . ..,y (n−1) (t 0 ) = y n−1 . p. 16
1.1

➡ n unabhängige Anfangswerte sind vorzugeben.
Modellierung: Anfangswertprobleme (1.1.6) beschreiben deterministische Evolutionen
△
MATLAB-CODE: ODE-Integration
fn = @(t,y) 5*y*(1-y);
[t,y] = ode45(fn,[0 1.5],y0);
plot(t,y,’r-’);
Numerische Integration der logistischen Differentialgleichung
in MATLAB mittels Funktion ode45():
Funktions-Handle zur Übergabe der rechten Seite
Zeitintervall
Anfangswert
1.2 Beispiele und Grundbegriffe
Rückgabewerte:
t ˆ= Vektor von Zeitpunkten, y ˆ= Vektor von Lösungswerten
✸
1.2.1 Ökologie
Bemerkung 1.2.2 (AWP-Löser in MATLAB). → [26]
[t,y] = solver(odefun,tspan,y0);
Beispiel 1.2.1 (Resourcenbegrenztes Wachstum). [1, Sect. 1.1]
Autonome logistische Differentialgleichung: (d = 1, D = R + , I = R)
solver : ∈ { ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t,
ode23tb }
odefun : Funktions-Handle vom Typ @(t,y) ↔ rechte Seite f(t,y)
tspan : 2-Vektor: Anfangs- und Endzeitpunkt für numerische Integration
y0 : (Vektor ) mit Anfangswerten y 0
ẏ = (α − βy)y (1.2.1)
1.2
p. 17
Warum so viele verschiedene Löser ?
△
1.2
p. 19
y ˆ= Populationsdichte, [y] = 1 m 2
Beispiel 1.2.3 (Räuber-Beute-Modelle). [1, Sect. 1.1] & [11, Sect. 1.1.1]
Wachstumsrate α − βy mit Wachstumskoeffizienten α, β > 0, [α] = 1 m2
s , [β] = s
Allgemein für ODE (1.1.1):
y ∗ ∈ D, f(t,y ∗ ) = 0 ∀t ➣ y ∗ ist Fixpunkt/stationärer Punkt für die ODE → Sect. 3.2.
Autonome Lotka-Volterra-Dgl.: (d = 2)
˙u = (α − βv)u
˙v = (δu − γ)v , I = R, D = (R+ ) 2 , α, β,γ, δ > 0 . (1.2.3)
1.5
Populationsdichten:
1
Attraktiver Fixpunkt y = α/β
Repulsiver Fixpunkt y = 0
u → Beute,
v → Räuber
y
0.5
0
0 0.5 1 1.5
t
Fig. 3
Richtungsfeld und Lösungskurven (α, β = 5)
Separation der Variablen
➥ Lösung des AWP für (1.2.1)
mit y(0) = y 0 > 0
y(t) =
für alle t ∈ R
αy 0
βy 0 + (α − βy 0 ) exp(−αt) , (1.2.2)
1.2
p. 18
Vektorfeld f für Lotka-Volterra-Dgl.
Lösungskurven sind Trajektorien von Partikeln, die
vom Geschwindigkeitsfeld f mitgetragen werden.
✄
(1.2.3) ⇒ 0 =(δ − γ u ) ˙u − (α v − β) ˙v = d (δu − γ log u − α log v + βv) = 0 .
dt } {{ }
=:I(u,v)
v
α/β
γ/δ
u
Fig. 4
1.2
p. 20

Falls (u(t), v(t)) Lösung von (1.2.3) ⇒ I(u(t),v(t)) ≡ const
Lösungen von (1.2.3) sind Niveaulinien von I
A
C
Reaktion:
k 2
A + B
←−
−→ C + D . (1.2.5)
k1
6
5
4
u = y 1
v = y 2
6
5
4
B
D
Fig. 5
mit Reaktionskonstanten k 1 (‘Hinreaktion”), k 2
(“Rückreaktion”), [k 1 ] = [k 2 ] = cm3
mol s .
y
3
v = y 2
3
Faustregel:
Geschwindigkeit einer bimolekularen Reaktion proportional zum Produkt der Konzentrationen
der Reaktionspartner:
2
1
2
1
for (1.2.5): ċ A = ċ B = −ċ C = −ċ D = −k 1 c A c B + k 2 c C c D . (1.2.6)
c A , c B , c C ,c D ˆ= (zeitabhängige) Konzentrationen der Reaktanden, [c X ] = mol
cm 3 ➥ c X (t) > 0; ∀t
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
Zeitabhängige Lösung, y 0 := ( u(0)
v(0)
)
=
( 42 )
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
u = y 1
Lösungskurven von (1.2.3) ↔ Niveaulinien von I
Fixpunkt
Geschlossene Lösungskurven ↔ (1.2.3) hat ausschliesslich periodische Lösungen
(für u(0),v(0) > 0)
Definition 1.2.1 (Erstes Integral).
Ein Funktional I : D ↦→ R heisst erstes Integral/Invariante (engl. invariant) der ODE (1.1.1),
wenn
für jede Lösung y = y(t) von (1.1.1).
I(y(t)) ≡ const
Notwendige und hinreichende Bedingung für differenzierbares erstes Integral
1.2
✸
p. 21
(1.2.6) = autonome gewöhnliche Dgl. (1.1.3) mit
⎛ ⎞
⎛ ⎞
c A (t)
1
y(t) = ⎜c B (t)
⎟
⎝c C (t) ⎠ , f(t,y) = (−k 1y 1 y 2 + k 2 y 3 y 4 ) ⎜ 1
⎟
⎝−1⎠ c D (t)
−1
Massenerhaltung:
Beispiel 1.2.5 (Oregonator-Reaktion).
d
dt (c A(t) + c B (t) + c C (t) + c D (t)) = 0
Spezialfall einer zeitlich oszillierenden Zhabotinski-Belousov-Reaktion [8]:
BrO − 3 + Br− ↦→ HBrO 2
HBrO 2 + Br − ↦→ Org
BrO − 3 + HBrO 2 ↦→ 2 HBrO 2 + Ce(IV)
(1.2.7)
2 HBrO 2 ↦→ Org
Ce(IV) ↦→ Br −
✸
1.2
p. 23
I erstes Integral von (1.1.1) ⇔ grad I(y) ·f(t,y) = 0 ∀(t,y) ∈ Ω . (1.2.4)
Euklidisches Skalarprodukt
1.2.2 Chemische Reaktionskinetik [5, Sect. 1.3]
Beispiel 1.2.4 (Bimolekulare Reaktion).
1.2
p. 22
y 1 := c(BrO − 3 ): ẏ 1 = −k 1 y 1 y 2 − k 3 y 1 y 3 ,
y 2 := c(Br − ): ẏ 2 = −k 1 y 1 y 2 − k 2 y 2 y 3 + k 5 y 5 ,
y 3 := c(HBrO 2 ): ẏ 3 = k 1 y 1 y 2 − k 2 y 2 y 3 + k 3 y 1 y 3 − 2k 4 y3 2 ,
y 4 := c(Org): ẏ 4 = k 2 y 2 y 3 + k 4 y3 2 ,
y 5 := c(Ce(IV)): ẏ 5 = k 3 y 1 y 3 − k 5 y 5 ,
mit (dimensionslosen) Reaktionskonstanten:
k 1 = 1.34 , k 2 = 1.6 · 10 9 , k 3 = 8.0 · 10 3 , k 4 = 4.0 · 10 7 , k 5 = 1.0 .
Periodische chemische Reaktion ➽ Video 1, Video 2
(1.2.8)
MATLAB-Simulation mit Anfangswerten y 1 (0) = 0.06, y 2 (0) = 0.33 · 10 −6 , y 3 (0) = 0.501 · 10 −10 , 1.2
y 4 (0) = 0.03, y 5 (0) = 0.24 · 10 −7 : p. 24

10 −3 Concentration of Br −
Concentration of HBrO 2
2.5
2
Phase flow for Zeeman model (α = 5.000000e−01,β=1.000000e−01)
3
Heartbeat according to Zeeman model (α = 5.000000e−01,β=1.000000e−01)
l(t)
p(t)
2
10 −4
10 −6
1.5
1
1
10 −5
10 −7
0.5
p
0
l/p
0
c(t)
10 −6
10 −7
c(t)
10 −8
−0.5
−1
−1
10 −8
10 −9
−1.5
−2
−2
10 −9
10 −10
−2.5
0
l
2 2.5
Fig. 10
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5
−3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
time t
Fig. 11
10 −10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Fig. 6
t
10 −5 t
10 −11
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Fig. 7 ✸
Beobachtung: α ≪ 1 ➤ “Kammerflimmern”
✸
1.2.3 Physiologie
1.2.4 Mechanik
Beispiel 1.2.6 (Zeemans Herzschlagmodell). → [3, p. 655] p. 25
1.2
Beispiel 1.2.7 (Mathematisches Pendel).
[1, I.3. Bsp. (3.4c)]
1.2
p. 27
Grössen:
mit Parametern:
l = l(t) ˆ= Länge der Herzmuskelfaser
p = p(t) ˆ= elektrochemisches Potential
Phänomenologisches Modell:
˙l = −(l 3 − αl + p) ,
ṗ = βl ,
α ˆ= Vorspannung der Muskelfaser
β ˆ= (phänomenologischer) Rückkopplungsparameter
Vektorfelder und numerische Lösungen für verschiedene Parameter:
(1.2.9)
Zustandsraum D = Konfigurationsraum für Minimalkoordinaten
(= Auslenkungswinkel)
➣
d = 1, D = T (Kreislinie = “1D Torus”)
Auslenkungswinkel α ∈ [−π,π[)
Newtonsche Bewegungsgleichungen:
ml ¨α(t) = −mg sinα(t) . (1.2.10)
autonome ODE 2. Ordnung, siehe (1.1.4)
l
α
mg
Fig. 12
2.5
2
1.5
Phase flow for Zeeman model (α = 3,β=1.000000e−01)
3
2
Heartbeat according to Zeeman model (α = 3,β=1.000000e−01)
l(t)
p(t)
Formale Umwandlung in gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung:
Winkelgeschwindigkeit p := ˙α ⇒ d ( ) ( )
α p
=
dt p − g l sin α . (1.2.11)
1
0.5
1
Energieerhaltung: E(t) = 1 2 ml2 p(t) 2 − mgl cosα(t) ⇒ E(t) ≡ const. (1. Integral → Def. 1.2.1) .
p
0
−0.5
l/p
0
kinetische Energie T(t)
potentielle Energie U(t)
−1
−1
−1.5
−2
−2
−2.5
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0
l
0.5 1 1.5 2 2.5
Fig. 8
−3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
time t
Fig. 9
1.2
p. 26
1.2
p. 28

4
3
Phase field for pendulum: l=1, g=1
3
2
✬
Lemma 1.2.3 (“Energieerhaltungssatz”).
Die Hamilton-Funktion H is ein erstes Integral des autonomen Hamiltonschen Systems.
✩
p = velocity
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−4 −3 −2 −1 0
q = α
1 2 3 4
Fig. 13
Vektorfeld für (1.2.11)
p = velocity
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
q = α
Fig. 14
Isolinien der Energie ↔ Lösungskurven
✸
✫
Hamiltonsches System in der Form (1.1.1):
(
p
y = ⇒ (1.2.12) ⇔ ẏ = J
q)
−1 · gradH(y) , J :=
✎ Notation: I n ˆ= n × n Einheitsmatrix
( )
0 In
∈ R
−I n 0
2n,2n . (1.2.13)
Zusammen mit (1.2.4) folgt sofort Lemma 1.2.3, denn J ist schiefsymmetrisch (J T = −J) und für
jede schiefsymmetrische Matrix A ∈ R n,n gilt x · Ax = 0 ∀x ∈ R n .
Beispiel 1.2.9 (Massenpunkt im Zentralfeld).
✪
Newtonsche Bewegungsgleichungen eines Körpers (Ortskoordinate r = r(t)) mit Masse m > 0 im
Kraftfeld f : R n ↦→ R n , n ∈ N:
m ¨r(t) = f(r(t)) . (1.2.14)
Definition 1.2.2 (Hamiltonsche Differentialgleichung).
→ [11, Sect. VI.1.2]
Es sei n ∈ N, M ⊂ R n offen, H : R n × M ↦→ R, H = H(p,q), stetig differenzierbar. Dann
heisst die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
ṗ(t) = − ∂H
∂q (p(t),q(t)) ,
∂H
˙q(t) = (p(t),q(t)) , (1.2.12)
∂p
ein autonomes Hamiltonsches System mit Hamilton-Funktion (engl. Hamiltonian) H.
1.2
p. 29
Spezialfall:
radialsymmetrisches konservatives Kraftfeld
f(x) = −grad U(x) , x ∈ R n , U(x) = G(‖x‖) . (1.2.15) p. 31
√
✎ Notation: ‖x‖ := x 2 1 + · · · + x2 n ˆ= Euklidische Norm eines Vektors
Speziell G(r) = G 0
r
:
Keplerproblem: [11, Sect. I.2], [5, Sect. 1.1]
Bewegung im Gravitationsfeld einer Zentralmasse
(Sonne – Planet)
1.2
Für Pendelgleichung (1.2.11): n = 1, M =]0, 2π[, q ↔ α,
H(p,q) = 2 1p2 − g l cos q (Gesamtenergie !)
Terminologie: q ˆ= Ortsvariable, Konfigurationsvariable,
p ˆ= Impulsvariable (engl. momentum variable),
M ˆ= Konfigurationsraum.
Bemerkung 1.2.8. Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik führen auf autonome Hamiltonsches
Systeme, siehe [1, Sect. I.3] für eine Einführung, [2] für eine umfassende Darstellung.
△
←→
Hamiltonsches System (→ Def. 1.2.2) mit Konfigurationsraum M := R n \ {0}, q := r, und
Hamilton-Funktion (Energie) H(p,q) := 1
2m ‖p‖2 + G(‖q‖) (1.2.16)
p := mṙ ˆ= Impuls, kinetische Energie potentielle Energie
ṗ = −G ′ (‖q‖) q
‖q‖ , ˙q = m−1 p . (1.2.17)
✬
Lemma 1.2.4 (Bahnebene).
Jede Lösung ( p
q
)
: J ⊂ R ↦→ R 2n von (1.2.17) erfüllt
p(t),q(t) ∈ Span {p(t 0 ),q(t 0 )} ∀t 0 ,t ∈ J .
✩
1.2
p. 30
✫
✪
1.2
p. 32

✬
Lemma 1.2.5 (Drehmomenterhaltung).
Für n = 3 ist das Drehmoment (bzgl. 0) M := p × q (engl. angular momentum) ein erstes
Integral (→ Def. 1.2.1) von (1.2.17).
✫
✎ Notation: × ˆ= Vektorprodukt im R 3 :
⎛
a × b = ⎝ a ⎞
2b 3 − a 3 b 2
a 3 b 1 − a 1 b 3 ⎠ .
a 1 b 2 − a 2 b 1
✬
Theorem 1.2.6 (2. Keplersches Gesetz). Löst
t ↦→ q(t) die Differentialgleichung (1.2.17),
so überstreicht der Vektor q(t) in gleichen
Zeitspannen gleiche Flächen in der Bahnebene.
✫
✩
✪
✩
✪
Definition 1.3.1 (Maximale Fortsetzbarkeit einer Lösung).
Eine Lösung y ∈ C 1 ([t 0 , t 1 [,D) (→ Def. 1.1.1) des AWP (1.1.6) heisst maximal (in die Zukunft)
fortsetzbar
⇔: Es gibt eine Lösung ỹ ∈ C 1 ([t 0 ,t + [,D) des AWP (1.1.6) mit t + ≥ t 1 , y(t) = ỹ(t)
∀t 0 ≤ t < t 1 , wobei genau einer der drei folgenden Fälle zutrifft:
(i) t + = ∞ (Lösung existiert für alle Zeiten)
(ii) t + < ∞ ,
lim ‖ỹ(t)‖ = ∞
t→t +
( Blow-up”) ”
(iii) t + < ∞ ,
lim dist((t,ỹ(t)),∂Ω) = 0 .
t→t +
( Kollaps”)) ”
(Analog: Maximale Fortsetzbarkeit in die Vergangenheit auf ]t − , t 0 ])
1. Keplersches Gesetz (für Gravitationspotential):
Für G(r) = G 0 r sind die Lösungskurven von (1.2.14) Ellipsen mit Brennpunkt 0.
1.3 Theorie [5, Sect. 2], [1, Ch. II]
✸
1.3
p. 33
y
(i)
1.3
p. 35
Zu gegebener rechter Seite f : Ω := I × D ↦→ R d , d ∈ N, I ⊂ R offenes Intervall, D ⊂ R d offene
Menge, betrachte das Anfangswertproblem
(iii)
: ”
Blow-Up”
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 für gegebenes (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω . (1.1.6)
(ii)
: ”
Kollaps”
: J(t 0 , y 0 ) = R
t
1.3.1 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Zwei wichtige Begriffe:
Notation: J(t 0 ,y 0 ) =]t − ,t + [ = maximales Existenzintervall für Lösung von AWP (1.1.6).
1.3
p. 34
1.3
p. 36

Definition 1.3.2 (Lokale Lipschitz-Stetigkeit).
f : Ω ↦→ R d heisst lokal Lipschitz-stetig
⇔:
∀(t,y) ∈ Ω: ∃δ > 0, L > 0:
‖f(τ,z) − f(τ,w)‖ ≤ L ‖z − w‖
∀z,w ∈ D: ‖z − y‖ < δ, ‖w − y‖ < δ, ∀τ ∈ I: |t − τ| < δ .
Damit kann (1.3.1) auf dem Intervall [t 0 , t 1 ] als Fixpunktgleichung T(y) = y in F geschrieben werden.
Aus der lokalen Lipschitz-Stetigkeit folgt für genügend kleines t 1 > t 0 , dass T eine Kontraktion
ist. Mit dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Behauptung für das Zeitintervall (t 0 , t 1 ). Das maximale
Existenzintervall erhält man über Fortsetzung.
Bemerkung 1.3.1 (Definitionsintervalle von Lösungen von AWPen).
Lokale Lipschitz-Stetigkeit impliziert globale Lipschitz-Stetigkeit auf jeder kompakten Teilmenge K
von Ω:
∃L = L(K) > 0: ‖f(τ,z) − f(τ,w)‖ ≤ L ‖z − w‖ ∀(τ,z), (τ,w) ∈ K .
Die Lösung eines Anfangswertproblems sucht sich Ihren Definitionsbereich selbst”
”
!
Definitionsbereich J(t 0 ,y 0 ) hängt (meist) von (t 0 ,y 0 ) ab !
Terminologie: Falls J(t 0 ,y 0 ) = I ➥ Lösung y : I ↦→ R d ist global.
△
✎ Notation: D y f ˆ= Ableitung von f nach Zustandsvariablen (= Jacobimatrix ∈ R d,d !)
Ein einfaches Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit (Beweis über Mittelwertsatz):
✬
✩
1.3
p. 37
1.3
p. 39
Lemma 1.3.3 (Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit).
Sind f und D y f stetig auf Ω, so ist f lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2).
✫
✪
✬
✩
Theorem 1.3.4 (Satz von Peano & Picard-Lindelöf). [1, Satz II(7.6)]
Falls f : ˆΩ ↦→ R d lokal Lipschitz-stetig in der Variablen y, so hat das AWP (1.1.6) ∀(t 0 ,y 0 ) ∈ ˆΩ
eine eindeutige maximal fortsetzbare Lösung y : J(t 0 ,y 0 ) ↦→ D.
✫
✪
Beweisidee: (→ [27, I.§6]) Integration von (1.1.6) liefert
y(t) = y 0 +
∫ t
f(s,y(s)) ds,
t 0
t ≥ t 0 . (1.3.1)
Definiere Raum
F = {y ∈ C([t 0 , t 1 [), y(t 0 ) = y 0 }
für ein t 1 > t 0 und den Operator
∫ t
T : F → F, T : y ↦→ z(t) = y 0 + f(s,y(s)) ds.
1.3
t 0
p. 38
Definition 1.3.5 (Evolutionsoperator).
Die zweiparametrige Familie Φ s,t von Abbildungen Φ s,t : D ↦→ D heisst Evolutionsoperator
zur Dgl. ẏ = f(t,y), wenn
t ∈ J(s,z) ↦→ Φ s,t z Lösung des AWP
{
˜Ω ↦→ D
Definitionsbereich: Φ :
(t,s,y) ↦→ Φ s,t y
ẏ = f(t,y) ,
y(s) = z ,
, ˜Ω :=
⋃
(s,y)∈Ω
für alle (s,z) ∈ Ω .
J(s,y) × {(s,y)}
Satz 1.3.4 ⇒ Φ t,t = Id , Φ s,t y = (Φ r,t ◦ Φ s,r )y , t,r ∈ J(s,y), (s,y) ∈ Ω . (1.3.2)
Konvention: Für autonome Differentialgleichungen (1.1.3) (→ Bem. 1.1.5): Φ t := Φ 0,t
➣ Falls J(0,y) = R ∀y ∈ D aus (1.3.2):
Gruppe von Abbildungen von D: Φ s ◦ Φ t = Φ s+t , Φ −t ◦ Φ t = Id ∀t ∈ R . (1.3.3)
1.3
p. 40

Bemerkung 1.3.2 (Numerische Integratoren als approximative Evolutionsoperatoren).
MATLAB-Lösung eines , vgl. Bem. 1.2.2
[t,y] = solver(odefun,[t0 T,y0])
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.014
0.012
0.01
0.008
y(t)
0.5
y(t)
Φ s,t y
0.4
0.3
0.006
0.004
☞
Numerische Lösungsverfahren für Anfangswertprobleme für eine gewöhnliche Differentialgleichung
realisieren Approximationen von Evolutionsoperatoren → Def. 2.1.1.
△
0.2
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t
Fig. 16
0.002
0
t
0.768 0.769
Fig. 17
0.76 0.761 0.762 0.763 0.764 0.765 0.766 0.767
Beispiel 1.3.3 (Autonome skalare Differentialgleichungen). ✄ d = 1
✸
• f(t,y) = −λy, λ ∈ R Lösung des AWP y(t) = y 0 e −λt , t ∈ R
existiert für alle Zeiten, d.h. ]t − ,t + [= R für jedes y 0 : globale Lösung.
Zugehöriger Evolutionsoperator:
Φ t : R ↦→ R , Φ t (y 0 ) = e −λt y 0 .
1.3.2 Lineare AWPe
• f(t,y) = λy 2 , λ ∈ R: ẏ = λy 2 , y(0) = y 0 ∈ R p. 41
1.3
Vorbereitung:
Basiswechsel im Zustandsraum (kovariante Transformation):
ŷ = S −1 y , S ∈ R d,d reguläre Matrix (zeitunabhängig). p. 43
1.3
Lösung:
⎧
⎨ 1
y(t) = y0 −1
⎩
−λt , falls y 0 ≠ 0 , (Blow-up)
,
0 , falls y 0 = 0 .
λ, y 0 > 0 ⇒ J(0, y 0 ) =] − ∞, 1/λy 0 [ .
Lösungskurven für λ = 1
✄
y(t)
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
y 0
= −0.5
y 0
= −1
y 0
= 1
y 0
= 0.5
−10
−3 −2 −1 0
t
1 2 3
Fig. 15
y löst
{
ẏ = f(t,y) ,
y(t 0 ) = y 0
⇔ ŷ := S −1 y löst
{ ˙ŷ = ̂f(t,ŷ) ,
ŷ(t 0 ) = S −1 y 0
mit ̂f(t,ŷ) = S −1 f(t,Sŷ) .
Betrachte Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten im R d :
(1.3.4)
D = R d , Ω = I × R d
Koeffizientenmatrix A ∈ R d,d
ẏ = Ay + g(t) . (1.3.5)
” Quellterm”: stetige Funktion g : I ↦→ Rd
Annahme:
A diagonalisierbar, ∃S ∈ R d,d regulär: S −1 AS = diag(λ 1 ,...,λ d ), λ i ∈ C
• f(t,y) = − 1 √ y
, D = R + , Anfangswert y(0) = 1
➣ y(t) = (1 − 3t/2) 2/3 , t − = −∞, t + = 2/3
(Lösung läuft zum Rand y = 0 des erweiterten Zustandraums: Kollaps)
• f(t,y) = sin(1/y) − 2, D = R + , Anfangswert y(0) = 1 [5, Bsp. 2.14]
Lösung y(t) erfüllt ẏ ≤ −1 ➥ y(t) ≤ 1 − t ➥ Kollaps für t ∗ < 1.
1.3
p. 42
• g ≡ 0: ẏ = Ay (autonome homogene lineare Dgl., allgemeinere Diskussion [5, Sect. 3.2.2])
ŷ := S −1 y löst
˙ŷ 1 = λ 1 ŷ 1 ,
. ⇒ ŷ i (t) = (S −1 y 0 ) i e λit , t ∈ R .
˙ŷ d = λ d ŷ
⎛ d
e λ ⎞
1t
y(t) = S⎜
...
⎟
⎝ . .. ⎠ S−1 y 0 .
e λ dt
} {{ }
Matrixexponentialfunktion exp(At)
1.3
p. 44

Allgemeine Definition der Matrixexponentialfunktion durch
Wichtige Eigenschaft:
∞∑ 1
“Matrixexponentialreihe”: exp(M) =
k! Mk . (1.3.6)
k=0
Matrixexponentialfunktion kommutiert mit Ähnlichkeitstransformationen
M = S −1 AS ⇒ exp(M) = S −1 exp(A)S ∀A,M,S ∈ C d,d , S regulär. (1.3.7)
• Inhomogener Fall
Ansatz:
ẏ(t) = Ay(t) + g(t) partikuläre Lösung durch ”
Variation der Konstanten”:
y(t) = exp(At)z(t) mit z ∈ C 1 (R, R d ) → [1, Thm I(5.14)]
ẏ(t) = A exp(At)z(t) + exp(At)ż(t) = Ay(t) + g(t) = A exp(At)z(t) + g(t)
∫ t
ż(t) = exp(−At)g(t) ⇒ z(t) = y 0 + exp(−Aτ)g(τ) dτ
t 0
y(t) = exp(At)y 0 + ∫ t
t0
exp(A(t − τ))g(τ) dτ
Lsg. des homogenen Problems
Faltung mit Inhomogenität
Bemerkung 1.3.5 (Bedeutung linearer AWPe).
Linearisierung um einen stationären Punkt f(y ∗ ) = 0:
y ≈ y ∗ : f(y) = D y f(y ∗ )(y − y ∗ ) + O(|y − y ∗ | 2 ) ,
falls f ∈ C 2 .
➣ Lösungen von ẏ = f(y) verhalten sich in der Umgebung von y ∗ (qualitativ) wie Lösungen der
linearen ODE ẏ = D y f(y ∗ )y.
△
1.3.3 Sensitivität [5, Sect. 3.1]
1.3.3.1 Grundbegriffe
1.3
p. 45
Erinnerung
(→ Vorlesung ”
Numerische Methoden”):
1.3
p. 47
Allgemeinere Betrachtungen
→ [1, Kap. III]:
Bemerkung 1.3.4 (Allgemeine Variation-der-Konstanten-Formel). → [1, Thm. (11.13)]
Problem = Abbildung Π : X ↦→ Y von Datenraum X in den Ergebnisraum Y
(beide versehen mit Metriken d X , d Y )
A : J ⊂ R ↦→ R d,d stetige Matrixfunktion, J ⊂ R Intervall
g : J ↦→ R d stetig
✗
✖
Problem ist wohlgestellt (engl. well-posed), wenn Π stetig.
✔
✕
(s, t) ↦→ E(s, t) ∈ R d,d beschreibt Evolutionsoperator, definiert durch
∂E
(s, t) = A(t)E(s, t) ∀(s, t) ∈ J × J , E(s, s) = I . (1.3.8)
∂t
Dann ist die (eindeutige → Thm. 1.3.4) Lösung des nicht-autonomen linearen Anfangswertproblems
gegeben durch
ẏ = A(t)y + g(t) , y(t 0 ) = y 0 ,
Kondition/Sensitivität eines Problems:
Mass für Einfluss von Störungen in den Daten auf das Ergebnis
d
Absolute Kondition: κ abs := sup Y (Π(x), Π(x ′ ))
x,x ′ ∈X,x≠x ′ d X (x,x ′ . (1.3.10)
)
Sprachgebrauch: Problem ist ”
gut konditioniert”, wenn ”
κ abs ≈ 1”
∫t
y(t) = E(t, t 0 )y 0 +
t 0
E(t, s)g(s) ds , t ∈ J . (1.3.9)
△
1.3
p. 46
• Wohlgestelltheit und Gutkonditioniertheit eines Problems hängen entscheidend von den
gewählten Metriken ab. Diese sind bei praktischen Problemen dadurch bestimmt, “woran der
Anwender interessiert ist”.
1.3
p. 48

• Als Folge von unvermeidlichen Eingabefehlern, macht nur die numerische Lösung von
➡
wohlgestellten Problemen Sinn.
• Absolute Konditionszahl ist die globale Lipschitz-Konstante der Problemabbildung (bzgl. der
gewählten Metriken).
Asymptotische (absolute) Kondition (linearisierte Störungstheorie):
κ ∞ d
abs := lim sup Y (Π(x), Π(x ′ ))
δ→0 0 0 ,
1 für λ < 0 .
(1.3.14)
(1.3.15)
1.3.3.2 Unser Problem: das Anfangswertproblem
1.3
p. 49
1.3.3.3 Wohlgestelltheit
✸
1.3
p. 51
Anwendung (der abstrakten Konzepte) auf Anfangswertproblem (1.1.6):
Szenario ➊:
✬
Annahme:
Rechte Seite f : I × D ↦→ R d von (1.1.6) erfüllt globale Lipschitzbedingung
(vgl. lokale Lipschitzbedingung aus Def. 1.3.2)
✩
Eingabedatum y 0 ➥ Datenraum R d , Metrik: Euklidische Vektornorm
Ausgabe y(T) zu Endzeitpunkt T > t 0 ➥ Ergebnisraum R d , Metrik: Euklidische Vektornorm
Szenario ➋:
Eingabedatum y 0 ➥ Datenraum R d , Metrik: Euklidische Vektornorm
Ausgabe: Lösungsfunktion t ∈ J ⊂ I ↦→ y(T)
➥ Ergebnisraum C 0 (J, R d ), Metrik: Maximumnorm ‖·‖ L ∞ (J)
Szenario ➌:
∀t ∈ I: ∃L(t) > 0: ‖f(t,x) − f(t,y)‖ ≤ L(t) ‖x − y‖ ∀x,y ∈ D ⊂ R d , (1.3.16)
für geeignete Vektornorm ‖·‖ auf R d .
✫
✬
Theorem 1.3.6 (Lipschitz-stetige Abhängigkeit vom Anfangswert).
Es seien y,ỹ Lösungen des AWP (1.1.6) zu Anfangswerten y 0 ∈ D bzw. ỹ 0 ∈ D. Unter der
Annahme (1.3.16) mit stetigem L(t) gilt
(∫ t )
‖y(t) − ỹ(t)‖ ≤ ‖y 0 − ỹ 0 ‖ · exp L(τ) dτ ∀t ∈ I .
t 0
✫
Hilfsmittel beim Beweis:
✪
✩
✪
Eingabedaten: Anfangswert y 0 und rechte Seite f
➥ Datenraum R d ×C 1 (I ×R d , R d ), Metrik: Euklidische Vektornorm & Maximumnorm
1.3
p. 50
1.3
p. 52

✬
Lemma 1.3.7 (Gronwalls Lemma). → [1, Sect. II.6], [5, Lemma 3.9]
Sei J ⊂ R Intervall, t 0 ∈ J, u,a,β ∈ C 0 (J, R + ), a monoton wachsend. Dann gilt
∫ t
∫ t
u(t) ≤ a(|t − t 0 |) + β(τ)u(τ) dτ ⇒ u(t) ≤ a(|t − t 0 |) exp
∣ β(τ) dτ
∣ .
t 0 t 0
✫
➤ AWP (1.1.6) is wohlgestellt unter Annahme (1.3.16) !
➤ Schranke für absolute punktweise Kondition (für Endzeitpunkt T )
( ∫ ) T
κ abs ≤ exp L(τ) dτ . (1.3.18)
t 0
Bemerkung 1.3.7 ( ”
Gronwall-Schranke” für Kondition).
Schranke aus (1.3.18) oft extrem pessimistisch !
für skalares lineares AWP mit λ < 0, punktweise Kondition, Endzeit-
Beispiel (siehe Bsp. 1.3.6):
punkt T > 0 (1.3.12)
(1.3.18) ➣ κ abs ≤ e |λ|T T →∞
↦−→ ∞ ←→ κ abs = e λT T →∞
↦−→ 0 .
1.3.3.4 Asymptotische Kondition
✩
✪
1.3
△ p. 53
(Annahme:
( )
∂ ∂Φ
∂t ∂y (t 0, t,y) = d
dy f(t,Φt0,t y) = ∂f
∂y (t,Φt0,t y) d
dy Φt0,t y .
f nach y stetig differenzierbar)
Die Propagationsmatrix (Wronski-Matrix),
zum AWP (1.1.6) erfüllt Anfangswertproblem für
Beachte:
✗
✖
Variationsgleichung
W(t; t 0 ,z) := d
dy Φt0,t ∈ R y|y=z
d,d , (1.3.19)
d
dt W(t; t 0,y 0 ) = ∂f
∂y (t,Φt0,t y 0 )W(t;t 0 ,y 0 ) , (1.3.20)
W(t 0 ;t 0 ,y 0 ) = I .
Variationsgleichung = lineare Differentialgleichung mit D = R d,d
(☞ Matrix-Differentialgleichung)
y 0 ← y 0 + δy 0 ➣ δy(t) ≈ W(t;t 0 ,y 0 )δy 0 für ”
kleine δy 0 ”
Intervallweise asymptotische Kondition des AWP (1.1.6) auf [t 0 , T] (bzgl. Norm ‖·‖ auf R d ):
1.3.3.5 Schlecht konditionierte AWPe
κ ∞ abs := max{‖W(t;t 0,y 0 )‖ : t 0 ≤ t ≤ T } . (1.3.21)
✔
✕
1.3
p. 55
Szenario ➊:
Wie wirken sich kleine Störungen im Anfangswert y 0 in (1.1.6) auf die Lösung y(t)
aus ?
Beispiel 1.3.8 (Lorenz-System). → [23, 18]
Asymptotische absolute Konditionszahl durch differentielle Konditionsanalyse, siehe (1.3.11):
Erforderlich: ”
Differenzieren der Lösung eins Anfagswertproblems nach dem Anfangswert y 0 ”
(Dabei wird die Zeit t als fester ”
Parameter” behandelt.)
➣ Zu betrachten ist, mit Evolution Φ s,t y = Φ(s, t,y)
dy(t)
dy 0
∣ ∣∣∣t
fest
←→ ∂Φ
∂y (t 0,t,y 0 ) .
Autonome Differentialgleichung, D = R 3 ,
σ,ρ, β ∈ R + :
ẋ =σ(y − x) ,
ẏ =x(ρ − z) − y ,
ż =xy − βz .
(1.3.22)
d
dy
d
dt Φt 0,t y = f(t,Φ
t 0 ,t y) für festes y .
(
d ∂
y)
dy ∂t Φt0,t = d
dy f(t,Φt0,t y)
1.3
p. 54
1.3
p. 56

−20
σ = 10, ρ = 28, β = 2.666667e+00
— : Anfangswert y 0 := (8, 9, 9.5) T
— : Anfangswert y 0 := (8, 9, 9.5+10 −5 ) T
3
m 1
= 2, m 2
= 1, l 1
= 1, l 2
= 1.732051e+00
3
m 1
= 2, m 2
= 1, l 1
= 1, l 2
= 1.732051e+00
45
40
35
30
Aus der Theorie der
reellen dynamischen Systeme [18]:
Lorenz-System ist chaotisches System
2
1
2
1
z
25
20
15
10
Anfängliche exponetielle Divergenz der
beschränkten Trajektorien
(Schranke (1.3.18) gilt für kleine T !)
0
−1
0
−1
5
−10
0
10
x
20 −30
−20
0
−10
y
10
20
30
Fig. 18
Winzige Störungen der Anfangswerte
➤ völlig verschiedene Zustände nach exponentiell
kurzer Zeit”.
”
✸
−2
−3
Fig. 20
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
θ 1 (0) = − π 2 , θ 2(0) = π, p 1 (0) = p 2 (0) = 0
−2
−3
Fig. 21
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
θ 1 (0) = − π 2 , θ 2(0) = π + 10 −2 ,
p 1 (0) = p 2 (0) = 0
Ziel numerischer Simulation chaotischer dynamischer Systeme:
Indentifikation des ”
typischen” Verhaltens von Trajektorien
[Simulation, MATLAB, ode45, Zeit [0, 20], Schrittweite 10 −3 ]
✸
★
✥
Essentiell:
✧
Beispiel 1.3.9 (Doppelpendel).
Korrekte Behandlung von Erhaltungsgrössen, z.B. Gesamtenergie
(→ Erste Integrale, Def. 1.2.1)
✦
1.3
p. 57
1.4 Polygonzugverfahren
1.4
p. 59
l 2
l 1
θ 1
θ 2
m 1
m 2
Fig. 19
✁
(Mathematisches) Doppelpendel mit fester Aufhängung und masselosen
Stäben.
Minimalkoordinaten: Auslenkungswinkel θ 1 , θ 2
Konfigurationsraum D = [0, 2π[ 2 (Torus)
Hamilton-Funktion (→ Def. 1.2.2) = Summe kinetischer und potentieller
Energie:
H(p 1 ,p 2 ,θ 1 ,θ 2 ) =
l 2 2 m 2p 2 1 + l2 1 (m 1 + m 2 )p 2 2 − 2m 2l 1 l 2 p 1 p 2 cos(θ 1 − θ 2 )
2l 2 1 l2 2 m 2(m 1 + sin 2 (θ 1 − θ 2 )m 2 )
− m 2 gl 2 cos θ 2 − (m 1 + m 2 )gl 1 cosθ 1 .
Gegeben:
Rechte Seite f : Ω ↦→ R d , lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2) auf
erweitertem Zustandsraum Ω := I × D ⊂ R d+1
Anfangsbedingungen y 0 ∈ D zum Anfangszeitpunkt t 0
Thm. 1.3.4 (Peano & Picard-Lindelöf) ➤ Existenz & Eindeutigkeit von Lösungen (→ Def. 1.1.2)
des AWP
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 . (1.4.1)
Ziel: ☞ Approximation von y(T) für Endzeitpunkt T ∈ J(t 0 ,y 0 ) ✄ y h (T).
☞ Approximation der Funktion t ↦→ y(t), t ∈ [t 0 , T], T ∈ J(t 0 ,y 0 ) ✄ t ↦→ y h (t).
Beobachtung (in Experiment und Simulation):
Extrem sensitive Abhängigkeit der Pendelbewegung von Anfangsbedingungen
1.3
p. 58
1.4.1 Das explizite Euler-Verfahren (Euler 1768)
Idee: ➊ ”
Vorantasten” in der Zeit: (1.4.1) = Komposition von AWPe zu gegebenen
kleinen Zeitintervallen [t k−1 , t k ], k = 1, ...,N, t N := T
➋
Approximation der zeitlokalen Lösungskurven durch Tangente im aktuellen
1.4
Anfangszeitpunkt. p.
60

y
y h (t 1 )
y(t)
y 0
✁
t
t 0 t 1 Fig. 22
Explizites Euler-Verfahren
(Eulersches Polygonzugverfahren)
Erster Schritt des expliziten Euler-Verfahrens
(d = 1):
Steigung der Tangente = f(t 0 ,y 0 )
y h (t 1 ) ist Startwert für nächsten Schritt !
In Formeln: durch explizites Eulerverfahren erzeugte Näherungen für y(t k ) erfüllen die Rekursion
y k+1 := y h (t k+1 ) = y h (t k ) + h k f(t k ,y h (t k )) , k = 0,...,N − 1 , (1.4.2)
mit lokaler (Zeit)schrittweite h k := t k+1 − t k .
Beispiel 1.4.2 (Konvergenz(-geschwindigkeit) des expliziten Euler-Verfahrens).
AWP für Riccati-Dgl. (1.1.2) auf [0, 1]
Explizites Euler-Verfahren (1.4.2) mit
uniformem Zeitschritt h = 1/n,
n ∈ {5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640}.
Beobachtung:
Fehler err h := |y(1) − y h (1)|
Algebraische Konvergenz
err h = O(h)
error (Euclidean norm)
10 0
10 −1
10 −2
y0 = 0.10
y0 = 0.20
y0 = 0.40
y0 = 0.80
O(h)
10 −3
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
10 1 timestep h
Fig. 24 ✸
✎ Notation “Landau-O”:
✎ Alternative Notation: y k := y h (t k )
e(h) = O(g(h)) für h → 0 :⇔ ∃h 0 > 0, C > 0: |e(h)| ≤ Cg(h) ∀0 ≤ h ≤ h 0 .
1.4
p. 61
1.4
p. 63
Veranschaulichung: Explizites Eulerverfahren
Anfangswertproblem
für
Riccati-Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.1.1
y 0 = 2 1 , t 0 = 0, T = 1,
gleichgrosse Zeitschritte h = 0.2
ẏ = y 2 + t 2 . (1.1.2)
↦→ ˆ= Richtungsfeld der Riccati-Dgl.
✄
y
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
exact solution
explicit Euler
Bemerkung 1.4.1 (Explizites Eulerverfahren als Differenzenverfahren).
0.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
t
Fig. 23
Definition 1.4.1 (Arten der Konvergenz).
Sei err h der Diskretisierungsfehler eines Verfahrens zum Diskretisierungsparameter/Schrittweite
h, h > 0.
err h = O(h α ) :⇔ Algebraische Konvergenz der Ordnung α > 0
err h = O(exp(−βh −γ )), :⇔ exponentielle Konvergenz, falls β,γ > 0
Fehlerplots bei algebraischer Konvergenz (h i = (3/2) −i , i = 1, ...,10)
(1.4.2) aus Approximation von Ableitung
dt d durch Vorwärtsdifferenzenquotienten auf Zeitgitter G :=
{t 0 , t 1 ,...,t N }:
ẏ = f(t,y) ←→ y h(t k+1 ) − y h (t k )
h k
= f(t k ,y h (t k )) , k = 0,...,N − 1 .
Frage: Wie genau ist die Näherungslösung ?
△
1.4
p. 62
1.4
p. 64

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.9
0.8
0.7
α = 1/2
α = 1
α = 2
Error plots for algebraic convergence (linear scale)
10 0 Error plots for algebraic convergence (log scale
10 −1
Error plots for exponential convergence (h −γ lin−log scale)
10 0 β = 0.5, γ = 0.5
10 −1
β = 1.0, γ = 0.5
β = 2.0, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 1.0
10 −2
β = 1.0, γ = 1/3
error
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
error
10 −2
10 −3
error
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
✁ (h −γ
i , ǫ i ) (h i ˆ= Schrittweiten, ǫ i ˆ= zugehörige
Diskretisierungsfehler ) liegen auf Geraden mit
Steigung −β
0.1
0
h
lineare Skalen
Fig. 25
α = 1/2
α = 1
α = 2
10 −4
10 −2 10 −1 10 0
h
Fig. 26
logarithmische Skalen
10 −9
10 −10
0 5 10 15 20 25 30
h −γ
Fig. 29
Beispiel 1.4.3 (Explizites Euler-Verfahren für logistische Dgl.).
Fehlerplots bei exponentieller Konvergenz (h i = (3/2) −i , i = 1, ...,10)
Anfangswertproblem für logistische Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.2.1
1.4
p. 65
ẏ = λy(1 − y) , y(0) = 0.01 .
Explizites Euler-Verfahren (1.4.2) mit uniformem Zeitschritt h = 1/n,
n ∈ {5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640}.
Fehler zum Endzeitpunkt T = 1
1.4
p. 67
0.7
0.6
Error plots for exponential convergence (linear scale)
β = 0.5, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 0.5
β = 2.0, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 1.0
β = 1.0, γ = 1/3
10 0 Error plots for exponential convergence (log scale)
10 −1
10 −2
10 0
λ = 1.000000
λ = 3.000000
λ = 6.000000
λ = 9.000000
10 120
10 100
λ = 10.000000
λ = 30.000000
λ = 60.000000
λ = 90.000000
error
0.5
0.4
0.3
0.2
error
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
error (Euclidean norm)
10 1 timestep h
10 −1
10 −2
10 −3
error (Euclidean norm)
10 140 timestep h
10 80
10 60
10 40
10 20
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
h
Fig. 27
lineare Skalen
10 −8
β = 0.5, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 0.5
β = 2.0, γ = 0.5
10 −9
β = 1.0, γ = 1.0
β = 1.0, γ = 1/3
10 −10
h
Fig. 28
10 −2 10 −1 10 0
logarithmische Skalen
10 −4
10 −5
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
λ klein: O(h)-Konvergenz (asymptotisch)
Fig. 30
10 0
10 −20
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
λ gross: Explosion von y k für grosse
Zeitschrittweiten h
Fig. 31
1.4
p. 66
1.4
p. 68

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.4
Anwendung auf kleine Zeitintervalle [t 0 ,t 1 ], [t 1 ,t 2 ], ..., [t N−1 , t N ] ➤ implizites Euler-Verfahren
y
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
exact solution
explicit Euler
✁ λ = 90, — ˆ= exakte Lösung, — ˆ= Eulerpolygon
y k schiessen über den stark attraktiven
Fixpunkt y = 1 hinaus.
➥ Beobachtung: exponentiell anwachsende
Oszillationen der y k
durch implizites Eulerverfahren erzeugte Näherung für y(t k ) erfüllt
y k+1 := y h (t k+1 ) = y h (t k ) + h k f(t k+1 ,y k+1 ) , k = 0,...,N − 1 , (1.4.9)
mit lokaler (Zeit)schrittweite h k := t k+1 − t k .
Beachte: (1.4.9) erfordert Auflösen einer (evtl. nichtlinearen) Gleichung nach y k+1 !
(➤ Terminologie ”
implizit”)
Bemerkung 1.4.4 (Implizites Eulerverfahren als Differenzenverfahren).
t
Fig. 32
✸
(1.4.9) aus Approximation der Zeitableitung
dt d durch Rückwärtsdifferenzenquotienten auf Zeitgitter
G := {t 0 , t 1 ,...,t N }:
Einsicht durch Modellproblemanalyse: einfachste Dgl. mit stark attraktivem Fixpunkt y = 0
Homogene lineare skalare Dgl., Sect. 1.3.2 : ẏ = f(y) := λy , λ < 0 . (1.4.6)
ẏ = λy , y(0) = y 0 ⇒ y(t) = y 0 exp(λt) → 0 für t → ∞ . (1.4.7)
ẏ = f(t,y) ←→ y h(t k+1 ) − y h (t k )
h k
= f(t k+1 ,y h (t k+1 )) , k = 0,...,N − 1 .
△
Rekursion des expliziten Eulerverfahrens für (1.4.6) (uniforme Zeitschrittweite h > 0)
Beispiel 1.4.5 (Implizites Eulerverfahren für logistische Differentialgleichung). → Bps. 1.4.3
(1.4.2) for f(y) = λy: y k+1 = y k (1 + λh) . (1.4.8)
1.4
p. 69
Wiederholung der numerischen Experimente aus Beispiel 1.4.3 für implizites Eulerverfahren (1.4.9):
1.4
p. 71
y k = y 0 (1 + λh) k ⇒ |y k | →
{
0 , wenn λh > −2 (qualitativ richtig) ,
∞ , wenn λh < −2 (qualitativ falsch) .
10 0
λ = 1.000000
λ = 3.000000
λ = 6.000000
λ = 9.000000
O(h)
10 0
10 −2
λ = 10.000000
λ = 30.000000
λ = 60.000000
λ = 90.000000
O(h)
1.4.2 Das implizite Euler-Verfahren
error (Euclidean norm)
10 −1
10 −2
10 −3
error (Euclidean norm)
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −4
10 −14
Wie vermeidet man das Überschiessen des expliziten Eulerverfahrens bei stark attraktiven Fixpunkten
und grossen Zeitschrittweiten ?
y
y h (t 1 ) y(t)
y 0
t
t 0 t 1 Fig. 33
Idee: Approximiere Lösung durch (t 0 , y 0 ) auf
[t 0 ,t 1 ] durch
• Strecke duch (t 0 , y 0 )
• mit Steigung f(t 1 , y 1 )
✁ — ˆ= Lösungkurve durch (t 0 , y 0 ),
— ˆ= Lösungkurve durch (t 1 , y 1 ),
— ˆ= Tangente an — in (t 1 ,y 1 ).
1.4
p. 70
10 1 timestep h
10 −5
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
λ klein: O(h)-Konvergenz (asymptotisch)
Fig. 34
Modellproblemanalyse (wie in Abschnitt 1.4.1):
( ) 1 k
y k = y 0 ⇒ |y
1 − λh k | →
10 2 timestep h
10 −16
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 35
λ gross: stabil für alle Zeitschrittweiten h !
(1.4.9) for f(y) = λy: y k+1 = y k
1
1 − λh . (1.4.10)
⎧
⎪⎨ 0 , wenn λh < 0 (qualitativ richtig) ,
∞ , wenn 0 < λh < 1 (qualitativ richtig) ,
⎪⎩
∞ , wenn λh > 1 (Oszillationen, qualitativ falsch) .
✸
1.4
p. 72

p
p
p
Beispiel 1.4.6 (Euler-Verfahren für Pendelgleichung).
Mathematisches Pendel → Bsp. 1.2.7: Hamiltonsche Form (1.2.11) der Bewegungsgleichungen
Winkelgeschwindigkeit p := ˙α ⇒ d ( ) ( )
α p
=
dt p − g l sin α , g = 9.8, l = 1 . (1.2.11)
Approximative numerische Lösung mit explizitem/implizitem Eulerverfahren (1.4.2)/(1.4.9),
Konstante Zeitschrittweite h = T/N, T = 5 Endzeitpunkt, N ∈ {50, 100, 200},
2
1.5
1
0.5
0
Erstes Integral (→ Def. 1.2.1):
I(y) = ‖y‖
(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit auf Kreisbahn)
40 timesteps on [0,10.000000]
160 timesteps on [0,10.000000]
1.5
exact solution
exact solution
explicit Euler
explicit Euler
implicit Euler
implicit Euler
1
0.5
Startwert: α(0) = π/4, p(0) = 0.
y 2
−0.5
−1
y 2
0
−1.5
−0.5
6
4
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
50 timesteps on [0,5.000000]
6
4
100 timesteps on [0,5.000000]
4
3
200 timesteps on [0,5.000000]
−2
−2.5
−1
2
2
0
2
0
1
0
−3
−4 −3 −2 −1 0 1 2
y 1
3
Fig. 41
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0
y 1
0.5 1 1.5
Fig. 42
−2
−4
−6
−8
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4
α
−2
−4
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
Fig. 36
−6
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Fig. 37
−4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Fig. 38
α
−1
−2
−3
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
α
☞ Expliziter Euler: Numerische Lösung wird aus der Kurve getragen”
”
☞ Impliziter Euler: Numerische Lösung stürzt ins Zentrum”
”
✸
Verhalten der approximativen Energien: kinetische Enegie : E kin (t) = 1 2 p(t)2
1.4
potentielle Energie : E pot (t) = − g l cosα(t) p. 73
9
8
Energies for explicit Euler discrete evolution
kinetic energy
potential energy
total energy
3
Energies for implicit Euler discrete evolution
kinetic energy
potential energy
total energy
1.4.3 Implizite Mittelpunktsregel
1.4
p. 75
7
6
2.5
2
Wie vermeidet man die Energiedrift für explizites/implizites Euler-Verfahren angewandt auf konservative
Systeme ?
energy
5
4
3
2
1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 39
☞ Expliziter Euler: Anwachsen der Gesamtenergie des Pendels
☞ Impliziter Euler: Pendel kommt zur Ruhe ( numerische Reibung”)
”
Beispiel 1.4.7 (Eulerverfahren für längenerhaltende Evolution).
Anfagswertproblem für , D = R 2 :
( )
y2
ẏ =
−y 1
, y(0) = y 0 ➤ y(t) =
energy
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 40
( )
cost sint
y
− sin t cost 0 .
✸
1.4
p. 74
y
y ∗ y h (t 1 )
y 0
t 0 t 1
t ∗ f(t ∗ ,y ∗ )
t
Fig. 43
Idee: Approximiere Lösung durch (t 0 ,y 0 ) auf
[t 0 ,t 1 ] durch
• lineares Polynom durch (t 0 ,y 0 )
• mit Steigung f(t ∗ ,y ∗ ),
t ∗ := 1 2 (t 0 + t 1 ), y ∗ = 1 2 (y 0 + y 1 )
✁ — ˆ= Lösungkurve durch (t 0 , y 0 ),
— ˆ= Lösungkurve durch (t ∗ , y ∗ ),
— ˆ= Tangente an — in (t ∗ ,y ∗ ).
Anwendung auf kleine Zeitintervalle [t 0 ,t 1 ], [t 1 , t 2 ], . .., [t N−1 , t N ] ➤ implizite Mittelpunktsregel
durch implizite Mittelpunktsregel erzegte Näherung y k+1 für y(t k ) erfüllt
y k+1 := y h (t k+1 ) = y k + h k f( 1 2 (t k + t k+1 ), 1 2 (y k + y k+1 )) , k = 0, ...,N − 1 , (1.4.11)
mit lokaler (Zeit)schrittweite h k := t k+1 − t k . p. 76
1.4

p
p
p
Beachte: (1.4.11) erfordert Auflösen einer (evtl. nichtlinearen) Gleichung nach y k+1 !
(➤ Terminologie ”
implizit”)
Bemerkung 1.4.8 (Implizite Mittelpunktsregel als Differenzenverfahren).
2
1.5
1
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
40 timesteps on [0,10.000000]
1.5
1
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
160 timesteps on [0,10.000000]
(1.4.11) aus Approximation der Zeitableitung
dt d durch zentralen Differenzenquotienten auf Zeitgitter
G := {t 0 , t 1 ,...,t N }:
ẏ = f(t,y) ←→ y h(t k+1 ) − y h (t k )
h k
= f( 1 2 (t k + t k+1 ), 1 2 (y h(t k ) + y(t k+1 )), k = 0, ...,N − 1 .
Beispiel 1.4.9 (Implizite Mittelpunktsregel für logistische Dgl.).
△
y 2
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−4 −3 −2 −1 0 1 2
y 1
3
Fig. 46
y 2
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0
y 1
0.5 1 1.5
Fig. 47
Wiederholung der numerischen Experimente aus Beispiel 1.4.3 für implizite Mittelpunktsregel (1.4.11):
☞ Implizite Mittelpunktsregel: Perfekte Längenerhaltung !
✸
✬
Lemma 1.4.2 (Erhaltung quadratischer erster Integrale durch implizite Mittelpunktsregel).
Falls I : D ⊂ R d ↦→ R, I(y) := 2 1yT Ay, A ∈ R d,d , erstes Integral (→ Def. 1.2.1) der
autonomen Dgl. ẏ = f(y) mit global differenzierbarer rechter Seite f : D ↦→ R d , dann gilt
✩
1.4
p. 77
✫
I(y k ) = I(y 0 ) ∀k ∈ Z für y k gemäss (1.4.11)
Beispiel 1.4.11 (Implizite Mittelpunktsregel für Pendelgleichung).
✪
1.4
p. 79
10 −1
10 −2
error (Euclidean norm)
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −6
10 −8
10 −10
10 −7
10 −8
λ = 1.000000
λ = 2.000000
λ = 5.000000
λ = 10.000000
10 −12
10 −14
10 0 timestep h
10 −2
10 −4
error (Euclidean norm)
λ = 10.000000
λ = 20.000000
λ = 50.000000
λ = 90.000000
O(h 2 )
10 −9
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 44
λ klein: O(h 2 )-Konvergenz (asymptotisch)
10 0 timestep h
Anfangswertproblem und numerische Experimente wie in Bsp. 1.4.6
6
4
2
0
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
50 timesteps on [0,5.000000]
6
4
2
100 timesteps on [0,5.000000]
4
3
2
1
200 timesteps on [0,5.000000]
−2
−4
0
−2
0
−1
−2
O(h 2 )
10 −16
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 45
λ gross: stabil für alle Zeitschrittweiten h ! ✸
−6
−8
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4
α
−4
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
Fig. 48
−6
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Fig. 49
−4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Fig. 50
α
−3
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
α
Beispiel 1.4.10 (Implizite Mittelpunktregel für Kreisbewegung).
1.4
p. 78
1.4
p. 80

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
3
Energies for implicit midpoint discrete evolution
Bemerkung 1.4.12 (Störmer-Verlet-Verfahren als Differenzenverfahren).
energy
2.5
2
1.5
1
0.5
kinetic energy
potential energy
total energy
0
time t
Fig. 51
✁ Verhalten der Energien bei numerischer
Integration mit impliziter Mittelpunktsregel
(1.4.11), N = 50.
Keine (sichtbare) Energiedrift im Vergleich zu
Euler-Verfahren (trotz grosser Zeitschritte)
✸
(1.4.14) aus Approximation der zweiten Zeitableitung durch zweiten zentralen Differenzenquotienten
auf Zeitgitter G := {t 0 ,t 1 , ...,t N }: für uniforme Zeitschrittweite h > 0
ÿ = f(y) ←→
y h (t k+1 )−y h (t k )
h − y h(t k )−y h (t k−1 )
h = y h(t k+1 ) − 2y h (t k ) + y h (t k−1 )
h
h 2 = f(y h (t k )) .
Bemerkung 1.4.13 (Startschritt für Störmer-Verlet-Verfahren).
Anfangswerte für (1.4.12), siehe Bem. 1.1.6: y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0
△
1.4.4 Störmer-Verlet-Verfahren [13]
Benutze virtuellen Zeitpunkt t −1 := t 0 − h 0
Wende (1.4.14) an auf [t −1 , t 1 ]:
?
Übertragung der Idee der Euler-Verfahren (→ Sect. 1.4.1, 1.4.2) auf Differentialgleichungen 2.
Ordnung
ÿ = f(t,y) . (1.4.12)
1.4
p. 81
Zentraler Differenzenquotient auf [t −1 , t 1 ]:
y 1 = −y −1 + 2y 0 + h 2 0 f(t 0,y 0 ) . (1.4.15)
y 1 − y −1
2h 0
= v 0 . (1.4.16)
1.4
p. 83
Gegeben y k−1 ≈ y(t k−1 ), y k ≈ y(t k ) approximiere y(t) auf [t k−1 ,t k+1 ] durch
• Parabel p(t) durch (t k−1 ,y k−1 ), (t k ,y k ) (∗),
• mit
¨p(t k ) = f(y k ) (∗).
Berechne y 1 aus (1.4.15) & (1.4.16)
Beispiel 1.4.14 (Störmer-Verlet-Verfahren für Pendelgleichung).
△
(∗) ➜
Parabel eindeutig bestimmt.
y k+1 := p(t k+1 ) ≈ y(t k+1 )
(1.4.14) angewandt auf (1.2.10)
Startschritt gemäss Bem. 1.4.13
5
4
3
Pendulum g = 9.800000, l = 1.000000,α(0)=1.570796,p(0)=0.000000
Störmer-Verlet-Verfahren für (1.4.12) (Zeitgitter G := {t 0 ,t 1 , ...,t N }):
y k+1 = − h (
k
y
h k−1 + 1 + h )
k
y
k−1 h k + 1 2 (h2 k + h kh k−1 )f(t k ,y k ) , k = 1,...,N − 1 .
k−1
Für uniforme Zeitschrittweite h:
(1.4.13)
Uniforme Zeitschrittweitee h := T/N, N ∈ N
Zeitschritte
Referenzlösung durch MATLAB-Funktion
ode45() (extrem kleine Toleranzen)
α 0 = π/2, p 0 = 0, T = 5, vgl. Bsp. 1.4.6
velocity p
2
1
0
−1
−2
−3
y k+1 = −y k−1 + 2y k + h 2 f(t k ,y k ) , k = 1, ...,N − 1 . (1.4.14)
Beachte: (1.4.13) erfordert nicht das Lösen einer Gleichung (➤ explizites Verfahren)
Anzahl Zeitschritte: N = 40
−4
−5
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 0
angle α
1.5 2
Fig. 52
Terminologie: y k+1 = y k+1 (y k ,y k−1 ) ➤ (1.4.13) ist ein Zweischrittverfahren
(Explizites/implizites Euler-Verfahren, Mittelpunktsregel = Einschrittverfahren)
1.4
p. 82
1.4
p. 84

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
2
Pendulum g = 9.800000, l = 1.000000,α(0)=1.570796,p(0)=0.000000
5
Pendulum g = 9.800000, l = 1.000000,α(0)=1.570796,p(0)=0.000000
Ordnung, siehe (1.1.5): mit v k+ 1
2
:= y k+1−y k
h
angle α
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
velocity p
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
ÿ = f(y)
↕
y k+1 − 2y k + y k−1 = h 2 k f(y k)
←→
←→
ẏ = v ,
˙v = f(y) .
↕
v k+ 1 = v k + h
2
2 f(y k) ,
y k+1 = y k + hv k+ 1 ,
2
v k+1 = v k+ 1 + h
2
2 f(y k+1) .
−1.5
−2
time t
Fig. 53
−4
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 54
Zweischrittverfahren
Einschrittverfahren
Startschritt (→ Bem. 1.4.13) ist implizit in der Einschrittformulierung enthalten.
△
Bemerkung 1.4.16 (Störmer-Verlet-Verfahren als Polygonzugmethode).
10
Energies for Stoermer−Verlet discrete evolution
1.4
p. 85
y/v
1.4
p. 87
9
8
energy
7
6
5
4
3
2
1
kinetic energy
potential energy
total energy
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 55
☞ Keine Energiedrift trotz grosser Zeitschrittweite
Perfekt periodische Orbits !
Kontrast: Bsp. 1.4.6
✸
Perspektive: Störmer-Verlet-Verfahren
als Einschrittverfahren
(siehe Bem. 1.4.15)
v k+ 1 = v
2 k− 1 + hf(y k ) ,
2
y k+1 = y k + hv k+ 1 .
2
v k−3/2
v k−1/2
v k+1/2
△
y k
f
f
y k−2
y k−1
y k+1
Bemerkung 1.4.15 (Einschrittformulierung des Störmer-Verlet-Verfahrens).
t k−2 t k−1 t k t k+1
t
Für uniforme Zeitschrittweite, vgl. (1.4.14), analog zur Umwandlung einer Dgl. 2. Ordnung → Dgl. 1.
Erinnerung (Bem. 1.2.2) an die Frage
für ODEs?”
”
Warum viele verschiedene numerischer Lösungsverfahren
1.4
p. 86
Antwort:
Jeder numerische Integrator hat spezielle Eigenschaften
1.4
➥ besonders geeignet/ungeeignet für bestimmte Klassen von AWPe p. 88

2 Einschrittverfahren
Baustein: Zeitgitter G := {t 0 , t 1 , . ..,t N = T } , t 0 < t 1 < · · · < t N .
(Terminologie: t k ˆ= Gitterpunkte, lokale (Zeit)schrittweite h k := t k+1 − t k )
✎ Notation: globale Zeitschrittweite h = h G = max
0≤i

Definition 2.1.3 (Diskretisierungsfehler).
Für gegebenes T ∈ J(t 0 ,y 0 ), sei y : [t 0 , T] ↦→ R d Lösung des AWP (1.1.6)
y G eine Näherungslösung auf dem Gitter G = {t 0 < t 1 < · · · < t N = T }.
Diskretisierungsfehler
Definition 2.1.4 (Konvergenz und Konvergenzordnung).
Das ESV (2.1.1) zum AWP (1.1.6) konvergiert, falls
∀ǫ > 0: ∃δ > 0: ∀Zeitgitter G: h G ≤ δ ⇒
(Kurz: ǫ G → 0, falls h G → 0)
ǫ G := max
0≤k≤N ‖y(t k) − y k ‖ .
ESV wohldefiniert,
ǫ G ≤ ǫ .
Das ESV heisst (algebraisch) konvergent von der Ordnung p ∈ N, falls
✗
✖
d
(
Ψ s,t y
dt
)
Falls Ψ (i)–(iii) erfüllt, dann gilt Ψ = Φ !
Ψ s,t+τ y − Ψ s,t y (iii) Ψ t,t+τ (Ψ s,t y) − Ψ t,t (Ψ s,t y) (ii)
= lim
= lim
= f(t,Ψ s,t y) .
τ→0 τ τ→0 τ
t ↦→ Ψ s,t löst das gleiche Anfangswertproblem für ẏ = f(t,y) wie t ↦→ Φ s,t y. Mit Satz von Picard-
Lindelöf Thm. 1.3.4 folgt Ψ = Φ.
Definition 2.1.5 (Konsistenz einer diskreten Evolution).
Diskrete Evolution Ψ ist konsistent mit der ODE ẏ = f(t,y), falls für alle (t,y) ∈ Ω
Ψ t,t d
y = y und
ds Ψt,t+s y
∣ = f(t,y) .
s=0
✔
✕
ESV wohldefiniert,
∃h 0 > 0, C > 0:
ǫ G ≤ Ch p G
(Kurzschreibweise mit Landau-Symbol ǫ G = O(h p ))
∀Zeitgitter G, h G ≤ h 0 .
2.1
Erweiterung: Kovergenz für alle (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω ➣ globale Konvergenz p. 93
Beachte: Kovergenz ist ein asymptotischer Begriff (h G → 0)
2.1.2 Konsistenz [5, Sect. 4.1.1]
✬
Lemma 2.1.6 (Darstellung konsistenter diskreter Evolutionen).
(t,y) ∈ Ω, s ↦→ Ψ t,t+s y stetig differenzierbar in Umgebung von 0. Ψ is genau dann konsistent
mit ẏ = f(t,y) (→ Def. 2.1.5), wenn eine auf dieser Nullumgebung stetige Inkrementfunktion
h ↦→ ψ(t,y, h) existiert mit
Ψ t,t+h y = y + hψ(t,y,h) , ψ(t,y, 0) = f(t,y) . (2.1.2)
✩
2.1
p. 95
Kontinuierliche Evolution (→ Def. 1.3.5) ←→
Diskrete Evolution
Φ s,t
Ψ s,t
erfüllt für alle (t,y) ∈ Ω
sollte erfüllen:
(i) Φ t,t y = y
(i) Ψ t,t y = y klar!
(ii) d ds Φt,t+s y
d
∣ = f(t,y)
(ii)
s=0 ds Ψt,t+s y
∣ = f(t,y) unbedingt!
s=0
(iii) Φ r,s Φ t,r y = Φ t,s y ∀r,s ∈ J(t,y) (iii) Ψ r,s Ψ t,r y = Ψ t,s y ∀r, s ∈ J(t,y) utopisch!
Unter der Annahme, dass t ↦→ Ψ s,t y differenzierbar:
✫
Definition 2.1.7 (Konsistenzfehler einer diskreten Evolution).
Konsistenzfehler: τ(t,y,h) := Φ t,t+h y − Ψ t,t+h y (h hinreichend klein); .
✬
Lemma 2.1.8 (Konsistenz und Konsistenzfehler).
Sei (t,y) ∈ Ω, s ↦→ Ψ t,t+s y stetig differenzierbar in Umgebung von 0. Ψ is genau dann
konsistent mit ẏ = f(t,y) (→ Def. 2.1.5), wenn für den Konsistenzfehler gilt
‖τ(t,y, h)‖ = o(h) für h → 0 lokal gleichmässig in (t,y) ∈ Ω .
✪
✩
2.1
p. 94
✫
✎
Notation:
✪
2.1
g(h)
Landau-o”: g(h) = o(h) :⇔
” h → 0 für h → 0 p. 96

Interpretation:
✓
✏
Konsistenzfehler = Einschrittfehler
✒
✑
— ˆ= exakte Lösung durch (y,y)
— ˆ= Näherungslösung aus diskreter Evolution
D
t
y
Ψ t,t+h y
τ(t,y, h)
Φ t,t+h y
t + h
D(y) := x -> f(y(x));
D (y) := x ↦→ f (y (x))
y0 := y(0);
y0 := y (0)
solve(y0+h*f((y0+y1)/2)=y1,{y1});
{y1 = RootOf (−y (0) − hf (1/2y (0) + 1/2 Z) + Z)}
assign(%);
taylor(y1-y(h),h=0,4);
(( (
series −1/6 D (2)) (f) (y (0)) (f (y (0))) 2 − 1/6 (D (f) (y (0))) 2 f (y (0))
((
+ 1/8 f (y (0)) D (2)) (f) (y (0)) f (y (0)) + 2 (D (f) (y (0))) 2) ) (
h 3 + O h 4) )
,h, 4
Definition 2.1.9 (Konsistenzordnung einer diskreten Evolution).
Eine diskrete Evolution hat Konsistenzordnung p ∈ N, falls für den Konsistenzfehler lokal
gleichmässig in Ω gilt
‖τ(t,y, h)‖ = O(h p+1 ) für h → 0 . (2.1.3)
Implizite Mittelpunktsregel hat Konsistenzordnung 2 !
Bestimmung der formalen Konsistenzordnung eines ESV immer unter der Annahme
hinreichender (∗) Glattheit der exakten Lösung !
✸
Dass (2.1.3) lokal gleichmässig gilt bedeutet
∀(t,y) ∈ Ω: ∃h 0 , δ,C > 0: τ(˜t,ỹ,h) ≤ Ch p+1 ∀˜t,ỹ,h: |˜t − t| ≤ δ, ‖ỹ − y‖ ≤ δ ,
0 ≤ h ≤ h 0 .
2.1
p. 97
(∗):
” hinreichend” ˆ= so glatt, wie für Taylorentwicklung erforderlich p. 99
2.1
Wegen der Äquivalenz aller Normen auf dem endlichdimensionalen Raum R d ist die Wahl der Norm
in den Definitionen 2.1.7 und 2.1.9 belanglos.
Falls exakte Lösung nicht hinreichend glatt ☞ eingeschränkte Bedeutung der Konsistenzordnung
für das tatsächliche Verhalten eines Verfahrens.
Technik zur Bestimmung der Konsistenzordnung:
Taylor-Entwicklung
In dieser Vorlesung:
Beispiel 2.1.3 (Konsistenzordnung einfacher Einschrittverfahren).
(Oft) stillschweigende Annahme ”
hinreichender Glattheit” !
Implizite Mittelpunktsregel (1.4.11): y 1 = y 0 + hf( 1 2 (t 0 + t 1 ), 1 2 (y 0 + y 1 ))
Beachte: Keine explizite Formel für Ψ ! (“implicit” method)
Für die ”
faulen” Leute: Computeralgebra (MAPLE) !
2.1.3 Konvergenz
2.1
p. 98
Betrachte wird Anfangswertproblem
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 für ein (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω := I × D . 1.1.6
Annahme: rechte Seite f : Ω ↦→ R d lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2)
Thm. 1.3.4 ➣ Existenz & Eindeutigkeit von Lösung t ↦→ y(t)
2.1
p. 100

Betrachte Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.1) mit Verfahrensfunktion
Ψ : Ω h ⊂ I × I × D ↦→ R d
Beweis. (durch Induktion nach N)
Ψ t,t+h y := y + hψ(t,y,h) . (2.1.5)
Inkrementfunktion
Annahme: Lokale Abschätzung für Konsistenzfehler(→ Def. 2.1.7): für ein p ∈ N
∥
∀(t,y) ∈ Ω: ∃C c > 0,δ > 0: ∥Φ t,t+h y − Ψ t,t+h y∥ ≤ C c h p+1 ∀|h| hinreichend klein ,
∀ty: |t − t| < δ, ‖y − y‖ < δ .
Beachte: Konsistenzordnung p für diskrete Evolution Ψ bzgl. ẏ = f(t,y) ⇒ (2.1.6)
(2.1.6)
y G = (y k ) N k=0 : Gitterfunktion erzeugt durch ESV Ψ auf Zeitgitter (T > t 0 ˆ= Endzeitpunkt) )
vgl. Def. 2.1.1.
G := {t 0 < t 1 < · · · < t N = T } ⊂ J(t 0 ,y 0 ) ,
Mit der Konvention, dass leere Summen verschwinden, gilt die Behauptung für N = 0 (Induktionsbeginn)
Induktionsschluss:
ξ N+1
(2.1.7)
≤ Ch p+1
N + (1 + lh N)ξ
⎛ N
⎛
⎞
⎞
∗
≤ Ch p+1
N + (1 + Lh N) ⎝C ( N−1 ) 1
max
k=0 hp k
⎝exp ( N−1 ∑ )
L h
L
k − 1 ⎠ + exp ( N−1 ∑ )
L h k ξ0 ⎠
k=0
k=0
⎛
≤ C ( N )
max
k=0 hp k
⎝h N + 1 (
exp ( N∑ ) ) ⎞
L h
L k − 1 − LhN ⎠ + exp ( N∑ )
L h k ξ0
k=0
k=0
Das ist die Behauptung des Lemmas für N + 1.
∗: Benutzt die Induktionsannahme, d.h., die Behauptung des Lemmas für ξ N .
Benutzt die elementare Abschätzung 1+x ≤ exp(x), x ∈ R (Konvexität der Exponentialfunktion).
✬
Theorem 2.1.10 (Kovergenztheorem für Einschrittverfahren).
Es gelte Annahme (2.1.6) und die Darstellung (2.1.5). Ist die Inkrementfunktion ψ lokal
Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2) in der Zustandsvariablen y, dann
(i) liefert die Verfahrensfunktion Ψ für alle Zeitgitter G mit hinreichend kleinem h G eine
Gitterfunktion y G zum Anfangswert y 0 ,
(ii) konvergiert diese Familie {y G } G von Gitterfunktionen von der Ordnung p gegen t ↦→ y(t),
siehe Def. 2.1.4
✫
Hilfsmittel beim Beweis:
✩
✪
2.1
p. 101
Beweis von Thm. 2.1.10.
➀ Kompakte Umgebung der Lösungstrajektorie t ↦→ y(t) zum Anfangswert y 0 :
Für hinreichend kleines δ > 0:
K δ := {(t,y) ∈ I × R d : t 0 ≤ t ≤ T, ‖y − y(t)‖ ≤ δ} , δ > 0 .
K δ ⊂ Ω
Infolge der lokalen Lipschitz-Bedingung an ψ und der lokalen Konsistenzfehlerabschätzung (2.1.6)
➁ Annahme A1: (y k ) N k=0 existiert und y k ∈ K δ ⊂ Ω für ein δ > 0. Diese Annahme wird a posteriori
(durch Induktion nach N) für hinreichend kleines h G besätigt.
2.1
p. 103
✬
Lemma 2.1.11 (Diskretes Gronwall-Lemma, siehe Lemma 1.3.7).
Erfüllt die Folge (ξ k ) k∈N0 , ξ k ≥ 0, die Differenzenungleichung
✫
ξ k+1 ≤ Ch p+1
k + (1 + Lh k )ξ k , k ∈ N 0 , L,C,h k ≥ 0 , (2.1.7)
so gilt
⎛
⎞
ξ N ≤ C ( ) 1
max
k=0,...,N−1 hp k
⎝exp ( N−1 ∑ )
L h
L
k − 1 ⎠ + exp ( N−1 ∑ )
L h k · ξ0 , N ∈ N 0 .
k=0
k=0
✩
✪
2.1
p. 102
➂ Beachte y k+1 = Ψ t k,t k+1 y k ➣ Rekursion für Fehler e k := y(t k ) − y k
(
)
)
e k+1 = y(t k+1 ) − Ψ t k,t k+1y(tk ) +
(Ψ t k,t k+1y(tk ) − Ψ t k,t k+1yk
} {{ } } {{ }
Einschrittfehler
propagierter Fehler
(2.1.5)
= τ(t k ,y(t k ), h k ) + e k + h k (ψ(t k ,y(t k ), h k ) − ψ(t k ,y k , h k )) ,
wobei die Def. 2.1.7 des Konsistenzfehlers τ benutzt worden ist.
➃ Kompaktheitsargumente:
(2.1.8)
2.1
p. 104

Konsequenz der lokalen Konsistenzfehlerabschätzung (2.1.6): für |h| hinreichend klein
∥
∃C > 0: ∥Φ t,t+h y − Ψ t,t+h y∥ ≤ C c h p+1 ∀(t,y), (t + h,y) ∈ K δ . (2.1.9)
Konsequenz der lokalen Lipschitz-Stetigkeit (→ Def. 1.3.2) der Inkrementfunktion ψ: für |h|
hinreichend klein
∃L > 0: ‖ψ(t,z, h) − ψ(t,w,h)‖ ≤ L ‖z − w‖ ∀(t,z), (t,w) ∈ K δ . (2.1.10)
2.1.4 Das Äquivalenzprinzip (Dahlquist, Lax)
Ziel: Abstraktion des Beweises von Thm. 2.1.10
Betrachte: Äquidistante Zeitgitter G = {t k } N k=0 , t k := t 0 + hk, h := (T − t 0 )/N, N ∈ N
➄ (2.1.8) & △-Ungleichung ⇒ Rekursion für Fehlernorm:
‖e k+1 ‖ ≤ ‖e k ‖ + ‖τ(t k ,y(t k ), h k )‖ + h k ‖ψ(t k ,y(t k ),h k ) − ψ(t k ,y k , h k )‖
(2.1.10)
≤ ‖e k ‖ + ‖τ(t k ,y(t k ), h k )‖ + h k L ‖y(t k ) − y k ‖
(2.1.9)
≤ Ch p+1
k + (1 + Lh k ) ‖e k ‖ .
(Annahme:
diskrete Evolution Ψ
Gitterfunktion y G = (y k ) N k=0
G ⊂ J(t 0 ,y 0 ), y G wohldefiniert)
←→
(kontinuierliche) Evolution Φ
Lösung t ↦→ y(t)
Anwendung des diskreten Gronwall-Lemmas mit ξ k := ‖e k ‖, ξ 0 = 0:
Lemma 2.1.11 ⇒ ‖e k ‖ ≤ Ch p exp(L(T − t 0 )) − 1
G
.
L
➅ Die Abschätzung zeigt, dass y k − y(t k ) → 0 für h G → 0. Damit kann durch Induktion bewiesen
werden
∀δ > 0: ∃h ∗ = h ∗ (δ) > 0: h G < h ∗ ⇒ (t k ,y k ) ∈ K δ ∀k .
Damit ist Annahme A1 gerechtfertigt.
Beachte: Der Beweis benutzt nur den Konsistenzfehler entlang der Lösungstrajektorie τ(t,y(t), h).
Man kann also die Voraussetzung der Konsistenzordung p (→ Def. 2.1.9) schwächer formulieren
als
‖τ(t,y(t),h)‖ ≤ C c h p+1
∀t ∈ [t 0 ,T] , für h hinreichend klein.
✷
2.1
p. 105
D
y(t)
y k+1 Ψ y k+2
Ψ
y k
Ψ
y k−1
t k−1 t k t k+1 t k+2
t
Konsistenzfehler, vgl. Def. 2.1.7:
τ(t,y,h) := (Φ t,t+h y − Ψ t,t+h y) .
Fehlerfunktion: e k := y(t k ) − y k .
✁ — ˆ= t ↦→ y(t)
• ˆ= y(t k )
• ˆ= y k
−→ ˆ= Ψ t k,t k+1
2.1
p. 107
Merkregel: (Nur) für Einschrittverfahren:
✗
✖
Konsistenzordnung p =⇒ Konvergenzordnung p
Aus dem diskreten Gronwall-Lemma ergibt sich, dass die Konstante in der asymptotischen Fehlerabschätzung
von Thm. 2.1.10 exponentiell von T − t 0 abhängt. Dies macht die Abschätzung des
Theorems u.U. wertlos für Langzeitintegration, vgl. Lemma 4.4.17.
✔
✕
Fehlerrekursion
e k = y(t k ) − y k
= y(t k ) − Ψ t k−1,t k(y(tk−1 ) + e k−1 )
= Ψ t k−1,t k(y(tk−1 )) − Ψ t k−1,t k(y(tk−1 ) + e k−1 )
} {{ }
fortgepflanzter Fehler
+ y(t k ) − Ψ t k−1,t k(y(tk−1 ))
} {{ }
Einschrittfehler = Konsistenzfehler
e k−1
y k−1
y k
e k
Ψ t k−1,t k
(y(t k−1 )
y(t k )
y(t k−1 )
Fig. 56
t k−1 t k
2.1
p. 106
Konzept: Stabilität einer diskreten Evolution ←→ Kontrolle der Fehlerfortpflanzung
2.1
p. 108

Definition 2.1.12 (Nichtlineare Stabilität).
Eine diskrete Evolution Ψ ist (nichtlinear) stabil
∥
:⇔ ∃c > 0: ∥Ψ t,t+h y − Ψ t,t+h z∥ ≤ (1 + ch) ‖y − z‖
lokal gleichmässig in (t,y) für hinreichend kleine ‖y − z‖, h > 0.
Für ESV (2.1.5): Lokale Lipschitz-Stetigkeit von ψ ➣ nichtlineare Stabilität
Unter der Annahme der Eindeutigen Auflösbarkeit der Definitionsgleichung (1.4.11) nach y k+1 :
⇒ y = Ψ t+h,t Ψ t,t+h y .
Störmer-Verlet-Verfahren (→ Sect. 1.4.4) in Einschrittformulierung von Bem. 1.4.15
v k+ 1 = v k + h
2
2 f(y k) ,
y k+1 = y k + hv k+ 1 ,
2
v k+1 = v k+ 1 + h
2
2 f(y k+1) .
⇒
v k+ 1 = v k+1 − h
2
2 f(y k+1) ,
y k = y k+1 − hv k+ 1 ,
2
v k = v k+ 1 − h
2
2 f(y k) .
✬
Theorem 2.1.13 ( Konsistenz & (nichtlineare) Stabilität ⇒ Konvergenz ).
Falls Ψ konsistent mit Φ (von Ordnung p) und (nichtlinear) stabil, so konvergiert das Einschrittverfahren
global (von Ordnung p).
✫
✩
✪
Man erkennt Reversibilität an der Verfahrensvorschrift, wenn der Austausch y k ↔ y k+1 und h ↔
−h Gleichungen liefert, die mit der ursprünglichen Verfahrensvorschrift identisch sind.
✸
✬
✩
2.1.5 Reversibilität
2.1
p. 109
Theorem 2.1.15 (Konsistenzordnung reversibler ESV).
Die maximale Konsistenzordnung (→ Def. 2.1.9) eines reversiblen Einschrittverfahrens (→
Def. 2.1.14) ist gerade.
✫
Der Beweis verwendet folgendes Hilfsresultat ([5, Lemma 4.38]):
✪
2.1
p. 111
✬
✩
Wir haben gesehen: Eine approximative diskrete Evolution Ψ (→ Sect. 2.1.1) kann im Allgemeinen
nicht erfüllen: Ψ r,s Ψ t,r = Ψ t,s
Jedoch: für s = t ist diese Forderung realisierbar !
Definition 2.1.14 (Reversible diskrete Evolutionen).
Eine diskrete Evolution Ψ : ˜Ω h ⊂ I × I × D ↦→ R d (und das zugehörige Einschrittverfahren)
heisst reversibel, falls
Lemma 2.1.16 (Störungslemma für diskrete Evolutionen).
Sei f zweimal stetig differenzierbar und Ψ eine zur ODE ẏ = f(t,y) konsistente (→ Def. 2.1.5)
diskrete Evolution, stetig differenzierbar in h und y. Dann gilt für (t,y) ∈ Ω und hinreichend
kleine z ∈ R d
Ψ t,t+h (y + z) = Ψ t,t+h y + z + h ∂f
∂y (t,y)z + r(h,z) , ‖r(h,z)‖ ≤ C(h2 ‖z‖ + h ‖z‖ 2 ) ,
mit C > 0 unabhängig von h und z.
✫
✪
Ψ t,s Ψ s,t y = y ∀(t,y) ∈ Ω , ∀ |t − s| hinreichend klein .
☞
Thm. 2.1.15 erklärt in Bsp. 1.4.9 beoachtete O(h 2 )-Kovergenz der impliziten Mittelpunktsregel.
Beispiel 2.1.4 (Einfache reversible Einschrittverfahren).
implizite Mittelpunktsregel (1.4.11)
Ψ t,t+h y = y + hf(t + 2 1h, 2 1(y + Ψt,t+h y))
⇓
2.1
y = Ψ t,t+h y − hf(t + h − 2 1h, 2 1(y + Ψt,t+h y) . p. 110
2.2
p. 112

2.2 Kollokationsverfahren[5, Sect. 6.3], [11, Sect. II.1.2]
2.2.1 Konstruktion
Zunächst: Fokus auf ersten (↔ allgemeinem) Schritt
(dies genügt bei Einschrittverfahren → Def. 2.1.1)
s∑
(2.2.1) ⇒ ẏ h (t 0 + τh) = k j L j (τ) , k j := f(t 0 + c j h,y h (t 0 + c j h)) .
j=1
s∑
∫ τ
⇒ y h (t 0 + τh) = y 0 + h k j L j (ζ) dζ .
j=1
0
✗
✖
Idee: ➊ Approximiere y(t), t ∈ [t 0 ,t 1 ], in s + 1-dimensionalem Ansatzraum V von
Funktionen [t 0 ,t 1 ] ↦→ R d ✄ y h .
➋ Festlegung von y h ∈ V durch Kollokationsbedingungen
y h (t 0 ) = y 0 , ẏ h (τ j ) = f(τ j ,y h (τ j )) , j = 1, . ..,s , (2.2.1)
für Kollokationspunkte t 0 ≤ τ 1 < . .. < τ s ≤ t 1 .
” Standardoption”: Polynomialer Ansatzraum V = P s
✔
✕
Definierende Gleichungen des Kollokations-Einschrittverfahrens
(zu Kollokationspunkten 0 ≤ c 1 < c 2 < · · · < c s ≤ 1):
s∑
y h (t 1 ) = y 0 + h b i k i ,
i=1
mit
s∑
k i = f(t 0 + c i h,y 0 + h a ij k j ) .
j=1
∫ ci
a ij = L j (τ) dτ ,
∫
0
1
b i = L i (τ) dτ .
0
(2.2.3)
2.2
p. 113
Diskrete Evolution Ψ t 0,t 1 : Ω ↦→ Ω , Ψ
t 0 ,t 1y0 := y 1 := y h (t 1 )
2.2
p. 115
✎ Notation: P s ˆ= Raum der univariaten Polynome vom Grad ≤ s, s ∈ N 0
Bekannt: dim P s = s + 1
➤ (2.2.3) ˆ= (Nichtlineares) Gleichungssystem für Inkremente k i (≈ ẏ(t 0 + c i h))
✄ (Generische) Kollokationsverfahren = implizites Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.1)
➣
Ein Polynom p ∈ P s ist durch s+1 Interpolationsbedingungen für Werte/Ableitungen eindeutig
festgelegt.
Kollokations-Einschrittverfahren in der Form von Lemma 2.1.6:
s∑
Ψ t 0,t 0 +h y 0 = y 0 + hψ(t 0 ,y 0 ,h) mit Inkrementfunktion ψ(t 0 ,y 0 , h) = b i k i . (2.2.4)
i=1
➣
von y h )
Kollokationsbedingungen (2.2.1) legen Polynomgrad s nahe (im Sinne von Existenz/Eindeutigkeit
Bemerkung 2.2.1 (Umformulierung der Inkrementgleichungen (2.2.3)).
Äquivalente Form der Inkrementgleichungen (2.2.3):
Herleitung: Formel für y h (t 1 ) (h := t 1 − t 0 , τ j := t 0 + c j h, 0 ≤ c 1 < c 2 < ... < c s ≤ 1)
Ersetze Inkremente k i durch
s∑
g i := y 0 + h a ij k j , i = 1,...,s ⇔ k i = f(t 0 + c i h,g i ).
j=1
Hilfsmittel: {L j } s j=1 ⊂ P s−1 ˆ= Lagrange-Polynome zu Sützstellen c i , i = 1, . ..,s, in [0, 1]:
s∏ τ − c j
L i (τ) = , i = 1, ...,s ⇒ L
c
j=1,j≠i i − c j (c i ) = δ ij , i,j = 1, ...,s . (2.2.2)
j
2.2
p. 114
(2.2.3) ⇔
s∑
g i = y 0 + h a ij f(t 0 + c i h,g j )
j=1
s∑
y 1 = y 0 + h b i f(t 0 + c i h,g i ) .
i=1
(2.2.5)
2.2
p. 116

△
ist als Störung der Einheitsmatrix inverstierbar für hinreichend kleines h.
✷
✬
Lemma 2.2.1 (Lösbarkeit der Inkrementgleichungen).
Ist f lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2) auf dem erweiterten Zustandsraum Ω, so gibt es zu
jedem (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω ein h 0 > 0 so, dass (2.2.3) für jedes h < h 0 eindeutig nach den Inkrementen
k i auflösbar ist, und diese sind stetige Funktionen in h.
Ist f ∈ C m (Ω, R d ), m ∈ N, dann sind auch die Inkremente m-fach stetig differenzierbare
Funktionen von y 0 , t 0 ,h.
✫
Beweis” (von Lemma 2.2.1, unter stärkeren Voraussetzungen, für autonomen Fall ẏ = f(y))
”
Annahme:
k i = f(y 0 + h
s∑
a ij k j ) ⇔
j=1
f ist stetig differenzierbar auf Ω
⎛
f(y 0 + h s ⎞
∑
a 1j k j )
j=1
G(h, k) = 0 , G(h, k) := k −
.
,
⎜
⎝ ∑
f(y 0 + h s ⎟
a sj k j )
⎠
j=1
✩
✪
2.2
p. 117
Ein alternativer Beweis gibt zusätzliche Schrittweitenschranke für die Existenz einer Lösung der Inkrementgleichungen:
Hilfsmittel bei alternativem Beweis (→ Analysis-Vorlesung):
✬
Theorem 2.2.3 (Banachscher Fixpunktsatz, parameterabhängige Version).
V ⊂ R d abgeschlossen, U ⊂ R n offen, F : U × V ↦→ V sei total m-mal stetig differenzierbar,
m ∈ N 0 , und besitze die gleichmaässige Kontraktionseigenschaft
✫
∃0 ≤ q < 1: ‖F(u,z) − F(u,w)‖ ≤ q ‖z − w‖ ∀z,w ∈ V , ∀u ∈ U .
Dann gibt es eine m-mal stetig differenzierbare Funktion G : U ↦→ V so dass
F(u, G(u)) = G(u) ∀u ∈ U .
✎ Übliche Notation für Koeffizientenmatrix A := ( ) s
a ij i,j=1 ∈ Rs,s 2.2
p. 119
✩
✪
mit k = (k 1 , ...,k s ) T ∈ R s·d .
Idee: Anwendung des Satzes über implizite Funktionen auf G : R × D ↦→ D
✬
Theorem 2.2.2 (Satz über implizite Funktionen).
→ Analysis-Vorlesung
Seien I ⊂ R q , U ⊂ R n offen und G = G(ξ,y) : I × U ↦→ R n sei stetig differenzierbar. Für
ein (ξ 0 ,y 0 ) ∈ I × U gelte G(ξ,y) = 0.
✩
s∑
✎ Zeilensummennorm ‖A‖ ∞ := max |a ij | (ˆ= Matrixnorm zur Maximumnorm)
i=1,...,s j=1
Beweis. (von Lemma 2.2.1 für autonomen Fall ẏ = f(y))
Vorbereitung: Wie im Beweis von Thm. 2.1.10 betrachten wir f wieder auf einer kompakten Umgebung
K δ der L¨soungskurve t ↦→ y(t) im erweiterten Phasenraum Ω. Daher (zunächst) ohne
Beschränkung der Allgemeinheit die Annahme:
f global Lipschitz-stetig, vgl. Def. 1.3.2:
Ist die Jacobi-Matrix ∂G
∂y (ξ 0, y 0 ) invertierbar, dann gibt es eine Umgebung V ⊂ I von ξ 0 und
eine eindeutige stetig differenzierbare Funktion ξ ↦→ z(ξ) so, dass
✫
G(ξ, z(ξ)) = 0 ∀ξ ∈ V .
k 0 := (f(y 0 ),...,f(y 0 )) T erfüllt G(0, k 0 ) = 0
✪
∃L > 0: ‖f(z) − f(w)‖ ≤ L ‖z − w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.6)
Wir nehmen auch an, dass sich eine r-Umgebung von y 0 in D befindet:
∃r > 0: ‖z − y 0 ‖ ≤ r ⇒ z ∈ D .
Idee: Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes Thm. 2.2.3 auf die (äquivalenten) Inkrementgleichungen
(2.2.5) für die g i : mit g := (g 1 ,...,g s ) ∈ R s·d
Ableitung (ˆ= Jacobi-Matrix) von G in (0,k 0 ) (aus Kettenregel)
⎛
D k G(0,k 0 ) = I − h ⎝ a ⎞
11D y f(y 0 ) · a 1s D y f(y 0 )
.
. ⎠ ,
a s1 D y f(y 0 ) · a ss D y f(y 0 )
2.2
p. 118
⎛
y 0 + h s ⎞
∑
a 1j f(g j )
j=1
(2.2.5) ⇔ g = F(h, g) , F(h, g) :=
.
. (2.2.7)
⎜
⎝ ∑
y + h s ⎟
a f(g )
⎠
2.2
p. 120

Auf R s·d verwende Norm
‖g‖ := max
i=1,...,s ‖g i‖.
Dies ist eine Schrittweitenbeschränkung analog der Schrittweitenbeschränkung für das explizite
Euler-Verfahren in der Nähe stark attraktiver Fixpunkte, vgl. Bsp. 1.4.3.
△
Zu zeigen: für hinreichend kleines h bleiben alle g i in der abgeschlossenen r-Umgebung von y 0 : mit
y 0 = (y 0 ,...,y 0 )
∥ ∥∥∥∥∥ s∑
‖F(h, g) − y 0 ‖ = max |h| a ij f(g j )
i=1,...,s j=1 ∥ ≤ |h| ‖A‖ ∞ max
∥
∥f(y 0 ) + f(g j ) − f(y 0 ) ∥ j=1,...,s
⇒
Zu zeigen:
(2.2.6)
≤ |h| ‖A‖ ∞ (‖f(y 0 )‖ + L ‖g − y 0 ‖) .
{
}
r
|h| <
⇒ ‖F(h, g) − y
‖A‖ ∞ (‖f(y 0 )‖ + Lr)
0 ‖ ≤ r , if ‖g − y 0 ‖ ≤ r .
g ↦→ F(h, g) ist h-gleichmässige Kontraktion
s∑
‖F(h, g) − F(h, p)‖ ≤ |h| · max
i=1,...,s
a ij (f(g j ) − f(p j ))
∥j=1
∥
∥
≤ |h| · ‖A‖ ∞ max ∥f(g j ) − f(p j ) ∥ j=1,...,s
≤ |h|L · ‖A‖ ∞ ‖g − p‖ ,
2.2
p. 121
Verifikation einer Voraussetzung von Thm. 2.1.10:
✬
Lemma 2.2.4 (Lipschitz-Stetigkeit der Inkrementfuntion).
Unter den Voraussetzungen von Lemma 2.2.1 existiert zu jedem (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω ein h 0 > 0 so,
dass ψ aus (2.2.4) lokal Lipschitz-stetig im Zustandsargument ist.
✫
Beweis. (für autonome ODE)
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird f als global Lipschitz-stetig angenommen, vgl. Beweis
zu Lemma 2.2.1:
∃L > 0: ‖f(z) − f(w)‖ ≤ L ‖z − w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.8)
Mit g i aus den äquivalenten Inkrementgleichungen (2.2.5):
s∑
s∑
ψ(t,y,h) = y + h b i f(g j ) , g i = y + h a ij f(g j ) . (2.2.9)
j=1
j=1
✩
✪
2.2
p. 123
wobei im letzten Schritt die globale Lipschitz-Bedingung für f benutzt wurde.
|h| <
1
L ‖A‖ ∞
⇒ g ↦→ F(h, g) ist h-gleichmässige Kontraktion.
Wähle h 0 =
r
‖A‖ ∞ (‖f(y 0 )‖ + Lr)
Damit erfüllt F mit U =] − h 0 , h 0 [ und V = {g: ‖g − y 0 ‖ ≤ r} die Voraussetzungen des Banachschen
Fixpunktsatzes Thm. 2.2.3.
{
⇒ f ∈ C m (D) ⇒
}
∃g :] − h 0 ,h 0 [↦→ R d·s : F(h, g(h)) = g(h) .
Wegen der Äquivalenz (2.2.7) is damit der Beweis abgeschlossen.
Bemerkung 2.2.2 (Schrittweitenbeschränkung aus Lemma 2.2.1).
Beweis von Lemma 2.2.1: Lösbarkeit der Inkrementgleichungen nur garantiert, wenn
|h| ≤
1
L ‖A‖ ∞
,
wobei L > 0 eine (lokale) Lipschitz-Konstante (→ Def. 1.3.2) für den Quellterm f ist.
✷
2.2
p. 122
Wähle y,z ∈ D und definiere (für hinreichend kleines h, siehe Lemma 2.2.1) g y i ,gz i ∈ R d als
Lösungen von
Mit g y := (g y 1 ,...,gy s), g z := (g z 1 , ...,gs s):
s∑
g y i = y + a ij f(g y j ) ,
j=1
s∑
gi z = z + a ij f(gj z ) .
j=1
s∑ (∥ ∥ ∥ )
‖g y − g z ∥∥f(g y ∥∥ ∥∥f(g
‖ ≤ ‖y − z‖ + h max |a ij |
i=1,...,s
j ) −
z j ) ∥
j=1
h ‖A‖ ∞ L < 1 ⇒
(2.2.8)
vgl. die Schrittweitenschranke aus Bem. 2.2.2
≤ ‖y − z‖ + hL · ‖A‖ ∞ ‖g y − g z ‖ .
‖g y − g z 1
‖ ≤
‖y − z‖ .
1 − h ‖A‖ ∞ L
Aus dieser Abschätzung und wieder mit (2.2.8) folgt (falls h ‖A‖ ∞ L < 1)
s∑
‖ψ(t,y,h) − ψ(t,z, h)‖ ≤ h |b i | ∥ ∥f(g y i ) − f(gz i )∥ ∥
L
s∑
≤
|b
1 − Lh ‖A‖ i | · ‖y − z‖ .
i=1
∞ i=1
(2.2.10)
2.2
p. 124

Da y, z beliebig, folgt die Behauptung.
Bemerkung 2.2.3 (Kollokationsverfahren und numerische Quadratur).
f(t,y) = f(t) & y 0 = 0 ➤ Numerische Quadratur (→ Vorlesung Numerische Methoden”)
”
t 1
∫
y(t 1 ) = f(t) dt ≈ h ∑ s
i=1 b jf(t 0 + c j h) = Quadraturformel
t 0
➞ c 1 ,...,c s ↔ Knoten (engl. nodes) einer Quadraturformel (z.B. Gauss-Punkte auf [0, 1]
b 1 ,...,b s ↔ Gewichte (engl. weights) einer Quadraturformel
✷
△
☞ Die n Knoten der n. Gaussschen Quadraturformel
auf [−1, 1], n ∈ N, sind die Nullstellen
des Legendre-Polynoms vom Grad
n. ✄
☞ Die n. Gaussschen Quadraturformel hat
Ordnung 2n.
☞ Die Gewichte der n. Gaussschen Quadraturformel
sind positiv.
Anzahl n der Quadraturknoten
Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren
20
18
16
14
12
10
8
6
4
Gauss−Legendre−Punkte in [−1,1]
2
−1 −0.5 0 0.5 1
t
Fig. 57
Aus Zusammenhang zwischen Kollokationsverfahren und numerische Quadratur
✗
✔
➣ Wahl der Kollokationspunkte c i als Knoten bewährter Quadraturformeln
✖
✕
Die folgenden Beispiele zeigen, dass sich sinnvolle Verfahren ergeben:
• Fall s = 1 & c 1 = 1/2 (↔ einfachste Gauss-Legendre-Quadraturformel)
L 1 ≡ 1 ⇒ a 11 = 1/2 , b 1 = 1 .
k 1 = f(t 0 + 1/2h,y 0 + 1/2hk 1 ) , y h (t 1 ) = y 0 + hk 1 . (2.2.11)
(2.2.11) = Implizite Mittelpunktsregel (1.4.11)
2.2
p. 125
Beispiel 2.2.4 (Konvergenz von globalen Gauss-Kollokationsverfahren).
Dieses Beispiel studiert den Einschrittfehler von Kollokationsverfahren in Abhängigkeit von der
Anzahl der Kollokationspunkte ↔ Polynomgrad s
Logistische Differentialgleichung (→ Bsp. 1.2.1)
ẏ = λy(1 − y) , y 0 ∈]0, 1[ ⇒ y(t) =
1
1 + (y0 −1 , t ∈ R . (2.2.12)
− 1)e−λt Numerische Experimente mit Gauss-Kollokationsverfahren auf [0, 1], y 0 = 0.01, λ = 10:
(Lösung der Gleichungen für Inkremente k i : MATLAB fsolve, Toleranz 10 −9 )
2.2
p. 127
• Fall s = 1 & c 1 = 0 (↔ linksseitige Ein-Punkt-Quadraturformel)
Hier:
Kollokationsverfahren als globales Integrationsverfahren
L 1 ≡ 1 ⇒ a 11 = 0 , b 1 = 1 .
k 1 = f(t 0 ,y 0 ) , y h (t 1 ) = y 0 + hk 1 = y 0 + hf(t 0 ,y 0 ) .
(2.2.1) = Explizites Eulerverfahren (1.4.2) (kein Lösen einer Gleichung erforderlich !)
1.6
1.4
1.2
1
y(t)
s=1
s=2
s=3
s=4
s=5
s=6
10 0 Polynomgrad = Stufenzahl s
10 −1
10 −2
• Fall s = 1 & c 1 = 1 (↔ rechtsseitige Ein-Punkt-Quadraturformel)
L 1 ≡ 1 ⇒ a 11 = 1 , b 1 = 1 .
k 1 = f(t 1 ,y 0 + hk 1 ) , y h (t 1 ) = y 0 + hk 1 = y 0 + hf(t 1 ,y h (t 1 )) .
(2.2.1) = Implizites Eulerverfahren
Erinnerung:
Optimale Quadraturverfahren”: Gaussquadratur
2.2
”
(→ Vorlesung Numerische Methoden”[6, Sect. 9.3]) p. 126
”
y
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Näherungslösungen y h (t)
|y h
(1)−y(1)|
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
✄ Exponentielle Konvergenz in s (Warum ?)
2.2
✸ p. 128

Lemma 2.2.1 ➣ Lösbarkeit der Inkrementgleichungen (2.2.3) nur gesichert für ”
kleines h !
Idee: (wie in Sect. 1.4)
➀ Wähle Zeitgitter G := {t 0 < t 1 < t 2 < · · · < t n = T }
➁ Kollokations-Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.1) auf der Grundlage von
Ψ t k,t k−1 := diskrete Evolution durch Kollokation des AWP auf [tk−1 , t k ],
→ Formel (2.2.3).
Bemerkung 2.2.5 (Lösungsfunktion aus Kollokationsverfahren).
Hilfsmittel beim Beweis: Restgliedabschätzung für Polynominterpolation (→ Vorlesung “Numerische
Methoden”)
✬
Lemma 2.2.7 (Fehlerabschätzung für Polynominterpolation). → [6, Satz 7.16]
Sei f ∈ C n+1 ([x 0 , x n ]), x 0 < x 1 < . .. < x n , und p ∈ P n das Interpolationspolynom von f
zu den Sützstellen x i (d.h. p(x i ) = f(x i )), dann gilt
|f (k) (x) − p (k) (x)| ≤ |x n − x 0 | n+1−k
(n + 1 − k)!
max |f (n+1) (ξ)| ∀x 0 ≤ x ≤ x n , k = 0,...,n + 1 .
x 0 0:
∥ ∥∥e
max
(k) (t) ∥ ≤ Ch s+1−k ∀|h| ≤ h 0 .
t 0 ≤t≤t 1
✩
✪
✩
✪
2.2
p. 130
∃L > 0: ‖f(z) − f(w)‖ ≤ L ‖z − w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.14)
Zur Konsistenzuntersuchung betrachte die Einschrittfehlerfunktion
Aus den Kollokationsbedingungen (2.2.1):
e(t) := y(t) − y h (t) ➣ τ(y 0 , h) = e(h) . (2.2.15)
ẏ h (t) =
s∑
f(y h (c i h)) · L i (τ) , τ := t h . (2.2.16)
i=1
Aus der Lösungseigenschaft von t ↦→ y(t)
ẏ(t) = f(y(t)) =
s∑
f(y(c i h)) · L i (τ) + r(t) , τ := t h . (2.2.17)
i=1
Interpolationspolynom ∈ P s−1 zur Funktion t ↦→ f(y(t)) und Knoten c i h auf [0,h]
r ˆ= Restglied für Polynominterpolation, siehe Lemma 2.2.7, erfüllt
∥
∥r (k) 1
∥
(t) ∥ ≤ max ∥y (s+1) (t) ∥ h s−k ≤ Ch s−k , k = 0,...,s . (2.2.18)
(s − k)! 0

Konvention: All Konstanten C unabhängig von (hinreichend kleinem) h, dürfen abhängen von y(t),
f, Paramtern des Kollokationsverfahrens, etc.
Aus (2.2.16) & (2.2.17) & Integration ➣ Ausdruck für Einschrittfehlerfunktion
Numerische Konvergenzraten :
(berechnet durch lineare Regression)
s = 1 : p = 1.96
s = 2 : p = 4.01
s = 3 : p = 6.00
s = 4 : p = 8.02
wobei
s∑
∫ τ ∫ t
e(t) = h ∆f(c i h) · L i (σ) dσ + r(σ) dσ , 0 ≤ τ ≤ 1 , (2.2.19)
i=1
0
0
∆f(t) = f(y(t)) − f(y h (t)).
(2.2.14) ⇒ ‖∆f(t)‖ ≤ L ‖e(t)‖ . (2.2.20)
(2.2.19) & (2.2.18)
=⇒ ‖e‖ ∞ := max
0≤t≤h ‖e(t)‖ ≤ C 1Lh ‖e‖ ∞ + C 2 h s+1 , (2.2.21)
mit von h unabhängigen Konstanten C 1 ,C 2 > 0 (, die von den Kollokationspunkten c i und y
abhängen.)
C
C 1 Lh 0 < 1 ⇒ ‖τ(y, h)‖ ≤ ‖e‖ ∞ ≤ 2
1 − C 1 h 0 L hs+1 ∀|h| ≤ h 0 . (2.2.22)
☞ Zwischenergebnis: Das Kollokationsverfahren hat mindestens Konsistenzordnung s.
Betrachte: Kollokationsverfahren zu ẏ = f(t,y) mit (relativen) Kollokationspunkten c i ∈ [0, 1],
i = 1, ...,s, s ∈ N ➣ Koeffizienten b i , a ij in (2.2.3).
✬
Zugeordnete Quadraturformel, Bem. 2.2.3:
Q(f) = h ∑ s
Theorem 2.2.8 (Konsistenzordnung von Kollokationsverfahren).
✸
i=1 b jf(t 0 + c j h) . (2.2.24)
Ein Kollokations-Einschrittverfahren hat die gleiche Konsistenzordnung (→ Def. 2.1.9) wie die
zugeordnete Quadraturformel.
✩
Aus (2.2.19) und (2.2.18) lässt sich sogar folgern, für k = 0,...,s,
∥
max ∥e (k) (t) ∥ ≤ C 1 (k)Lh + C 2 (k)h s+1−k ∥
⇒ max ∥e (k) (t) ∥ ≤ C(k)h s+1−k (2.2.23)
0≤t≤h
0≤t≤h
2.2
p. 133
✫
✪
2.2
p. 135
mit von h unabhängigen Konstanten C 1 (k),C 2 (k),C(k) > 0.
Beispiel 2.2.6 (Konvergenz von Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren).
Skalare logistische Differentialgleichung (1.2.1), λ = 10, y(0) = 0.01, T = 1
Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren (2.2.3) für s = 1,...,4, uniforme Zeitschrittweite h
✷
Hilfsmittel beim Bweis: Fehlerabschätzung für numerische Quadratur (→ Vorlesung “Numerische
Methoden”)
s-Punkt-Quadraturformel auf [a,b]: Q(f) := (b − a)
Annahme: innere Knoten 0 ≤ c i ≤ 1, i = 1, . ..,s
s∑
i=1
∫b
b i f(a + c i (b − a)) ≈
a
f(x) dx .
(2.2.25)
✬
✩
y
1
0.8
0.6
0.4
y(t)
0.2
s=1
s=2
s=3
s=4
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 58
y h (j/10): Gauss-Kollokationsverfahren
max k
|y h
(t k
)−y(t) k
)|
10 −5
10 −10
s=1
s=2
s=3
s=4
10 −15
10 −2 10 −1 h
10 0
Fig. 59
10 0
Konvergenz des Fehlers max k |y k − y(t k )| p. 134
2.2
Lemma 2.2.9 (Quadraturfehlerabschätzung).
Ist eine Quadraturformel (2.2.25) exakt für Polynome von Grad ≤ n, so gilt
∫ f ∈ C n+1 b
([a,b]) ⇒
∣ Q(f) − − a)n+2
f(x) dx
≤ C(b max
a ∣ (n + 1)! a

Beweis von Thm. 2.2.8 (für autonome Dgl.)
Idee: Interpretiere t ↦→ y h (t) als Lösung eines gestörten Anfangswertproblems !
ẏ h (t) = f(y h (t)) + ẏ h (t) − f(y h (t)) , 0 ≤ t ≤ h . (2.2.26)
} {{ }
:=δ(t)
Wegen ẏ(t) = f(y(t)) folgt für die Einschrittfehlerfunktion
Die Propagationsmatrix ist natürlich unabhängig von h, also
∥
∃C > 0 unabhängig von h: ∥W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1∥ ∥ ≤ C ∀0 ≤ t, τ ≤ h .
∫
(2.2.27)
t
⇒
∥ W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 ρ(τ) dτ
∥ ≤ Ch2s+3 ,
0
mit C > 0 unabhängig von h.
ė(t) = f(y(t)) − f(y h (t)) − δ(t) , 0 ≤ t ≤ h .
Beachte: (2.2.15) ➣ Konsistenzfehler bestimmt durch e(h) !
Hilfsmittel: Taylorformel
∫ 1
ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ ′ (0) + (1 − τ)ϕ ′′ (τ) dτ ,
0
für ϕ(ξ) := f(y(t) + ξ(y h (t) − y(t))) mit der Kettenregel:
ϕ ′ (ξ) = Df(y(t) + ξ(y h (t) − y(t))) · (y h (t) − y(t)) ,
ϕ ′′ (ξ) = D 2 f(y(t) + ξ(y h (t) − y(t))) (y h (t) − y(t),y h (t) − y(t)) .
Einsetzen in die Formel für die Einschrittfehlerfunktion:
∫ 1
ė(t) = ϕ(0) − ϕ(1) − δ(t) = Df(y(t))e(t) − (1 − τ)D 2 f(y(t) + τe(t))(e(t),e(t)) −δ(t) .
} 0 {{ }
=:ρ(t)
2.2
p. 137
Geniale Idee:
Abschätzung von ∫ h
0 W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ) dτ als Quadraturfehler !
Wegen δ(c i h) = 0 (Kollokationsbedingung (2.2.1) !):
s∑
b i W(t;y 0 )W(c i h;y 0 ) −1 δ(c i τ) = 0 ∀0 ≤ t ≤ h .
} {{ }
i=1
} {{ =0 }
Quadraturformel auf [0, h] für τ↦→W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)
➣ Mit der Quadraturfehlerabschätzung aus Lemma 2.2.9
∫h
s∑
W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ) dτ − b i W(t;y 0 )W(c i h;y 0 ) −1 δ(c i τ)
≤ C 3 h p+1 ,
∥0
i=1
∥
2.2
p. 139
Dabei gilt die offensichtliche Abschätzung:
∥
‖ρ(t)‖ ≤ max ∥D 2 Lemma 2.2.6
2
f(y) ∥ · ‖e(t)‖ ≤ Ch 2s+2 , (2.2.27)
y∈K
wobei K = {z ∈ D: ‖z − y(t)‖ ≤ R} mit von t unabhängigem R > 0 und C > 0 unabhängig von
h.
➣
Einschrittfehlerfunktion löst das Anfangswertproblem
ė = Df(y(t))e − ρ(t) − δ(t) , e(0) = 0 . (2.2.28)
Betrachtet man ρ(t),δ(t) als blosse Funktionen von t, dann ist (2.2.28) eine nichtautonome lineare
Differentialgleichung.
➣ Lösung durch allgemeine Variation-der-Konstanten-Formel (1.3.9):
mit
C 3 := 1 max
d p {
p! 0≤τ≤h∥dτ p τ ↦→ W(h;y 0 )W(τ;y 0 ) δ(τ)} ∥ −1 ∥∥ .
δ(t) := ẏ h (t)−f(y h (t)) hängt natürlich im Gegensatz zu W(t;y) von h ab, dch dank der Schranken
aus Lemma 2.2.6 sind alle Ableitungen von y h gleichmässig in h beschränkt !. Also lässt sich auch
C 3 unabhängig von h beschränken.
∫h
W(h;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ) dτ
≤ Ch p+1 .
∥0
∥
Zusammen mit der Abschätzung für den ρ-Term ergibt sich die Behauptung des Theorems, vgl.
Def. 2.1.9
✷
∫ t
e(t) = − W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 (ρ(τ) + δ(τ)) dτ , 0 ≤ t ≤ h .
0
mit der Propagationsmatrix t ↦→ W(t;y 0 ), vgl. (1.3.19), Sect. 1.3.3.4. Sie löst das Anfangswertproblem
für die Variationsgleichung (1.3.20)
s-stufige implizite Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren haben Ordnung 2s
Ẇ(t;y 0 ) = Df(y(t))W(t;y 0 ) , W(0;y 0 ) = I .
2.2
p. 138
2.3
p. 140

2.3 Runge-Kutta-Verfahren
Nachteil der Kollokationseinschrittverfahren: Alle (mit Ausnahme des expliziten Euler-Verfahrens) sind
implizit (→ Def. 2.1.2)
Gibt es explizite Einschrittverfahren höhererOrdnung? Wenn ja, wie findet man diese?
Definition 2.3.1 (Runge-Kutta-Verfahren).
Für b i ,a ij ∈ R, c i := ∑ s
j=1 a ij , i,j = 1,...,s, s ∈ N, definiert
s∑
s∑
k i := f(t 0 + c i h,y 0 + h a ij k j ) , i = 1,...,s , Ψ t 0,t 0 +h y 0 := y 0 + h b i k i .
j=1
ein s-stufiges Runge-Kutta-Einschrittverfahren (RK-ESV) für AWP (1.1.6) mit Inkrementen k i ∈
R d .
i=1
2.3.1 Konstruktion
➣ Verallgemeinerung der Kollokationsverfahren → Sect. 2.2
(doch keine konkrete Konstruktionsvorschrift !)
AWP:
∫
ẏ(t) = f(t,y(t)) ,
t1
⇒ y(t 1 ) = y 0 + f(τ,y(t 0 + τ)) dτ
y(t 0 ) = y 0 t 0
Approximation durch Quadraturformel (auf [0, 1]) mit s Knoten c 1 , ...,c s :
y(t 1 ) ≈ y 1 ( = y h (t 1 )) = y 0 + h
Wie bekommt man diese Werte ?
s∑
b i f(t 0 + c i h, y(t 0 + c i h) ) , h := t 1 − t 0 .
i=1
Beispiel 2.3.1 (Konstruktion einfacher Runge-Kutta-Verfahren).
Quadraturformel → Trapezregel:
auf Intervall [a,b]
✄ Bootstrapping
Q(f) = 1 2 (b − a)(f(a) + f(b)) ↔ s = 2: c 1 = 0, c 2 = 1 , b 1 = b 2 = 1 2 , (2.3.1)
und y h (T) aus explizitem Eulerschritt (1.4.2)
k 1 = f(t 0 ,y 0 ) , k 2 = f(t 0 + h,y 0 + hk 1 ) , y 1 = y 0 + h 2 (k 1 + k 2 ) . (2.3.2)
(2.3.2) = explizite Trapezregel
Quadraturformel → einfachste Gauss-Quadraturformel (Mittelpunktsregel) & y h ( 1 2 (t 1 + t 0 )) aus
explizitem Eulerschritt (1.4.2)
k 1 = f(t 0 ,y 0 ) , k 2 = f(t 0 + h 2 ,y 0 + h 2 k 1) , y 1 = y 0 + hk 2 . (2.3.3)
2.3
p. 141
Falls a ij = 0 für i ≤ j Explizites Runge-Kutta-Verfahren → Def. 2.1.2
Kurznotation für Runge-Kutta-Verfahren:
Butcher-Schema
✄
c A
b T :=
c 1 a 11 · · · a 1s
. . .
. (2.3.4)
c s a s1 · · · a ss
b 1 · · · b s
A echte untere Dreiecksmatrix ➤ explizites Runge-Kutta-Verfahren
2.3
A untere Dreiecksmatrix ➤ diagonal-implizites Runge-Kutta-Verfahren (DIRK) p. 143
Bemerkung 2.3.2 (Stufenform der Inkrementgleichungen).
Für s-stufiges Runge-Kutta-Einschrittverfahren (RK-ESV), → Def. 2.3.1, definiere (Annahme: eindeutige
Lösbarkeit der Inkrementgleichungen)
Stufen (engl. stages:)
Stufengleichungen
g i = y 0 + h
g i = y 0 + h
s∑
a ij k j , i = 1, ...,s ⇒ k i = f(t 0 + c i h,g i ) .
j=1
(2.3.5)
s∑
a ij f(t 0 + c j h,g j ) , i = 1, ...,s . (2.3.6)
j=1
△
(2.3.3) = explizite Mittelpunktsregel
Diskrete Evolutionen der Form (2.2.3)
✸
2.3
p. 142
Interpretation: Runge-Kutta-Verfahren ↔ Polygonzugapproximation der Lösungskurve
→ Sect. 1.4
Anzahl b i ≠ 0 ˆ= Anzahl der Teilstrecken im Polygonzug
b i , i = 1, ...,s − 1 ˆ= relative Länge des i. Teilintervalls
k i ˆ= Steigung” der i. Teilstrecke
2.3
p. 144

Beispiel 2.3.3 (Explizite Runge-Kutta-Polygonzugapproximation für Ricatti-Differentialgleichung).
→ Bsp 1.1.1
Anfangswertproblem: ẏ = t 2 + y 2 , y(0) = 0.2.
Geometrische Interpretation von expliziten RK-ESV als Polygonzugverfahren → Verallgemeinerung
des expliziten Euler-Verfahrens, siehe Sect. 1.4.1, Fig. ??.
grün
Explizite Mittelpunktsregel:
0 0 0
1
2
1
2 0
0 1
Lösungskurven
1
0.8
0.6
yy(T)
0.4
Klassisches Runge-Kutta-Verfahren
grün
(RK4)
0 0 0 0 0
1
2 1 2 0 0 0
1
2 0 1 2 0 0
1 0 0 1 0
1
6 6 2 2 6 6
1
Lösungskurven
magenta Abschnittsteigungen k i
∗
Punkte f-Auswertung
(2.3.7)
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
y 0
k 1
k 2
rot: Polygonzug
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
y(T)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
2.3
k 4
k 3
2.3
p. 147
magenta Abschnittsteigungen k i
∗ Punkte f-Auswertung
0.2
y 0
k 1
k 2
p. 145
rot:
Polygonzug
0
grün:
Explizite Trapezregel
0 0 0
1 1 0
1
2 1 2
Lösungskurven
magenta: Abschnittsteigungen k i
∗: Punkte f-Auswertung
rot:
Polygonzug
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
y(T)
y 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
k 1
k 2
p. 146
grün
Kuttas 3/8-Regel
0 0 0 0 0
1 1
3 3 0 0 0
2
3 −1 3 1 0 0
1 1 −1 1 0
1 3 3
8 8 8 1 8
Lösungskurven
magenta Abschnittsteigungen k i
∗
rot:
Punkte f-Auswertung
Polygonzug
(2.3.8)
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
y(T)
k 4
k 3
y 0
k 1 k 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
✸
Bemerkung 2.3.4 (Affin-Kovarianz der Runge-Kutta-Verfahren).
2.3
2.3
p. 148

Für S ∈ R d,d regulär, ŷ := S −1 y (→ Sect. 1.3.2, (1.3.4)), Ψ, ̂Ψ aus RK-Verfahren (→ Def. 2.3.1)
Ψ s,t
h = Diskrete Evolution zu ẏ = f(t,y) ,
̂Ψ s,t
ŜΨ s,t
h S −1 y = Ψ s,t
h
h = Diskrete Evolution zu ˙ŷ = ̂f(t,ŷ) y . (2.3.9)
→ (1.3.4)
Bemerkung 2.3.5 (Autonomisierungsinvarianz von Runge-Kutta-Verfahren).
Warum c i = ∑ s
j=1 a ij in Def. 2.3.1 ?
Autonomisierung:
→ Bem. 1.1.3
ẏ = f(t,y) ,
y(t 0 ) = y 0
▼
⇒
( y ˙
=
s)
(
f(s,y)
1
▼
)
=: ̂f
Evolutionen: Φ t+h,t ↔ ̂Φt+h,t ,
Diskrete Evl.: Ψ t+h,t
h ↔ ̂Ψt+h,t h .
Wunsch:
(
Φ t+h,t )
y
) ( )
=
t + h
y
t+h,t Ψ h y
t t + h
( (
̂Ψ t+h,t
∑ y
h = y + h si=1
)
b îki
t)
t + h ∑ s ,
i=1 b îκ i
(( y
,
s))
=
△
( ) ( ) y(0) y0
= .
s(0) t 0
(
t+h,t y ̂Ψ h . (2.3.10)
t)
) ( ∑ (̂ki f(t + h sj=1
a
=
iĵκ j ,y + h ∑ )
s
j=1 a iĵkj )
.
̂κ i 1
2.3
p. 149
Ziel:
Stückweise polynomiale Definition von t ↦→ y h (t)
Interpolationseigenschaft y h (t k ) = y k , k = 0, ...,N
y h|[tk ,t berechenbar aus k+1
y k , y k+1 und Inkrementen im k. Schritt
mit Polynomen p 0 ,p 1 , q i : R ↦→ R.
y h (t k + ξh k ) = p 0 (ξ)y k + p 1 (ξ)y k+1 +
Wunsch: Für RK-ESV der Ordnung p ➣
s∑
q(ξ)k i , 0 ≤ ξ ≤ 1 ,
i=1
max ‖y(t) − y h(t)‖ = O(h p )
0≤t≤T
Bemerkung 2.3.7 (Lösung der Inkrementgleichungen). → [5, Sect. 6.2.2]
Inkrementgleichungen für implizites RW-ESV (→ Def. 2.3.1) = (i.a. nichtlineares) Gleichungssystem
mit s · d Unbekannten
Im autonomen Fall (vgl. Beweis von Lemma 2.2.1)
k i := f(y 0 + h
s∑
a ij k j )
j=1
k i =f(y 0 +g i )
⇐⇒
g i = h
s∑
a ij f(y 0 + g j ) , i = 1, ...,s . (2.3.12)
j=1
△
2.3
p. 151
c i = ∑ s
j=1 a ij ➣ ̂k i = k i &
∑ si=1
b i = 1 . (2.3.11)
Die Grössen g i + y 0 heissen auch Stufen (engl. stages) des Runge-Kutta-Verfahrens, siehe
Bem. 2.3.2
= Hinreichende + notwendige Bedingungen für Autonomisierungsinvarianz eines RK-Verfahrens
✄
Analyse von autonomisierungsinvarianten RK-Verfahren kann sich auf autonome Probleme beschränken.
Bemerkung 2.3.6 (“Dense output”).
[14, Sect. II.5]
Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1) liefern Gitterfunktionen G ↦→ R d als Näherung von
t ↦→ y(t) in diskreten Zeitpunkten.
Was, wenn Näherungen für y(t) zu anderen Zeitpunkten/überall auf [0,T] gebraucht werden ?
△
2.3
p. 150
➣ iterative Lösung mit vereinfachtem Newton-Verfahren ( ”
eingefrorene” Jacobi-Matrix)
! Effizienz: Minimiere Anzahl von f, Df-Auswertungen
Mit g = (g 1 , ...,g s ) T ∈ R s·d definiere
⎛
h s ⎞
∑
a 1j f(y 0 + g j )
j=1
F(g) := g −
.
⎜
⎝ ∑
h s ⎟
a sj f(y 0 + g j )
⎠
j=1
⇒ {(2.3.12) ⇔ F(g) = 0} . (2.3.13)
h ”
klein” ➣ Natürliche Anfangsnaḧerung für vereinfachte Newton-Iteration: g (0) = 0
⎛
⎞
I − ha 11 Df(y 0 ) −ha 12 Df(y 0 ) · · · −ha 1s Df(y 0 )
DF(g (0) ) = ⎜ −ha 21 Df(y 0 ) I − ha 22 Df(y 0 ) .
⎟
⎝ . . .. . ⎠ . 2.3
−ha s1 Df(y 0 ) · · · −ha s,s−1 Df(y 0 ) I − ha ss Df(y 0 )
p. 152

Vereinfachte Newton-Iteration
g (0) = 0 , g (k+1) = g (k) − DF(0) −1 F(g (k) ) , k = 0, 1, 2,... .
Wiedergewinnung der Inkremente k i aus g i : betrachte l. Komponente, l = 1,...,d. Mit g i =
(g i,1 ,...,g i,d ) T ∈ R d s∑
g i,l = h a ij k j,l ⇐⇒ ( ) d
g i,l l=1 = hA( ) d
k i,l l=1 .
j=1
A regulär ➣ k i durch Lösen von s linearen Gleichungssystemen mit Koeffizientenmatrix A.
✬
Lemma 2.3.2 (Konsistenz von Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Unter den Voraussetzungen von Lemma 2.2.1 ist ein Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→
Def. 2.3.1) konsistent (→ Def. 2.1.5) genau dann, wenn ∑ s
i=1 b i = 1.
✫
Frage: Wann ist ein Runge-Kutta-Verfahren konsistent (⇒ konvergent, Thm. 2.1.10)
von der Ordnung p ?
⇕
(Konsistenz-)Bedingungsgleichungen für Koeffizienten a ij , b i
✩
✪
△
Hilfsmittel zum Aufstellen
der Bedingungsgleichungen
: Taylor-Entwicklung (des Konsistenzfehlers τ(t,y, h) → Dff. 2.1.7)
Annahme:
f “hinreichend glatt”
Beispiel 2.3.9 (RK-Bedingungsgleichungen für Konsistenzordnung p = 3). [5, Sect. 4.2.2]
2.3.2 Konvergenz
Beispiel 2.3.8 (Konvergenz expliziter Runge-Kutta-Verfahen).
2.3
Skalare logistische Differentialgleichung (1.2.1), λ = 10, y(0) = 0.01, T = 1 p. 153
Explizite Runge-Kutta-Einschrittverfahren, uniforme Zeitschrittweite h
Konsistenzfehler: τ(t,y, h) := (Φ t,t+h − Ψ t,t+h )y (h hinreichend klein); .
Fokus: autonome Differentialgleichung ẏ = f(y), f “hinreichend glatt”
Fixiere Anfangswert y 0 ∈ D, O.B.d.A. t 0 = 0 (vgl. Bem. 1.1.5)
➊ Taylorentwicklung der kontinuierlichen Evolution in h um h = 0:
2.3
p. 155
y
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
y(t)
Explicit Euler
Explicit trapezoidal rule
Explicit midpoint rule
RK4 method
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
y h (j/10), j = 1, ...,10 für explizite RK-Verfahren
|y h
(1)−y(1)|
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
s=1, Explicit Euler
s=2, Explicit trapezoidal rule
10 −8
s=2, Explicit midpoint rule
s=4, RK4 method
10 −2 10 −1 10 0
h
Konvergenz des Fehlers y h (1) − y(1)
✸
Φ h y 0 = y(h) = y 0 + ẏ(0)h + 2ÿ(0)h2 1 + 1 6 y(3) (0)h 3 + O(h 4 ) , (2.3.14)
mit
ẏ(0) = f(y 0 ) ,
ÿ(0) = Df(y 0 )ẏ(0) = Df(y 0 )f(y 0 ) ,
y (3) (0) = D 2 f(y 0 )(ẏ(0),ẏ(0)) + Df(y 0 )ÿ(0) = D 2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 )) + Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 ) .
Viele unserer Resultate über Kollokationsverfahren (→ Sect. 2.2) bleiben gültig für die allgemeinere
Klasses der Runge-Kutta-Einschrittverfahren (mit im wesentlichen den gleichen Beweisen):
✗
✖
Lemmas 2.2.1, 2.2.4 bleiben gültig für Runge-Kutta-Einschrittverfahren aus Def. 2.3.1
✔
✕
2.3
p. 154
Φ h y 0 = y 0 + hf(y 0 ) + 1 2 h2 Df(y 0 )f(y 0 )+
1
6 h 3 (Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 ) + D 2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 ))) + O(h 4 ) .
➋ Taylorentwicklung der diskreten Evolution in h um h = 0
⇕
Taylorentwicklung der Inkremente k i in h um h = 0
(2.3.15)
2.3
p. 156

s∑
k i = f(y 0 + h a ij k j ) =
j=1
⎛ ⎞ ⎛
⎞
s∑
s∑ s∑
= f(y 0 ) + h Df(y 0 ) ⎝ a ij k j
⎠ + 1 2 h2 D 2 f(y 0 ) ⎝ a ij k j , a ij k j
⎠ + O(h 3 )
j=1
j=1
Einsetzen ”
kürzerer Taylorentwicklungen” anstelle der Inkremente
Beachte:
➌
k i =f(y 0 ) + hDf(y 0 )
s∑
a ij
⎛
⎝f ( y 0 + hDf(y 0 )
j=1
(2.3.16)
Inkremente werden mit h multipliziert !
⎞
s∑
a il k l + O(h 2 ) ) ⎠ +
j=1
l=1
⎛
⎞
s∑
s∑
1
2 h2 D 2 f(y 0 ) ⎝ a ij (f(y 0 ) + O(h)), a ij (f(y 0 ) + O(h)) ⎠ + O(h 3 )
j=1
j=1
=f(y 0 ) + h · ∑s
j=1 a ij Df(y 0 )f(y 0 )+
} {{ }
=c i , siehe Bem. 2.3.5
h 2( ∑ s )
a il c l Df(y0 )Df(y 0 )f(y 0 ) + h 21 2 c2 i D2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 )) + O(h 3 ) .
l=1
Ψ h y 0 = y 0 + h
Ψ h y 0 = y 0 +
(
h
s∑
b i k i ➤ Entwicklung bis O(h 3 ) ausreichend
i=1
) (
s∑
s∑
b i f(y 0 ) + h 2 b i c i
)Df(y 0 )f(y 0 )+
⎛ i=1 ⎞ i=1
s∑ s∑
⎝h 2 b i a ij c j
⎠Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 )+
i=1 j=1
( )
s∑
1
2 h 2 b i c 2 i D 2 f(f(y 0 ),f(y 0 )) + O(h 4 ) .
i=1
(2.3.17)
Gleichsetzen der Koeffizienten der linear unabhängigen (→ Übung) elementaren Differentiale
1,f(y 0 ), Df(y 0 )f(y 0 ), Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 ),D 2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 ))
2.3
p. 157
s∑
b i c i = 1 2 , (2.3.19)
i=1
s∑
b i c 2 i = 1 3 ,
i=1
s∑ s∑
b i a ij c j = 1 (2.3.20)
6 .
i=1
☞ (2.3.18) hinreichend & notwendig für Konsistenzordnung p = 1, siehe Lemma 2.3.2
☞ (2.3.18) + (2.3.19) hinreichend & notwendig für Konsistenzordnung p = 2
Bemerkung 2.3.10 (Butcher-Bäume).
j=1
Allgemeiner kombinatorischer Algorithmus zum Aufstellen der RK-Bedingungsgleichungen: Butcher-
Bäume [5, Sect. 4.2.3], [11, Ch. III]
➞
Konstruktion von RK-Verfahren vorgegebener Konvergenzordnung durch Lösen der (nichtlinearen)
Bedingungsgleichungen (vom Typ (2.3.18)-(2.3.20)):
p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
♯B.G. 1 2 4 8 17 37 85 200 486 1205 20247374
Einige Konvergenzordnungen von Runge-Kutta-Verfahren:
Explizite Verfahren
Expliztes Eulerverfahren (2.2.1) p = 1
Explizite Trapezregel (2.3.2) p = 2
Explizite Mittelpunktsregel (2.3.3) p = 2
Klassisches Runge-Kutta-V. (2.3.7) p = 4
Kuttas 3/8-Regel (2.3.8) p = 4
Implizite Verfahren
Implizites Eulerverfahren (2.2.1) p = 1
Implizite Mittelpunktsregel (2.2.11) p = 2
Gauss-Kollokationsverfahren p = 2s
✸
△
2.3
p. 159
in (2.3.17) und (2.3.15)
Viele weitere RK-Verfahren ✄ [14, 15]
Hinreichende & notwendige Bedingungsgleichungen für Konsistenzordnung p = 3 eines
(autonomisierungsinvarianten) RK-Verfahrens:
s∑
b i = 1 , (2.3.18)
i=1
2.3
p. 158
Ordnungsschranken:
Für explizite Runge-Kutta-Verfahren p ≤ s
Für allgemeine Runge-Kutta-Verfahren p ≤ 2s
2.3
➣ Gauss-Kollokationsverfahren realisieren maximale Ordnung p. 160

Bemerkung 2.3.11 (“Butcher barriers” für explizite RK-ESV).
y h (T) − y(T) = ch p + O(h p+1 )
y h/2 (T) − y(T) = c2 −p h p + O(h p+1 )
(I)
(II)
Ordnung p 1 2 3 4 5 6 7 8 ≥ 9
Minimale Stufenzahl s 1 2 3 4 6 7 9 11 ≥ p + 3
Eine allgemeine Formel für die minimale Stufenzahl konnte bisher nicht hergeleitet werden.
△
(I)-2 p·(II): y h (T) − 2 p y h/2 (T) − (1 − 2 p )y(T) = O(h p+1 ) ,
⇒
y h (T) − 2 p y h/2 (T)
1 − 2 p − y(T) = O(h p+1 ) .
kombiniertes Verfahren, konvergent von Ordnung p + 1 !
Beispiel 2.4.1 (Konvergenz kombinierter Verfahren).
2.4 Extrapolationsverfahren [5, Sect. 4.3]
AWP für logistische Differentialgleichung (2.2.12): (→ Bsp. 1.2.1)
ẏ = λy(1 − y) , y 0 = 0.01 ⇒ y(t) =
1
1 + 99 · e −λt , t ∈ R .
2.4.1 Der Kombinationstrick
Basisverfahren: Explizites Euler-Verfahren (1.4.2), p = 1
Explizite Trapezregel (2.3.2), p = 2
2.4
p. 161
2.4
p. 163
Einschrittverfahren für Anfangswertproblem
Logistic ODE on [0;1], y(0) = 0.01, λ = 10
Logistic ODE on [0;1], y(0) = 0.01, λ = 10
expl. trapezoidal rule combined
simple expl. trapezoidal rule
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 , (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω , ((1.1.6))
betrachtet auf [t 0 ,T], liefert Gitterfunktion y G = (y k ) N k=1 als Lösung: y k ≈ y(t k ), t N = T .
Bei äquidistanter Zeitschrittweite h > 0, schreiben wir auch y h (t k ) := y k , also y h (T) = y N .
|y h
(1)−y(1)|
10 −3
10 −4
10 −5
|y h
(1)−y(1)|
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
O(h 3 )
10 −6
Sect. 2.1.3: Einschrittverfahren für ẏ = f(y), konvergent von Ordnung p
∃C > 0: ‖y h (T) − y(T)‖ ≤ Ch p für h → 0, N = T/h ∈ N .
(Annahme: Äquidistante Zeitschritte der Länge h > 0)
10 −7
10 −2 h
10 −8
Euler combined
simple Euler
O(h 2 )
10 −3 10 −2 10 −1
Euler-Verfahren
Fig. 60
10 −9
10 −10
10 −2 h
10 −3 10 −2 10 −1
Fig. 61
Explizite Trapezregel ✸
Spekulation: ∃c ∈ R d : y h (T) − y(T) = ch p + O(h p+1 ) für h → 0 . (2.4.1)
Beachte: Falls h ↦→ y h (T) glatt, Verfahren konvergent von Ordnung p, dann ist (2.4.1) naheliegend:
Taylorentwicklung !
Dies wird in Abschnitt 2.4.3 vertieft.
2.4
p. 162
2.4
p. 164

2.4.2 Extrapolationsidee
Erinnerung (→ Vorlesung ”
Numerische Methoden”): Romberg-Quadratur (→ [6, Sect. 9.4])
Abstrakter Rahmen:
Visualisierung:
Idee von Extrapolationsverfahren
✄
exakter Wert
Π(x 0 )
R d
Π h3 (x 0 )
h ↦→ Π h (x 0 )
Π h1 (x 0 )
Π h2 (x 0 )
h
Problem: Π : X ↦→ R d , gesucht Π(x 0 ) für festes x 0 ∈ X, X ˆ= Datenraum
{
Familie numerischer Näherungsverfahen Π h : X ↦→ R d} h ➤ Näherungen Π h(x o ) ≈ Π(x 0 )
Bemerkung 2.4.3 (Skalierungsinvarianz der Extrapolation).
Π h abhängig von skalarem Diskretisierungsparameter h > 0 (z.B. Zeitschrittweite)
Berechne Π h (x 0 ) für h ∈ {h 1 , . ..,h k } ( ”
Schrittweitenfolge”, h i > h i+1 )
Berechne Interpolationspolynom p ∈ (P k−1 ) d mit
p(h i ) = Π hi (x 0 ), i = 1,...,k .
Bessere (?) Näherung
Beispiel 2.4.2 (Romberg-Quadratur).
Π(x 0 ) ≈ p(0)
Interpretation des abstrakten Rahmens für die Romberg-Quadratur: X = C 0 ([a,b]), a,b ∈ R,
a < b
Π h ˆ=
∫b
Π(f) :=
a
N−1
f(x) dx , Π h := h 2 f(a) + h ∑
Trapezregel zur numerischen Quadratur
j=1
f(a + j b−a
N ) + h 2 f(b) , h := 1 N ,
Diskretisierungsparameter h = N 1 , N ∈ N (“Maschenweite” der Trapezregel):
Werte annehmen !
kann nur diskrete
✸
2.4
p. 165
2.4
p. 166
p(t) ∈ P k−1 ˆ= Interpolationspolynom zu (t 1 ,y 1 ), ...,(t k ,y k )
˜p(t) ∈ P k−1 ˆ= Interpolationspolynom zu (ξt 1 ,y 1 ), ...,(ξt k ,y k ) für ein ξ ∈ R
p(0) = ˜p(0)
(Wenn p(t) = ∑ s
j=0 a j t j , dann haben alle Polynome p ξ (t) = ∑ s
j=0 a j (ξt) j offensichtlich den
gleichen Wert für t = 0.)
Es genügt, die Verhältnisse η i := h 1
h i
zu spezifizieren !
Algorithmus: Aitken-Neville-Schema [6, Sect. 9.4] → Vorlesung ”
Numerische Methoden”
Rekursive Berechnung der Werte von Interpolationspolynomen
für h = 0, p = 1:
T i1 := Π hi (x 0 ) , i = 1, ...,k , (2.4.2)
T il := T i,l−1 + T i,l−1 − T i−1,l−1
h i−l+1
h i
− 1
Extrapolationstableau
, 2 ≤ l ≤ k .
(2.4.3)
MATLAB-CODE : Aitken-Neville-Extrapolation
function T = anexpol(y,h)
k = length(h);
T(1) = y(1);
for i=2:k
T(i) = y(i);
for l=i-1:-1:1
T(l)=T(l+1)+(T(l+1)-T(l))/...
end
end
(h(l)/h(i)-1);
η l : η i
✄
T 11
ց
T 21
.
→ T 22
. ..
T k−1,1 → · · · → T k−1,k−1
ց ց ց
T k1 → · · · → T k,k−1 → T kk
△
2.4
p. 167
T(1) T(2) T(3) · · · T(k)
T 11 = y 1
↓
T 22 ← T 21 = y 2
↓ ↓
T 33 ← T 32 ← T 31 = y 3
↓ ↓ ↓
.
.
.
↓ ↓ ↓
T kk ← T k,k−1 ← · · · ← T k,1 2.4
Ausgabe: unterste Tableauzeile absteigend p. 168

☞
Extrapolation ”
funktioniert”, wenn
• lim Π h (x 0 ) = Π(x 0 ) ˆ= Konvergenz,
h→0
• h ↦→ Π h (x 0 ) sich für kleine h wie ein Polynom verhält.”
”
k∑
i=1
L i (0)h j i = ⎧
⎪⎨
⎪ ⎩
1 für j = 0 ,
0 für 1 ≤ j ≤ k − 1 ,
(−1) k−1 h 1 · · · · · h k für j = k .
(2.4.4)
Definition 2.4.1 ((Abgeschnittene) asymptotische Entwicklung).
h ↦→ Π h (x 0 ) (x 0 ∈ X fest) besitzt eine (abgeschnittene) asymptotische Entwicklung in h bis
zur Ordnung k, falls es Konstanten (∗) α 0 , α 1 ,...,α k ∈ R d und eine für hinreichend kleine h
gleichmässig beschränkte Funktion h ↦→ R k (h) gibt, so dass
Π h (x 0 ) = α 0 + α 1 h + α 2 h 2 + · · · + α k h k + R k (h)h k+1 für kleine h > 0 .
(∗) α i Konstanten ˆ= α i unabhängig von h !
Klar: Hinreichend & notwendig für Konvergenz: α 0 = Π(x 0 )
✬
Theorem 2.4.2 (Konvergenz extrapolierter Werte).
Π h (x 0 ) besitze asymptotische Entwicklung in h bis zur Ordnung k gemäss Def. 2.4.1. Dann
erfüllen die Werte aus dem Extrapolationstableau, siehe (2.4.2), (2.4.3), für hinreichend kleine
h j > 0
✫
∥
∥T i,l − α 0
∥ ∥ ≤ ‖α l ‖ h i−l+1 · · · · · h i + C ·
wobei C > 0 nur von den Verhältnissen h i : h j abhängt.
i∑
j=i−l+1
∥
∥R k (h j ) ∥ ∥h l+1
j , 1 ≤ i,l ≤ k ,
Beweis: Jedes T i,k aus dem Extrapolationstableau lässt sich als “Endwert” T kk eines Teiltableaus
interpretieren ➥ Es genügt, den Beweis für i = l = k zu führen
Voraussetzung: Existenz einer (abgeschnittenen) asymptotischen Entwicklung → Def. 2.4.1
T i,1 = Π hi (x 0 ) = α 0 + α 1 h i + α 2 h 2 i + · · · + α kh k i + R k(h)h k+1
i für kleines h i > 0 .
Extrapolationspolynom zu (h i ,T i,1 ), i = 1,...,k: q ∈ P k−1 , dargestellt durch
Lagrange-Polynome, siehe (2.2.2)
✩
✪
2.4
p. 169
Nachweis von (2.4.4): für 0 ≤ j ≤ k−1 stimmt r j (t) := ∑ k
i=1 h j i L i(t) ∈ P k−1 mit t ↦→ t j überein.
Für j = k hat t k − r k (t) ∈ P k die Nullstellen h i , i = 1, ...,k und führenden Koeffizienten 1:
t k − r k (t) = (t − h 1 ) · · · · · (t − h k ) .
Damit folgt (2.4.4).
⎛
⎞
k∑
k∑ k∑
T k,k = q(0) = L i (0)T i,1 = L i (0) ⎝ α j h j i + R k(h i )h k+1 ⎠
i
i=1 i=1 j=0
k∑ k∑ k∑
= α j h j i L i(0) + L i (0)R k (h i )h k+1
i
j=0 i=1 i=1
(2.4.4)
k∑
= α 0 + α k · (−1) k−1 h 1 · · · · · h k + L i (0)R k (h i )h k+1
i .
i=1
Also gilt die Behauptung mit C := max |L i(0)|. Beachte, dass L i (0) nur von den Verhältnissen
i=1,...,l
2.4
h i : h j abhängt, siehe Bem. 2.4.3. ✷ p. 171
2.4.3 Extrapolation von Einschrittverfahren
Anfangswertproblem (1.1.6): ẏ = f(t,y), y(t 0 ) = y 0 ➣ Lösung t ↦→ y(t)
Das Anfangswertproblem wird betrachtet auf festem Zeitintervall [t 0 , T]
Annahme: f ”
hinreichend” glatt ⇔ y(t) ”
hinreichend” glatt
Gegeben: Konsistentes Einschrittverfahren ↔ diskrete Evolution (→ Lemma 2.1.6)
Annahmen:
Ψ t,t+h y = y + hψ(t,y,h) , ψ(t,y, 0) = f(t,y) , (t,y) ∈ Ω, h klein . (2.4.5)
Inkrementfunktion ψ stetig differenzierbar in (t,y)
ESV hat Konsistenzordnung = Konvergenzordnung p ∈ N (→ Thm. 2.1.10)
Gegeben: Endzeitpunkt T ∈ J(t 0 ,y 0 ) ➥ uniforme Zeitschrittweite h = (T −t 0 )/N, N ∈ N
k∑
q(t) = T i,1 L i (t) , L i ∈ P k−1 , L i (h j ) = δ ij , i,j = 1, ...,k .
i=1
2.4
p. 170
Einschrittverfahren ➡ Gitterfunktion {y k } N k=0 , y N ≈ y(T)
2.4
p. 172

✬
Theorem 2.4.3 (Asymptotische Entwicklung des Diskretisierungsfehlers von ESV).
Es existieren ein K ∈ N (abhängig von der Glattheit von f) und glatte Funktionen e i :
J(t 0 ,y 0 ) ↦→ R d , i = p,p + 1,...,p + K, mit e i (0) = 0 und (für hinreichend kleine h)
gleichmässig beschränkte Funktionen (T,h) ↦→ r k+p+1 (T,h), 0 ≤ k ≤ K, so dass
Dabei gilt
✫
y N − y(T) =
k∑
e l+p (T)h l+p + r k+p+1 (T,h)h k+p+1 für kleines h .
l=0
∥
∥r k+p+1 (T,h) ∥ ∥ = O(T − t 0 ) für T − t 0 → 0 gleichmässig in h < T ,
‖e(T)‖ = O(T − t 0 ) für T − t 0 → 0.
Beweis. Annahme: f, y(t) ”
hinreichend” glatt
Weiter nehmen wir globale Lipschitz-Stretigkeit der Inkrementfunktion ψ des ESV aus (2.4.5) an:
∃L > 0: ‖ψ(t,z, h) − ψ(t,w,h)‖ ≤ L ‖z − w‖ gleichmässig in t 0 ≤ t ≤ T, h . (2.4.6)
✩
✪
Beweis von (2.4.9) durch Induktion:
(∗) ← Induktionsannahme.
ŷ j+1 = ŷ j + ĥψ(t j ,ŷ j ,h)
(2.4.8)
= ŷ j + hψ(t j ,ŷ j + e(t j )h p ,h) − h p (e(t j+1 ) − e(t j ))
(∗)
= y j + hψ(t j ,y j ,h) −e(t
} {{ } j+1 )h p .
=y j+1
Annahme: Das modifizierte Einschrittverfahren ist konsistent mit ẏ = f(t,y) zur Ordnung p + 1
Thm. 2.1.10
⇒ ŷ N − y(T) = r p+1 (T, h)h p+1 ,
∥
∥r p+1 (T, h) ∥ ≤ C exp(L(T − t 0)) − 1
,
} {{ L }
=O(T −t 0 ) für T −t 0 →0
(Kompaktheitsargumente, vgl. Beweis von Thm. 2.1.10, machen Verzicht auf diese Annahme
möglich.)
Konsequenz der Konsistenzordnung p (→ Def. 2.1.9) und Glattheit von f: für Konsistenzfehler (→
Def. 2.1.7) entlang der Lösungstrajektorie (nur dort wird die Konsistenzfehlerabschätzung im Beweis
2.4
p. 173
mit C > 0 unabhängig von h, T . L ˆ= gemeinsame Lipschitz-Konstante von ψ, ̂ψ (bzgl. y) aus (2.4.6)
(2.4.9)
⇒ y N − y(T) = e(T)h p + r p+1 (T, h)h p+1 .
Damit haben wir das erste Glied der asymptotischen Entwicklung des Theorems erhalten.
2.4
p. 175
von Thm. 2.1.10 gebraucht !) gilt
τ(t,y(t), h) := y(t + h) − Ψ t,t+h y(t) = d(t)h p+1 + O(h p+2 ) für h → 0 , (2.4.7)
mit stetiger Funktion d : [t 0 , T] ↦→ R d . Dies ergibt sich mit Taylorentwicklung, siehe Bsp. 2.3.9:
RK-ESV: d hängt nur von Ableitungen von f ab ➢ d “hinreichend glatt”
Idee: Betrachte ESV mit modifizierter Inkrementfunktion
̂ψ(t,u, h) := ψ(t,u + e(t)h p ,h) − (e(t + h) − e(t))h p−1 , (2.4.8)
mit “hinreichend glatter” Funktion e : [t 0 , T] ↦→ R d .
Beachte: Auch ̂ψ erfüllt (2.4.6) mit dem gleichen L > 0.
Warum betrachten wir dieses modifizierte ESV ?
y j /ŷ j , j = 0, ...,N ˆ= Gitterfunktionen erzeugt durch ursprüngliches/modifiziertes ESV mit Zeitschrittweite
h := (T −t 0)
N . Setze ŷ 0 = y 0
ŷ j = y j − e(t j )h p , t j := t 0 + jh , j = 0, ...,N . (2.4.9)
2.4
p. 174
Induktive Anwendung des Arguments ➢ Modifizierte ESVen ̂Ψ 1 := ̂Ψ, ̂Ψ 2 , ..., ̂Ψ k+1 konsistent
zu ẏ = f(t,y) mit Ordnungen p + 1,p + 2,...,p + k + 1 erzeugen Näherungslösungen ŷ 1 j :=
ŷ j ,ŷj 2, ...,ŷk+1 j
, j = 1, . ..,N.
Mit ŷ 0 k = y k (Teleskopsumme)
ŷj l+1 = ŷj l − e l(t j )h p+l , l = 0, ...,k .
k∑
y N − y(T) = ŷN l − ŷl+1 N + r p+k+1(T,h)h p+k+1
l=0
k∑
= e l (T)h p+l + r p+k+1 (T,h)h p+k+1 .
l=0
Daraus folgt die Behauptung des Theorems.
?
Existenz von e(t) so dass das modifizierte ESV Konsistenzordnung p + 1 besitzt.
☞
Betrachte den Konsistenzfehler des modifizierten Verfahrens & Taylorentwicklung(en)
y(t + h) − ̂Ψ t,t+h y(t) = y(t + h) − y(t) − ĥψ(t,y(t),h)
= y(t + h) − y(t) − hψ(t,y(t) + e(t)h p ,h) + (e(t + h) − e(t))h p
(
= y(t + h) − y(t) − h ψ(t,y(t),h) + ∂ψ
)
∂y (t,y(t), h)e(t)hp + O(h 2p ) + ė(t)h p+1 + O(h p+2 )
( )
2.4
p. 176

Löst e folgendes AWP für eine inhomogene linear Variationsgleichung
ė(t) = ∂f (t,y(t))e(t) − d(t) , e(0) = 0 ⇒
∂y
e glatt , (2.4.10)
dann ist die Annahme über das modifizierte ESV erfüllt.
✷
Logisch:
K hängt von der Glattheit von f ab.
Idee: Ordnungserhöhung durch Extrapolation (→ Sect. 2.4.2)
MATLAB-CODE : Einzelschritt, lokales Extrapolations-ESV, skalare ODE
function y = expesvstep(esvstep,y,t,h,n)
for i=1:length(n)
yt(i) = y;
ht = h/n(i); tt = t;
for j=1:n(i)
yt(i) = esvstep(yt(i),tt,ht);
tt = tt + ht;
end
T = anexpol(yt,1./n,p);
return(T(1));
esvstep(y,t,h) ˆ= ein Schritt
des Basisverfahrens, Schrittweite
h, ausgehend vom Zustand (t,y):
esvstep(y,t,h) := Ψ t,t+h y
n ˆ= Vektor (n l ) k+1
l=1
anexpol ˆ= verallgemeinerte
Version für Extrapolationspolynom
p(t) = α 0 + α p h p + α p+1 h p+1 +
· · · + α p+k−1 h p+k−1
Wähle N 1 < N 2 < · · · < N k+1 , N i ∈ N
ESV (Schrittweite h i = (T −t 0 )/N i ) liefert y Ni , i = 1,...,k + 1
Ablauf: Lokales Extrapolations-Einschrittverfahren (n 1 = 1,n 2 = 2, n 3 = 3)
Polynomextrapolation (∗) aus (h i ,y hi ,N i
)
➥ Näherung ỹ mit ‖ỹ − y(T)‖ = O(h p+k
1 ) (vgl. Thm. 2.4.2)
(∗): Thm. 2.4.3 ➤ Extrapolation basierend auf Polynom der Form
p(t) = α 0 + α p h p + α p+1 h p+1 + · · · + α p+k−1 h p+k−1 !
Thm. 2.4.3 erfordert ”
hinreichend kleines” h
2.4
p. 177
D
2.4
p. 179
Nicht nur y(T) von Interesse, sondern (genäherte) Lösung t ↦→ y(t)
• ˆ= y j
2.4.4 Lokale Extrapolations-Einschrittverfahren
• ↔ n 1 = 1
• ↔ n 1 = 2
• ↔ n 1 = 3
ˆ= Extrapolation
H j H j+1 H j+2
Fig. 62
Anwendung der Extrapolationsidee auf Intervallen eines Zeitgitters G := {t 0 < t 1 < · · · <
t N = T } ↔ Makroschritte: auf [t j , t j+1 ], Makroschrittweite H j := t j+1 − t j
Fixiere Sequenz (n l ) k+1
l=1 , n l ∈ N, z.B. (1, 2, 3, 4, 5, 6,...) ↔ Anzahl Mikroschritte
n l Schritte des ESV mit Startwert y j , Schrittweite h = t j+1−t j
n l
➥ yj+1 l , l = 1, ...,k + 1
(ESV = Basisverfahren, Ordnung p)
Polynomextrapolation (∗) aus (n −1
l ,y l j+1 ) ➥ y j+1 vgl. Bem. 2.4.3
t j−1 t j t j+1
Beispiel 2.4.4 (Extrapoliertes Euler-Verfahren).
t
Extrapolations-Einschrittverfahren der Ordnung p + k
2.4
p. 178
2.4
p. 180

AWP für logistische Dgl. (→ Bsp. 1.2.1)
ẏ = 5y(1 − y) , y(0) = 0.02 .
Endzeit: T = 1 Basis-ESV: explizites Euler-
Verfahen (1.4.2)
Extrapolation: verschiedene k,n l , l = 1, ...,k+1,
uniforme Makroschrittweite h
Fehler
max |y(t j ) − y j | .
j
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
macro step h
10
Algebraische Konvergenz der Ordnung k + 1 ✄ −10
10 −3 10 −2 10 −1
error
(1,2)
(1,2,3)
(1,2,4)
(1,4,16)
O(h 2 )
O(h 3 )
O(h 4 )
✸
wobei C > 0 nur von den Verhältnissen n j : n l abhängt.
⇒ ‖ŷ − y(t + H)‖ ≤ CH k+2 ,
mit C > 0 unabhängig von H.
Bemerkung 2.4.5 (Extrapolationsverfahren als Runge-Kutta-Verafhren).
Basisverfahren: Explizites Euler-Verfahren (1.4.2), Ordnung p = 1
➜ Polynomextrapolation zur Sequenz (1, 2, 3, 4, ...,k) liefert explizites (→ Def. 2.1.2)
Runge-Kutta-Verfahren (→ Def. 2.3.1) der Ordnung k mit s = k(k − 1)/2 + 1 Stufen.
△
Theoretische Analyse ↔ Verifikation der Voraussetzungen von Thm. 2.1.10
Überlegungen für Spezialfall p = 1 ↔ Euler-Verfahren, vgl. Bsp. 2.4.4
Notationen:
t ↦→ y(t) ˆ= exakte Lösung durch (t,y) ∈ Ω
H > 0 ˆ= Schrittweite des Makroschritts
n 1 , ...,n k+1 ˆ= Anzahl von Mikroschritten in [t, t + H]
2.4
p. 181
2.4.5 Ordnungssteuerung
2.4
p. 183
y N ˆ= Resultat der Anwendung von N Schritten des Basis-Einschrittverfahrens auf [t,t + H] mit
uniformer Schrittweite h := H/N und Startwert y
Für Extrapolations-Einschrittverfahren:
k = k(j) einfach zu realisieren
ŷ ˆ= durch Extrapolation aus y n1 ,y n2 ,...,y nk+1 gewonnener Näherungswert für y(t + H)
Idee: [(lokale) Ordnungssteuerung]
✗
✔
Konsistenzfehler (→ Def. 2.1.7): τ(t,y,H) = y(t + H) − ŷ .
Zu zeigen ist: Konsistenzordnung k + 1 ↔ ‖τ(t,y, H)‖ = O(H k+2 )
✖
Erhöhe lokale Ordnung, bis es sich nicht mehr lohnt (∗)”
”
(∗) Heuristisches Beurteilungskriterium (basierend auf Aitken-Neville-Extrapolationstableau (2.4.3)):
✕
➀
Lokale Anwendung von Thm. 2.4.3 mit t 0 = t, T = t + H: für hinreichend grosses K ∈ N
⇒ y N − y(t + H) =
l=1
wobei ☞ ‖r K (t + H,h)‖ ≤ CH
☞ ‖e(t + H)‖ ≤ CH
mit C > 0 unabhängig von t und (hinreichend kleinem) h.
K∑
e l (t + H)h l + r K (t + H,h)h K+1 , h = H/N ,
∥
∥T k,k−1 − T k,k
∥ ∥ ≤ TOL · ∥∥T k,k
∥ ∥ für ToleranzTOL > 0 .
Zweitbeste Näherung
beste Näherung
➁ Damit aus Thm. 2.4.2
k∑ ∥
‖ŷ − y(t + H)‖ ≤ ‖e k+1 (t + H)‖ h 1 · · · · · h k+1 + C ∥r j (t + H, h j ) ∥ ∥h k+2
j ,
j=1
2.4
p. 182
2.4
p. 184

MATLAB-CODE : Adaptives Euler-Extrapolationsverfahren
function [y,k] = eulexstep(f,y,H,TOL)
kmax = 1000;
T{1} = y + H*f(y);
for i=2:kmax
T{i} = y; h = H/i;
for k=1:i, T{i} = T{i} + h*f(T{i}); end
for l=i-1:-1:1
T{l} = T{l+1} + (T{l+1}-T{l})/(i/l-1);
end
if (norm(T{1}-T{2}) < TOL*norm(T{1}))
y = T{1}; k = i; return;
end
Adaptives
Euler-Extrapolationsverfahren:
(für autonomes AWP)
Makroschritt der LängeH
Argumente:
f
: Funktionshandle f=@(y)
auf rechte Seite
y : Anfangswert zu t = 0
TOL : Toleranz
Rückgabewerte:
y : Näherung zu t = H
k : Verwendete Extrapolationstiefe
y 2
(t)
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
y (t) 1
Fig. 63
y i
(t)
5
0
−5
20
y (t ) (Naeherung)
1 k
y (t ) (Naeherung)
2 k
v (t ) (Naeherung)
1 k
v (t ) (Naeherung)
2 k
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
10
4 0
t
Local extrapolation depth
Fig. 64
Beachte:
Einfache Erweiterung des Extrapolationstableaus um eine weitere Zeile
✄ Automatische Erhöhung der Ordnung an ”
kritischen Stellen”
✸
Beispiel 2.4.6 (Euler-Extrapolationsverfahren mit Ordnungssteuerung).
Bewegung eines geladenen ( Teilchens im Feld eines geraden Drahtes = Linienladung (konservatives
0) Zentralfeld, Zentrum 0 , Potential U(x) := −2 log ‖x‖): → Bsp. 1.2.9
ÿ = − 2y ( ( )
y ˙ v
( ) ( )
−1 0.1
‖y‖ 2 ⇒ =
v)
− 2y , y(0) = , v(0) = .
‖y‖ 2 0
−0.1
Anfangswert: y(0) = (−1, 0, 0.1, −0.1), Endzeitpunkt: T = 4
2.4
p. 185
2.4.6 Extrapolation reversibler Einschrittverfahren
Beispiel 2.4.7 (Extrapolierte implizite Mittelpunktsregel).
Anfangswertproblem aus Bsp. 1.4.3 (logistische Dgl., siehe Bsp. 1.2.1), λ = 10, y 0 = 0.01, aus
[0, 1] (T = 1)
2.4
p. 187
y 2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
4
3
2
1
0
y 1
(t)
y 2
(t)
v 1
(t)
v 2
(t)
Einschrittverfahren: implizite Mittelpunktsregel (1.4.11)
Globale Extrapolation (→ Abschnitt 2.4.3) von y h (T) aus Lösungen erhalten durch uniforme
Schrittweiten h/n i
Beachte: Extrapolation auf der Grundlage des Standard-Tableaus (2.4.2)
Implicit MPR (extr.), logistic ODE, λ = 10.000000, y0 = 0.010000, T = 1.000000
−0.4
−1
−0.6
−2
10 −2
−0.8
Exakte Bahn
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
y 1
Beobachtung:
−3
−4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
Peaks” in der Lösungskomponente v(t) (= zeitlokale Charakteristika)
”
Ordnungsadaptives Euler-Extrapolationsverfahren (TOL = 0.01), uniforme Makrozeitschrittweite H =
0.02
|y N
−y(T)|
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 0 h
No extrapolation
n=(1,2)
n=(1,2,3)
n=(1,2,3,4)
n=(1,2,3,4,5)
O(h 2 )
O(h 4 )
O(h 6 )
10 −2 10 −1 10 0
Fig. 65
✁ Ordnungserhöhung nur in jedem zweite Extrapolationsschritt
Ordnungserhöhung um jeweils zwei
✸
2.4
p. 186
2.4
p. 188

Beobachtung aus Bsp. 2.4.7 einfach zu erklären, falls
y h (T) = y(T) + α 1 h 2 + α 2 h 4 + α 6 h 6 + · · · .
➣ DIFEX-Algorithmus [5, Sect. 4.3.3]
△
Beispiel 2.4.8 (Globale h 2 -Extrapolation für implizite Mittelpunktsregel).
(Fast) wie Bsp. 2.4.7
NEU:
y N aus Extrapolation in h 2
2.5 Splittingverfahren [11, Sect. 2.5]
Implicit MPR (h 2 extr.), logistic ODE, λ = 10.0, y0 = 0.01, T = 1.0
Autonomes AWP mit additiv zerlegter rechter Seite:
10 −2
10 −4
ẏ = f(y) + g(y) , y(0) = y 0 , (2.5.1)
mit f : D ⊂ R d ↦→ R d , g : D ⊂ R d ↦→ R d “hinreichend glatt”, lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2)
|y N
−y(T)|
10 0 h
10 −6
10 −8
✁ Ordnungserhöhung um zwei in jedem Extrapolationsschritt
!
(Kontinuierliche) Evolutionen:
Φ t f ↔ Dgl. ẏ = f(y) ,
Φ t g ↔ Dgl. ẏ = g(y) .
10 −10
✬
✫
10 −12
10 −14
No extrapolation
n=(1,2)
n=(1,2,3)
O(h 2 )
O(h 4 )
O(h 6 )
10 −2 10 −1 10 0
Fig. 66
Theorem 2.4.4 (Asymptotische Entwicklung des Diskretisierungsfehlers in h 2 ).
Bezeichne y h (t), t ∈ äquidistantes Zeitgitter mit Schrittweite h > 0 auf [t 0 , T], die durch ein
reversibles Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.14) erzeugte Näherungslösung eines Anfangswertproblems
ẏ = f(t,y), y(t 0 ) = y 0 , mit exakter Lösung t ↦→ y(t).
Dann existieren ein K ∈ N (abhängig von der Glattheit von f) und glatte Funktionen e i :
J(t 0 ,y 0 ) ↦→ R d , i = 1,...,K, mit e i (0) = 0 und (für hinreichend kleine h) gleichmässig
beschränkte Funktionen (T,h) ↦→ r k (T, h), 0 ≤ k ≤ K, so dass
y h (T) − y(T) =
k∑
e l (T)h 2l + r k (T,h)h 2k+2 für kleines h .
l=1
Dabei gilt ‖r k (T, h)‖ = O(T − t 0 ) für T − t 0 → 0 gleichmässig in h < T .
Beweis. Siehe [5, Satz 4.42] ✷
Bemerkung 2.4.9 (DIFEX).
✸
✩
✪
2.4
p. 189
2.5
Annahme: Φ t f , Φt g (analytisch) bekannt p. 191
(2.5.2) ↔
Idee: Konstruiere Einschrittverfahren mit diskreten Evolutionen
y 1
Ψ h
Φ h g
y 0
Φ h f
Lie-Trotter-Splitting: Ψ h = Φ h g ◦ Φ h f , (2.5.2)
Strang-Splitting: Ψ h = Φ h/2
f ◦ Φ h g ◦ Φ h/2
f . (2.5.3)
Fig. 67
(2.5.3) ↔
Beispiel 2.5.1 (Konvergenz einfacher Splittingverfahren).
√
1 − y 2
ẏ = λy(1 − y) +
} {{ }
=:f(y)
} {{ }
=:g(y)
Φ h/2
f y 1
Ψ h Φ h g
y 0
, y(0) = 0 .
Φ h/2
f
Fig. 68
Praktische Extrapolationsverfahren stützen sich auf explizite Verfahren, deren Fehler eine asymptotische
Entwicklung in h 2 besitzt (eine spezielle Trapezregel)
2.4
p. 190
Φ t f y = 1
1 + (y −1 − 1)e −λt , t > 0,y ∈]0, 1] (Logistische Differentialgleichung (2.2.12)) 2.5
p. 192

|y(T)−y h
(T)|
Φ t gy =
{
sin(t + arcsin(y)) , falls t + arcsin(y) < π 2 ,
1 , sonst,
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
Lie−Trotter−Splitting
Strang−Splitting
O(h)
10 −6
O(h 2 )
10 −2 10 −1
Zeitschrittweite h
Fig. 69
✬
✫
t > 0,y ∈ [0, 1] .
Numerisches Experiment:
T = 1, λ = 1, Vergleich von Splittingverfahren
(konstante Schrittweite) mit hochgenauer numerischer
Lösung erhalten durch
f=@(t,x) λ*x*(1-x)+sqrt(1-xˆ2);
options=odeset(’reltol’,1.0e-10,...
’abstol’,1.0e-12);
[t,yex]=ode45(f,[0,1],y0,options);
✁ Fehlerverhalten zum Endzeitpunkt T = 1
Theorem 2.5.1 (Konsistenzordnung einfacher Splittingverfahren). Die ESV (2.5.2) und (2.5.3)
haben die Konsistenzordnungen (→ Def. 2.1.9) 1 bzw. 2.
Beweis. Annahme: f, g hinreichend glatt.
Taylorentwicklung der Evolution nach h, vgl. (2.3.14):
Φ h y =y + ẏ(0)h + 1 2ÿ(0)h2 + O(h 3 )
=y + h(f(y) + g(y)) + 1 2 h2 (Df(y) + Dg(y))(f(y) + g(y)) + O(h 3 ) .
Taylorentwicklung der partiellen Evolutionen Φ h f , Φh g nach h, vgl. (2.3.14)
Φ h f y = y + hf(y) + 1 2 h2 Df(y)f(y) + O(h 3 ) ,
Φ h gy = y + hg(y) + 1 2 h2 Dg(y)g(y) + O(h 3 ) .
Ψ h y =Φ h/2
f (Φh g(Φ h/2
f y)) = Φh/2
f (Φh g(y + h/2f(y) + 8 1h2 Df(y)f(y) + O(h 3 )))
(
=Φ h/2
f y + h/2f(y) + 1 8 h2 Df(y)f(y) + O(h 3 ) + hg(y + h/2f(y) + O(h 2 ))
)
+ 1 2 h2 Dg(y + O(h))g(y + O(h)) + O(h 3 )
(
=Φ h/2
f y + h/2f(y) + hg(y) + 1 8 h2 Df(y)f(y) + 1 2 h2 Dg(y)f(y)+
)
1
2 h2 Dg(y)g(y) + O(h 3 )
=y + h 2 f(y) + hg(y) + 1 8 h2 Df(y)f(y) + 1 2 h2 Dg(y)f(y) + 1 2 h2 Dg(y)g(y) + O(h 3 )+
✸
(2.5.4)
✩
✪
2.5
p. 193
2.5
p. 194
h/2f(y + h 2 f(y) + hg(y)) + O(h2 )) + 1 8 h2 Df(y + O(h))f(y + O(h))
=y + h 2 f(y) + hg(y) + 1 8 h2 Df(y)f(y) + 1 2 h2 Dg(y)f(y) + 1 2 h2 Dg(y)g(y)
+ 1 2 hf(y) + 1 4 h2 Df(y)f(y) + 1 2 h2 Df(y)g(y) + 1 8 h2 Df(y)f(y) + O(h 3 )
=y + h(f(y) + g(y)) + 1 2 h2( Df(y)f(y) + Dg(y)f(y) + Df(y)g(y) + Dg(y)g(y) )
+ O(h 3 ) .
Vergleich mit (2.5.4) liefert die Behauptung für das Strang-Splitting.
Bemerkung 2.5.2 ( reversible Strang-Splitting-Einschrittverfahren).
Diskrete Evolution Ψ h aus (2.5.3) erfüllt
Ψ −h = Φ −h/2
f
(
◦ Φ −h g ◦ Φ −h/2
f =
Φ h/2
f
Ψ ist reversibel (→ Def. 2.1.14)
) −1 ( ) −1 (
◦ Φ h g ◦
)
Φ h/2 −1
f
=
(
Φ h/2
f ◦ Φ h g ◦ Φ h/2
f
Thm. 2.1.15 ⇒ gerade Konsistenzordnung von Strang-Splitting-Einschrittverfahren
Beispiel 2.5.3 (Splittingverfahren für mechanische Systeme).
Newtonsche Bewegungsgleichung
¨r = a(r)
(1.1.5)
⇐⇒ ẏ :=
(
r
˙
v)
( ) (
0 v
Splitting: F(y) = + .
a(r) 0)
} {{ } }{{}
=:f(y) =:g(y)
( ) ( )
Φ t r0 r
f = 0
v 0 v 0 + ta(r 0 )
)
✷
(
= Ψ h) −1
.
( )
v
= =: F(y) .
a(r)
( ) ( )
, Φ t r0 r0 + tv
g = 0 .
v 0 v 0
Lie-Trotter-Splitting (2.5.2): ➢ Symplektisches Eulerverfahren
( ) ( ) ( ) ( )
Ψ h r
= Φ
v
h g ◦ Φ h r r + h(v + ha(r))
f =
. (2.5.5)
v v + ha(r)
Strang-Splitting (2.5.3):
( ) (
Ψ h r
= Φ h/2
v g
◦ Φ h f ◦ Φh/2 g
) ( )
r
v
(
r + hv + 1
=
2 h 2 a(r + 1 2 hv)
)
v + ha(r + 2 1hv) . (2.5.6)
△
2.5
p. 195
2.5
p. 196

= Einschrittformulierung des Störmer-Verlet-Verfahrens (1.4.14), siehe Bem. 1.4.15 !
(2.5.6) ←→
r k+ 1 = r k + 1
2
2 hv k ,
v k+1 = v k + ha(r k+ 1) ,
2
r k+1 = r k+ 1 + 1
2
2 hv k+1 .
(2.5.7)
✸
2.6 Schrittweitensteuerung [5, Kap. 5], [16, Sect. 2.8]
Erinnerung an das Keplerproblem von Bsp. 2.4.6, Oregonator-Reaktion von Bsp. 1.2.5:
Häufig: Lösungen von AWPs zeigen stark ungleichmässiges Verhalten in der Zeit.
Idee:
Ersetze
Exakte Evolutionen −→ diskrete Evolutionen
Φ h g , Φh f −→ Ψ h g , Ψh f
Beispiel 2.5.4 (Inexakte Splittingverfahren). Forsetzung Bsp. 2.5.1
AWP von Bsp. 2.5.1, Inexakte Splittingverfahren auf der Grundlage verschiedener inexakter Basisverfahren:
Effizienz
✬
Ziel: ♯G möglichst klein
✫
Adaptive Wahl des Rechengitters für ESV durch zeitlokale Fehlerschätzung
(→ Ordnungssteuerung bei Extrapolationsverfahren, Sect. 2.4.5)
&
Genauigkeit
max ‖y(t k) − y k ‖ Ordnung(Ψ)
⇒ Φ t,t+h y(t k ) − Ψ t,t+h y(t k ) ≈ EST
} {{ } k := ˜Ψ t,t+h y(t k ) − Ψ t,t+h y(t k ) . (2.6.1)
Konsistenzfehler
Heuristik für konkretes h
Beispiel 2.6.1 (Qualität der Fehlerschätzung).
Skalares AWP: ẏ = cos 2 (ay), Lösung y(t) = 1/a arctan(at) auf [−1, 1], a = 10
☞
Ordnung der Splittingverfahren wird durch Konsistenzordnung von Φ h f , Φh g begrenzt.
Ausnahme: SS-EuEI: reversibles Verfahren ➢ Konsistenzordnung ≥ 2 nach Thm. 2.1.15
✸
Ψ ↔ Explizites Euler-Verfahren (1.4.2), Ordnung p = 1
˜Ψ ↔ Explizite Trapezregel (2.3.2), Ordnung p = 2
2.6
p. 198
2.6
p. 200

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.15
0.1
f(y) = cos 2 (10*y)
0.14
0.12
Euler: error
Euler: est. error
TRP: error
TRP: est. error
f(y) = cos 2 (10*y)
0.05
0.1
y,y h
0
−0.05
y,y h
0.08
0.06
Optimale Schrittweite”:
”
(Schrittweitenvorschlag)
h ∗ = h p+1 √ TOL
EST k
. (2.6.2)
Korrigierte Schrittweite
Schrittweitenvorschlag
−0.1
0.04
−0.15
−0.2
t
Expl. Euler solution
Expl. trapezoidal rule
Exact solution
Fig. 70
0.02
0
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Beobachtung: ☞ Grosse Unterschiede zwischen geschätztem und wahrem Fehler möglich
☞ Fehlerschätzung für ˜Ψ durch Ψ macht Sinn !
Fig. 71
Bemerkung 2.6.2 (Steuerung von ˜Ψ durch Ψ).
Bisherige Überlegung:
” Schätzung des Fehlers” von ˜Ψ ➣ Steuerung von ˜Ψ
✸
Vergleich
EST k ↔ TOL
EST k ↔ TOL ‖y k ‖
➣
Absolute Toleranz
Verwerfen/Akzeptieren des aktuellen Schritts
2.6
Relative Toleranz p. 201
2.6
p. 203
Führt zu einem sehr einfachen Algorithmus:
EST k < TOL: Ausführen des aktuellen Schritts (Schrittweite h)
Nächster Schritt mit Schrittweite ≥ h, z.B. 2h
EST k > TOL: Wiederholung des aktuellen Schritts mit Schrittweite < h, z.B. 1 2 h
Jedoch: Vergrösserung/Verringerung der Schrittweite “verschwendet” Information enthalten in EST k :
TOL.
Wir wollen mehr ! WennEST k > TOL : Schrittweitenkorrektur t k+1 = ?
WennEST k < TOL : Schrittweitenvorschlag t k+2 = ?
Falls Ordnung(Ψ) = p, Ordnung(˜Ψ) > p, p ∈ N,
Ψ t,t+h y(t k ) − Φ t,t+h y(t k ) = ch p+1 + O(h p+2 ) ,
˜Ψ t,t+h y(t k ) − Φ t,t+h y(t k ) = O(h p+2 )
Ziel: Effizienz
h≪1
⇒ EST k ≈ ch p+1 ! = TOL .
Effizient ?
Genaueres (teureres) Verfahren ˜Ψ wird nur zur Steuerung des ungenaueren Verfahrens
verwendet.
Erinnerung an Bsp. 2.6.1:
Mit gleichem Aufwand: Integration des AWP mit ˜Ψ gesteuert durch Ψ !
Euler-Verfahren (Ordnung p = 1) lieferte gute Fehlerschätzung für explizite
Trapezregel (Ordnung p = 2)
So wird es in der Praxis auch gemacht !
Noch eine Heuristik:
EST k > TOL ist ein Hinweis darauf, dass eines der beiden Verfahren Ψ, ˜Ψ Probleme mit der
(lokalen) Approximation der Lösung hat. Eine Verringerung von h k ist daher angezeigt.
Mathematische Rechtfertigung: Steuerungstheorie → [5, Sect. 5.2]
△
Herleitung einer “optimalen” Schrittweite h ∗ mitEST k = TOL (in führender Potenz von h):
{
EST k ≈ ch p+1 ⇒ c ≈ EST }
k
h p+1 mit Forderung c(h ∗ ) p+1 !
= TOL
2.6
p. 202
2.6
p. 204

MATLAB-Implementierung: Ψ,˜Ψ ˆ= diskrete Evolutionen, Konsistenzordnung p/p + 1
t 0 ˆ= Anfangszeitpunkt, T ˆ= Endzeitpunkt
y 0 ˆ= Anfangswert (Spaltenvektor)
reltol, abstol ˆ= absolute/relative Toleranzen
h 0 ,h min ˆ= Schrittweite für 1. Schritt/minimale Schrittweite
ESV mit Schrittweitensteuerung
function [t,y] = ssctrl(Ψ,˜Ψ,t0,T,y0,h0,reltol,abstol,hmin)
t = t0; y = y0; h = h0;
while ((t(end) < T) && (h > hmin))
yh = ˜Ψ(t(end),y(:,end),h);
yH = Ψ(t(end),y(:,end),h);
est = norm(yH-yh);
tol = min(reltol*norm(y(:,end)),abstol);
h = h*max(0.5,min(2,(tol/est)ˆ(1/(p+1))));
if (est < tol)
y = [y,yh]; t = [t,t(end) + min(T-t(end),h)];
end
end
error
reltol
Adaptive trapezoidal rule
Adaptive Euler method
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 73
10 0
☞ Fehler max |y(t j ) − y j | korreliert nur grob mit Toleranz TOL !
j
No. of timesteps
600
500
400
300
200
100
Adaptive trapezoidal rule
Adaptive Euler method
0
10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 0
reltol
10
Fig. 74
Diese Beobachtung wird verständlich, wenn man sich in Erinnerung ruft, dass die Schrittweitensteuerung
sich ausschliesslich auf den Einschrittfehler stützt und den fortgepflanzten Fehler ignoriert, siehe
Abschnitt 2.1.4.
Beispiel 2.6.3 (Schrittweitensteuerung für explizite Trapezregel/Euler-Verfahren).
2.6
p. 205
2.6
✸ p. 207
Anfangswertproblem für skalare logistische Dgl, siehe Bsp. 1.2.1
Beispiel 2.6.4 (Schrittweitensteuerung und Instabilität).
ẏ = λy(1 − y) , λ = 20 ➣ y(t) =
y 0
y 0 + (1 − y 0 ) exp(−λt) .
Anfangswertproblem für skalare logistische Dgl, siehe Bsp. 2.6.3, nun λ = 100
Einschrittverfahren aus Bsp. 2.6.1, Schrittweitenanpassung
gemäss (2.6.2)
Integration mit explizitem Euler-Verfahren
(1.4.2),
Fehlerschätzung (2.6.1) mit
expliziter Trapezregel (2.3.2)
Integration mit expliziter Trapezregel (2.3.2),
Schrittweitensteuerung mit expliziten Euler-
Verfahren gemäss Bem. 2.6.2
Absolute/relative Toleranz = 0.005, y 0 = 0.1/λ
y(t)/y k
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Logistic ODE, lambda = 20.000000, y 0
= 0.005000
trapezoidal rule
Euler method
exact solution
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 72
Trapezregel/Euler: 63/62 Schritte, 12 verworfen
explizites Euler-Verfahren (1.4.2), explizite Trapezregel (2.3.2) mit Schrittweitensteuerung wie
Bsp. 2.6.3
Absolute/relative Toleranz = 0.05, Anfangszeitschritt (für adaptive ESV) h = 0.05
y(t)/y k
Logistic ODE, lambda = 100.000000, y = 0.001000, stepsize = 0.050000
0
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
y(t)/y k
Logistic ODE, lambda = 100.000000, y = 0.001000
0
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
2.6
p. 206
−1
−1.5
trapezoidal rule
Euler method
exact solution
TR blowup
Euler blorwup
−2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 75
Trapez/Euler: uniforme Zeitschrittweite h = 0.05
0.2
trapezoidal rule
Euler method
exact solution
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 76
Trapez/Euler: 119/114 Schritte, 28/42 verworfen
2.6
p. 208

Schrittweitensteuerung verhindert Instabilität, vgl. Bsp. 1.4.3 !
Beispiel 2.6.5 (Schrittweitensteuerung und Kollaps).
Skalares Anfangswerproblem mit Kollaps, vgl.
Bsp. 1.3.3
ẏ = − 1 √ y
, y(0) = 1
⇒ y(t) = (1 − 3t/2) 2/3 .
Absolute/relative Toleranz = 0.005
y(t)/y k
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
d t
y = −1/
✸
Algorithmische Realisierung (ESV):
Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren
Gleiche Inkremente k i , verschiedene Gewichte b i
(→ Def 2.3.1) realisieren RK-Evolutionen Ψ h , ˜Ψ h
der Ordnungen p und p + 1.
c A
b T :=
b
̂ T
c 1 a 11 · · · a 1s
. . .
c s a s1 · · · a ss .
b 1 · · · b s
̂b1 · · · ̂bs
Eingebettetes RK-ESV: Butcher-Schema
s∑
s∑
Ψ h y = y + h b i k i , ˜Ψh y = y + h ̂bi k i .
i=1
Motivation: Effizienz (Inkremente k i nur einmal zu berechnen, siehe Def. 2.3.1)
Gebräuchlich: p = 4, p = 7
i=1
0.1
adaptive trapezoidal rule
adaptive Euler method
exact solution
0
t
0.7
Fig. 77
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
△
Schrittweitensteuerung ➣ Verfahren “erkennt” Kollaps der Lösung
2.6
✸ p. 209
Beispiel 2.6.8 (Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren).
→ [14, Sect. II.4]
2.6
p. 211
Beispiel 2.6.6 (Schrittweitensteuerung und Blow-up).
Skalares Anfangswerproblem mit Blow-up, vgl.
Bsp. 1.3.3
ẏ = y 2 , y(0) = 1
⇒ y(t) = 1
1 − t .
Absolute/relative Toleranz = 0.05
y(t)/y k
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
adaptive trapezoidal rule
adaptive Euler method
exact solution
d t
y = y 2 , y 0
= 1.000000
0
1
3
1
3
1
3
1
6
1
6
1
2
1
8 0 3
8
1 1
2 0 − 3 2 2
y 1
1
6 0 0 2 3 1 6
ŷ 1
1
10 0 3
10
2
5
1
5
Eingebettes RK-Verfahren der Ordnung 3( ”
4”)
von Merson
0
1
2
1
2
1
2 0 1
2
1 0 0 1
3
4
5
32
7
32 32 13 − 32
1
y 1
1
6
1
3
1
3
1
6
ŷ 1 −2
1 7 7 13
3 3 6 − 16
3
Eingebettes RK-Verfahren der Ordnung 3(4) von
Zonneveld
0
0 0.2 0.4 0.6
t
0.8 1 1.2
Fig. 78
Schrittweitensteuerung ➣ Verfahren “erkennt” Blow-up der Lösung
Bemerkung 2.6.7 (Eingebettete RK-ESV).
✸
2.6
p. 210
2.6
p. 212

0
1
5
3
10
4
5
8
9
1
5
3 9
40 40
44
45 − 56
15
19372
6561 −25360 2187
1 9017
3168 − 355
33
1 35
384 0 500
1113
y 1
35
384 0 500
1113
ŷ 1
5179
57600 0 7571
16695
32
9
64448
6561 −212 729
46732
5247
49
176 −18656
5103
125
192 −6784
2187
125
192 −6784
2187
393
640 −339200
92097
11
84 0
11
84 0
187
2100
1
40
DOPRI5: Eingebettes RK-
Verfahren der Ordnung 4(5)
von Dormand & Prince
(MATLAB ode45)
✸
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
abstol = 0.001000, reltol = 0.010000
y 1
(t) (exakt)
y 2
(t) (exakt)
v 1
(t) (exakt)
v 2
(t) (exakt)
−4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
y i
(t)
5
0
abstol = 0.001000, reltol = 0.010000
0.2
y 1
(t k
) (Naeherung)
y 2
(t k
) (Naeherung)
v 1
(t k
) (Naeherung)
v 2
(t k
) (Naeherung)
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1
Zeitschrittweite
Adaptive Integratoren für Anfangswertprobleme in MATLAB:
options = odeset(’abstol’,atol,’reltol’,rtol,’stats’,’on’);
[t,y] = ode45/ode23(@(t,x) f(t,x),tspan,y0,options);
(f = function handle, tspan ˆ= [t 0 , T], y0 ˆ= y 0 , t ˆ= t k , y ˆ= y k )
2.6
p. 213
2.6
p. 215
Beispiel 2.6.9 (Adaptive RK-ESV zur Teilchenbahnberechnung). → Bsp. 2.4.6
0.8
0.8
0.6
0.6
Adaptiver Integrator:
ode45(@(t,x) satf,[0 4],[-1;0;0.1;-0.1,],options):
0.4
0.4
➊ options = odeset(’reltol’,0.001,’abstol’,1e-5);
➋ options = odeset(’reltol’,0.01,’abstol’,1e-3);
y 2
0.2
0
−0.2
y 2
0.2
0
−0.2
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
abstol = 0.000010, reltol = 0.001000
y 1
(t) (exakt)
y 2
(t) (exakt)
v 1
(t) (exakt)
v 2
(t) (exakt)
−4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
y i
(t)
5
0
abstol = 0.000010, reltol = 0.001000
0.2
y 1
(t k
) (Naeherung)
y 2
(t k
) (Naeherung)
v 1
(t k
) (Naeherung)
v 2
(t k
) (Naeherung)
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1
Zeitschrittweite
−0.4
−0.6
−0.8
Exakte Bahn
Naeherung
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
y 1
reltol=0.001, abstol=1e-5
☞ Qualitativ falsche Lösung bei geringfügig erniedrigter Toleranz !
−0.4
−0.6
−0.8
Exakte Bahn
Naeherung
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
y 1
reltol=0.01, abstol=1e-3
Beispiel 2.6.10 (Schrittweitensteuerung für Bewegungsgleichungen). → Bsp. 2.4.6
✸
2.6
p. 214
2.6
p. 216

10 2 (Absolute) Toleranz
AWP aus Bsp. 2.4.6
ode45 mit verschiedenen absoluten/relativen Toleranzen
Wie schon in Bsp. 2.6.3:
10 −2
! Toleranzen sagen nichts über globalen Fehler 10 −3
rtol = atol^(1/2)
rtol=atol^(2/3)
rtol=10*atol
10 −4
10 −6 10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1
Fehler |y h
(4)−y(4)|
10 1
10 0
10 −1
3 Stabilität [5, Kap. 6]
Beispiel 3.0.11 (Ineffizienz expliziter Runge-Kutta-Verfahren). → Bsp. 1.4.3, 1.4.5
Logistische Differentialgleichung ẏ = f(y), f(y) = λy(1 − y) → (2.2.12), λ = 50, Anfangswert
y 0 = 0.1, Zeitintervall [0, 1]:
• Integratoren: Implizites Euler-Verfahren (1.4.9), klassisches Runge-Kutta-Verfahren (2.3.7)
• uniforme Zeitschrittweite h = 1/N, N ∈ N
• Fehlermass: err = max k |y k − y(t k )|, k = 1, ...,N
2.6
p. 217
3.0
p. 219
Fehler |y h
(4)−y(4)|
RK4 äquidistant
ode45 adaptiv
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6
10 2 Anzahl f−Auswertungen
Effizienz von Schrittweitensteuerung:
Vergleich:
• Klassisches Runge-Kutta-Verfahren (2.3.7)
• Eingebettetes Runge-Kutta-Verfahren mit
Schrittweitensteuerung: ode45
Aufwandsmass: ♯f-Auswertungen
Adaptivität zahlt sich aus !
✸
y
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
y(t)
Implicit Euler
RK4
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 79
(Approximative) Lösungen für N = 30
∞−error
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
implicit Euler
RK4
blow−up
10 −8
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
timestep h
Fig. 80
10 1
Fehler gegen Schrittweite (doppeltlogarithmisch)
Beobachtung:
RK4 asymptotisch genauer als implizites Euler-Verfahren
RK4 präasymptotisch (für h > 0.02) unbrauchbar
2.6
p. 218
Überlegung: Linearisierung um Fixpunkt, siehe Bem. 1.3.5
3.0
(für Logistische Differentialgleichung ẏ = λy(1 − y), λ > 0) p. 220
✸

y = 1 ⇒ f(y) = 0: für λ ≫ 1 ist 1 stark attraktiver Fixpunkt/stationärer Punkt der Evolution zur
Dgl. (→ Bsp. 1.2.1, 1.4.3):
df
(1) = −λ ⇒ für y ≈ 1 : Dgl. ≈ ẏ = −λ(y − 1) .
dy
Zeitskalierung s := λt: ỹ(s) := y(s/λ) erfüllt
d
dsỹ = ỹ
Annahme: Zeitskalierungsinvarianz der diskreten Evolution ↔ kommutierendes Diagramm
s:=λt
y(t)
−−−→ ỹ(s)
⏐
⏐
ESV↓
↓ESV
(3.1.2)
y h (t) := Ψ t s:=λt
λ −−−→ ỹ h (s) = ˜Ψ s 1 .
Beachte: Erfüllt für Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1) !
3.1 Modellproblemanalyse
Ψ h λ = Ψλh 1 hängt nur von z := λh ab: S(z) := Ψ h λ
Überlegung zu Bsp. 3.0.11: Relevanz der (um einen Fixpunkt) linearisierten ODE
Abschnitt 1.4.1: Einsichten in das Verhalten des expliziten Euler-Verfahrens (1.4.2) durch Modellproblemanalyse,
d.h., analytische Untersuchung der diskreten Evolution für die skalare lineare ODE
ẏ = λy, λ ∈ C.
Diskrete Lösung: y k = S(z) k y 0 , k ∈ N 0 , z := λh .
Stabilitätsfunktion
➥ |S(z)| < 1 ⇔ y = 0 asymptotisch stabil für diskrete EvolutionΨ h λ . △
3.1
p. 221
3.1
p. 223
Autonomes skalares lineares AWP: ẏ = λy , y(0) = 1, Re λ < 0 auf [0, ∞[ (3.1.1)
y(t) = e λt → 0 für t → ∞ (Asymptotische Stabilität von y = 0) .
Definition 3.1.1 (Stabilitätsgebiet eines Einschrittverfahrens).
Das Stabilitätsgebiet eines ESV für das AWP (3.1.1) auf der Grundlage der diskreten Evolution
Ψ h λ y =: S(z)y, y ∈ C, z := λh, S : D S ⊂ C ↦→ C, ist
S Ψ := {z ∈ D S : |S(z)| < 1} ⊂ C .
Beachte: λ ∈ C zugelassen ➢ komplexer Zustandsraum C
(Grund: Diagonalisierungstechnik” für lineare, autonome AWP, Sect. 1.3.2, vgl.
”
Bem. 3.1.5)
☞
Für von RK-ESV zu AWP (3.1.1) erzeugte Gitterfunktion {y k } k∈N auf äquidistantem Zeitgitter
mit Maschenweite h > 0 gilt
Frage: Wann erbt” Lösung {y ” k } ∞ k=0 , y k+1 = Ψ h λ y k (Ψh λ ˆ= diskrete Evolution) aus RK-ESV auf
(unendlichem) äquidistantem Gitter (Maschenweite h) asymptotische Stabilität ?
Frage der Strukturerhaltung: Übereinstimmung von qualitativen Eigenschaften der kontinuierlichen
und diskreten Evolution.
✬
lim y k = 0 ⇔
k→∞
Theorem 3.1.2 (Stabilitätsfunktion von Runge-Kutta-Verfahren).
lim
k→∞ S(hλ)k = 0 ⇔ hλ ∈ S Ψ . (3.1.3)
Ist Ψ h λ
diskrete Evolution zu einem s-stufigen Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1)
✩
Bemerkung 3.1.1 (Reskalierung des Modellproblems).
Da AWP (3.1.1) autonom & skalar ➢ h ↦→ Ψ h λ ist Funktion R ↦→ C. p. 222
3.1
mit Butcher-Schema c A bT (siehe (2.3.4)) für das AWP (3.1.1), dann
Ψ h λ = 1 + zbT (I − zA) −1 1
} {{ }
Stabilitätsfunktion S(z)
✫
= det(I − zA + z1bT )
det(I − zA)
, z := λh , 1 = (1, ...,1) T ∈ R s .
✪
3.1
p. 224

Beweis: Aus den Formeln (→ Def. 2.3.1) für die Inkremente mit f(y) = λy: Diskrete Evolution von
c A
s-stufigem Runge-Kutta-Verfahren (→ Def. 2.3.1)
b T :
k i = λ(y 0 + h
j=1
s∑
y 1 = y 0 + h b i k i
i=1
s∑
a ij k j ) ,
⇒
( )( ) ( )
I − zA 0 k 1
−zb T = y
1 y 0 ,
1 1
wobei k ∈ R s ˆ= Vektor (k 1 , ...,k s ) T /λ der Inkremente, y 1 := Ψ h λ y 0.
Daraus ergibt sich die erste Darstellung von S(z), die zweite folgt aus der Cramerschen Regel.
Falls det(I − zA) = 0:
garantieren.
Schrittweite nicht klein genug, um Lösbarkeit der Inkrementgleichungen zu
Bemerkung 3.1.2 (Interpretation der Stabilitätsfunktion).
Ψ h λ y = S(z)y = (1 + λhbT (I − λhA) −1 1)y
Φ h λ = eλh
Diskrete Evolution (Kontinuierliche) Evolution p. 225
➣ S(z) ≈ exp(z): Stabilitätsfunktion = Approximation der Exponentialfunktion (um 0).
△
3.1
✬
Lemma 3.1.4 (Rationale Approximation der Exponentialfunktion).
Ist S(z) = P(z)
Q(z) , P,Q ∈ P s, s ∈ N, so gilt
✫
S(z) − exp(z) = O(|z| m ) für z → 0 ⇒ m ≤ 2s + 1 .
Beweis: Indirekte Beweisführung, Annahme S(z) − exp(z) = O(|z| 2s+2 ) für z → 0:
Ansatz:
P(z) = p 0 + p 1 z + · · · + p s z s ,
Q(z) = q 0 + q 1 z + · · · + q s z s , q 0 = 1, da O.B.d.A Q(0) = 1 .
Q(z) exp(z) − P(z) = α 2s+2 z 2s+2 + α 2s+3 z 2s+3 + ... (global konvergente Potenzreihe) .
Einsetzen der Exponentialreihe und Multiplikation, dann Koeffizientenvergleich ➢ lineares Gleichungssystem
s∑
j=0
s∑
j=0
Dieses hat nur die triviale Lösung.
q j
1
(i − j)! = 0 , i = s + 1,...,2s + 1 .
q j
1
(i − j)! − p i = 0 , i = 0,...,s .
Beispiel 3.1.3 (Stabilitätsfunktionen einiger RK-ESV).
• Explizites Euler-Verfahren (1.4.2):
0 0
1
➣ S(z) = 1 + z .
✩
✪
✷
3.1
p. 227
✬
✩
Korollar 3.1.3.
Explizite Runge-Kutta-Verfahren ➤ S(z) ∈ P s ,
Allgemeine Runge-Kutta-Verfahren ➤ S(z) = P(z)
Q(z) , P,Q ∈ P s.
✫
Beweis. Aus der Determinantenformel von Thm. 3.1.2:
✪
• Implizites Eulerverfahren (1.4.9):
• Explizite Trapezregel (2.3.2):
1 1
1
0 0 0
1 1 0
1
2 1 2
➣ S(z) = 1
1 − z .
➣ S(z) = 1 + z + 1 2 z2 .
Explizite Runge-Kutta-Verfahren ⇒ A echte untere Dreiecksmatrix ⇒ det(I − zA) = 1
Allgemein ist z ↦→ det(I − zM), M ∈ R s,s , ein Polynom vom Grad s, wie aus der kombinatorischen
Definition der Determinante folgt.
✷
Korollar (3.1.3) ➣ Ordnungsschranken für explizite/implizite RK-ESV, siehe Sect. 2.3.2
3.1
p. 226
• Implizite Mittelpunktsregel (2.2.11): 1
2
1 21 ➣ S(z) = 1 + 1 2 z
1 − 1 2 z .
• RK4-Verfahren (2.3.7):
0 0 0 0 0
1
2 1 2 0 0 0
1
2 0 1 2 0 0
1 0 0 1 0
1
6 2 6 6 2 6
1
➣ S(z) = 1 + z + 1 2 z2 + 1 6 z3 + 1
24 z4 .
3.1
p. 228

Beispiel 3.1.4 (Verhalten von Stabilitätsfunktionen).
✸
3
2
λ
*
Im
1
0
−1
−2
λh ∋
Verhalten von Stabilitätsfunktionen (für reelles Argument z):
Bem. 3.1.2 ➣ wir erwarten, dass sich die Stabilitätsfunktionen in z = 0 an exp(z) “anschmiegen”,
d.h., beiden Funktionen stimmen im Werte und einigen niedrigsten Ableitungen überein. Die
Mindestzahl der übereinstimmenden Ableitungen ist gegeben durch die Konsistenzordnung des Einschrittverfahrens.
Stabilitätsbedingte Schrittweitenbeschränkung
für explizite RK-ESV angewandt
auf (3.1.1):
h < sup{t > 0: tλ ∈ S Ψ } . (3.1.4)
Re(S(z))
60
50
40
30
20
10
exp(z)
Explicit Euler
Classical RK4
Implicit Euler
Gauss−coll.−RK−ESV s=1
Gauss−coll.−RK−ESV s=2
Gauss−coll.−RK−ESV s=3
Gauss−coll.−RK−ESV s=4
Re(S(z))
4
3.5
3
2.5
2
1.5
exp(z)
Explicit Euler
Classical RK4
Implicit Euler
Gauss−coll.−RK−ESV s=1
Gauss−coll.−RK−ESV s=2
Gauss−coll.−RK−ESV s=3
Gauss−coll.−RK−ESV s=4
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
Bemerkung 3.1.5 (RK-ESV für autonome homogene lineare ODE). siehe Sect. 1.3.2
Was ist die Diskrete Evolution eines RK-ESV angewandt auf
homogene, autonome, lineare ODE ẏ = Ay, A ∈ C d,d ?
0
−10
−20
−5 0 5
z
Fig. 81
1
0.5
0
−1 −0.5 0 0.5 1
z
3.1
Fig. 82 p. 229
➀ Annahme: A diagonalisierbar ⇔ ∃S ∈ C d,d regulär: S −1 AS = D := diag(λ 1 , ...,λ d )
Folgerung aus Affin-Kovarianz von RK-ESV (→ Bem. 2.3.4):
3.1
p. 231
✸
Ist ̂Ψ die diskrete Evolution zu d dtŷ = Dŷ (entkoppelte skalare lineare ODE !), dann, mit ŷ := S−1 y,
Beispiele: Stabilitätsgebiete S expliziter RK-ESV:
Im
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
Im
3
2
1
0
−1
−2
Im
3
2
1
0
−1
−2
⎛
Ψ h ⎞ ⎛
Ψ h y = ŜΨ h S −1 λ ŷ
⎜ 1 1
⎟
y = S⎝
. ⎠ = S ⎝ S(hλ ⎞
1)
. . . ⎠ŷ
Ψ h λ ŷ
d d S(hλ d )
⎛
= S⎝ P(hλ ⎞ ⎛ ⎛
1)
. . . ⎠S −1 ⎝S⎝ Q(hλ ⎞ ⎞−1
1)
. .. ⎠S −1 ⎠ y
(
P(hλ d )
Q(hλ d )
= SP(hD)S −1 SQ(hD)S −1) −1
y = P(hA)Q(hA) −1 y = S(hA)y .
−2.5
Fig. 83
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
S Ψ : expliziter Euler (2.2.1)
✗
✖
−3
Fig. 84
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
S Ψ : explizite Trapezregel
Mittelpunktsregel
−3
S Ψ :
Das Stabilitätsgebiet expliziter RK-Verfahren ist beschränkt !
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
Fig. 85
RK4-Verfahren (2.3.7)
Kuttas 3/8-Regel (2.3.8)
✔
✕
wobei S(z) = P(z)/Q(z) ˆ= Stabilitätsfunktion (→ Thm. 3.1.2) des RK-ESV.
➁ Allgemeine Matrix A ∈ C d,d mit Eigenwerten (mit Vielfachheit gezählt) λ 1 , ...,λ d ∈ C
Aus der Schur-Zerlegung für Matrizen folgt, dass die diagonalisierbaren Matrizen in C d,d dicht liegen
(bzgl. der von der Euklidischen Norm induzierten Matrixnorm). Ist σ(hA) ⊂ D S , dann gibt es eine
Folge diagonalisierbarer Matrizen A n → A, n ∈ N, σ(hA n ) ⊂ D S , für die offensichtlich gilt
3.1
p. 230
P(hA n ) → P(hA) , Q(hA n ) → Q(hA) .
3.1
p. 232

Wegen der Stetigkeit der Matrixinversion A ↦→ A −1 auf GL(d) := {M ∈ C d,d : M regulär} folgt
damit
S(hA n ) = P(hA n )Q(hA n ) −1 → P(hA)Q(hA) −1 = S(hA) . (3.1.5)
Ist nun Ψ h n die diskrete Evolution zu ẏ = A ny, so gilt
Ψ h y = lim
n→∞ Ψh ny = ➀ lim
n→∞ S(hA n)y (3.1.5)
= S(hA) .
Für alle oben eingeführten Matrixfunktionen gilt, vgl. 1.3.7,
A = S −1 BS ⇒ f(A) = S −1 f(B)S ∀A,B ∈ C d,d , S ∈ C d,d regulär . (3.1.7)
Für das Spektrum gilt
σ(f(A)) = f(σ(A)) := {f(λ): λ ∈ σ(A)} . (3.1.8)
△
Ψ h y = S(hA)y ∀y ∈ C d . (3.1.6)
3.2 Vererbung asymptotischer Stabilität
Bemerkung 3.1.6 (Funktionenkalkül für Matrizen).
△
Betrachte: Autonomes AWP ẏ = f(y), f ∈ C 1 (D, R d ), D ⊂ R d offen.
Für A ∈ R d,d :
3.1
p. 233
Definition 3.2.1 (Fixpunkt).
y ∗ ist Fixpunkt (stationärer Punkt) von ẏ = f(y), falls f(y ∗ ) = 0.
3.2
p. 235
Klar ist p(A) =
s∑
c j A j
j=1
Für rationale Funktion
s∑
falls q j A j invertierbar.
j=1
∑
für Polynom p ∈ P s , p(z) = s c j z j .
j=1
s∑
p j z j
⎛ ⎞
j=1
s∑
R(z) =
R(A) = ⎝ q s∑
j A ⎠−1 ⎛
j ⎝
q j z j j=1
j=1
∑
Ist f(z) = ∞ a j z j eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ > 0, so ist
i=0
f(A) :=
s∑
j=1
∞∑
a j A j wohldefiniert für ‖A‖ < ρ .
i=0
p j A j ⎞
⎠ ,
So lassen sich transzendente Funktionen von Matrizen, wie etwa die Matrixexponentialfunktion
(1.3.6) definieren.
3.1
p. 234
Definition 3.2.2 (Asymptotische Stabilität eines Fixpunkts).
Fixpunkt y ∗ ∈ D asymptotisch stabil (attraktiv)
:⇔ ∃δ > 0: ‖y 0 − y ∗ ‖ < δ ⇒ R + 0 ⊂ J(y 0) ∧ lim
t→∞ y(t) = y∗ ,
wobei y(t) Lösung des AWP ẏ = f(y), y(0) = y 0 .
L¨soungskurven der ODE
ẏ = −y(1 − y)(1 + y)
y ∗ = 0 ist asymptotisch stabiler (attraktiver) Fixpunkt,
y ∗ = ±1 sind instabile (repulsive) Fixpunkte
(→ Bsp. 1.2.1)
✄
y(t)
2
1.5
1
0.5
−0.5
−1
−1.5
−2
d t
y = −y(1−y)(1+y)
y ∗ y ∗ Fig. 86
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
3.2
p. 236

✬
Theorem 3.2.3 (Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität).
Fixpunkt y ∗ ∈ D ist asymptotisch stabil, falls
σ(Df(y ∗ )) ⊂ C − := {z ∈ C: Re z < 0} .
✫
✩
✪
Mit Hilfe der Jordan-Normalform, siehe oben:
∀β ∈] max{Reλ : λ ∈ σ(Df(0))} , 0[: ∃C = C(β) > 0:
} {{ }
‖exp(Df(0)t)‖ ≤ Ce βt ∀t ∈ R .
0. Dazu gibt es ǫ > 0:
‖r(y)‖ ≤ − β
2C ‖y‖, wenn ‖y‖ < ǫ
✎ Notation: σ(A) := {λ : λ ist Eigenwert von A} ˆ= Spektrum einer Matrix
Hilfsmittel: Matrixexponentialfunktion (1.3.6), Jordan-Normalform von A ∈ C d,d :
∃S ∈ C d,d regulär: S −1 AS = diag(J 1 , ...,J m ) ,
mit Jordan-Blöcken der Form (λ ∈ σ(A))
⎛
⎞
λ 1 0 . .. ... 0
0 λ 1 0 .
J k =
.
⎜
.. . ..
⎟
⎝ λ 1⎠ = λI + N k ∈ C d k,d k, dk ∈ {1, ...,d} .
λ
Annahme: ‖y(t)‖ < ǫ für 0 < t < δ. Damit für 0 ≤ t < δ aus (3.2.1)
∫ t
‖y(t)‖ ≤ Ce βt ‖y 0 ‖ − β 2 e β(t−τ) ‖y(τ)‖ dτ ,
0
∫ t
e |β|t ‖y(t)‖ ≤ C ‖y 0 ‖ + |β|
2 e |β|τ ‖y(τ)‖ dτ
0
Benutze:
Gronwalls Lemma (Lemma 1.3.7) für u(t) := e |β|t ‖y(t)‖
‖y(t)‖ ≤ C ‖y 0 ‖ exp(− |β|
2
Nun sieht man, dass die Annahme ‖y(t)‖ < ǫ erfüllt ist, wenn ‖y 0 ‖ <
t) ∀0 ≤ t < δ . (3.2.2)
ǫ
max{C, 1} .
Unter dieser Bedingung gilt (3.2.2) für alle t ≥ 0 und auch R + 0 ⊂ J(y 0) mit Thm. 1.3.4.
✷
N k ∈ C d k,d k sind nilpotente Matrizen: N
d k = 0 3.2
p. 237
Wegen (1.3.7) genügt es exp(J) für einen generischen Jordan-Block J ∈ C n,n zu betrachten:
∞∑
∞∑ k∑
(
exp(J) = (λI + N) k k
= N
l)
l λ k−l =
Also finden wir
k=0
k=0 l=0
n−1 ∑
l=0
N l
l!
∞∑ λ k−l n−1
(k − l)! = ∑
eλ
k=l
l=0
exp(At) = S exp(Dt)P(t)S −1 , D = diag(λ 1 , ...,λ d ) ,
mit einem Matrixpolynom P vom Grad < d, λ 1 ,...,λ d ˆ= Eigenwerte von A (mit Vielfachheit
gezählt).
Beweis. (von Thm.3.2.3) → [5, Satz 3.30], O.B.d.A. y ∗ = 0
N l
l!
.
✬
✩
Asymptotische Stabilität eines Fixpunktes y ∗ folgt aus der asymptotischen Stabilität des Fixpunktes
y ∗ der um y ∗ linearisierten ODE
ẏ = Df(y ∗ )(y − y ∗ ) . (3.2.3)
✫
✪
Betrachte: (Konsistentes) RK-ESV für autonome ODE ẏ = f(y) (→ Def. 2.3.1)
s∑
s∑
k i := f(y + h a ij k j ) , i = 1, ...,s , Ψ h y := y + h b i k i . (3.2.4)
j=1
i=1
s∑
Hinreichend: b i = 1, Lemma 2.3.2
i=1
3.2
p. 239
Linearisierung, siehe Bem. 1.3.5:
f(y) = Df(0)y + r(y) , ‖r(y)‖ = o(‖y‖) für y → 0 .
y(t) ˆ= Lösung des AWP zu Anfangswert y 0 , t ∈ J(y 0 ). Variation-der-Konstanten-Formel, siehe
Sect. 1.3.2:
∫ t
y(t) = exp(Df(0)t)y 0 + exp(Df(0)(t − τ))r(y(τ)) dτ . (3.2.1)
0
3.2
p. 238
Annahme: h hinreichend klein für Wohldefiniertheit des ESV für y ”
nahe bei” y ∗ , → Lemma. 2.2.1.
Ψ h y ∗ = y ∗ . (3.2.5)
3.2
p. 240

✬
Theorem 3.2.4 (Asymptotische Stabilität von Fixpunkten diskreter dynamischer Systeme).
Sei Π : D ⊂ R d ↦→ R d stetig differenzierbar und Π(y ∗ ) = y ∗ für ein y ∗ ∈ D. Dann gilt
ρ(DΠ(y ∗ )) < 1 ⇒ y ∗ ist asymptotisch stabiler Fixpunkt von y k+1 := Π(y k ) .
✫
✎ Notation: ρ(A) := max{|λ| : λ ∈ σ(A)} ˆ= Spektralradius einer Matrix
✩
✪
Schreibe: K i := D y k i (y ∗ ) ∈ R d,d
s∑
s∑
K i = Df(y ∗ ) · (I + h a ij K j ) , D y (Ψ h (y))(y ∗ ) = I + h b i K i .
i=1
i=1
ˆ= 1. Schritt des RK-ESV für Matrix-AWP Ẏ = Df(y ∗ )Y, Y(0) = I ˆ= Variationsgleichung (1.3.20)
zur konstanten Lösung y(t) = y ∗ . Dann Anwendung von (3.1.6) aus Bem. 3.1.5
✬
✩
Lemma 3.2.5 (Den Spektralradius approximierende Matrixnorm). → [9, Sect. 2.9.3]
Zu jeder Matrix A ∈ C d,d und jedem ǫ > 0 gibt es eine Vektornorm ‖·‖ A,ǫ auf R d so, dass für
die induzierte Matrixnorm gilt
Für RK-ESV: D y (Ψ h (y))(y ∗ ) = S(hDf(y ∗ )) . (3.2.7)
ρ(A) ≤ ‖A‖ A,ǫ ≤ ρ(A) + ǫ .
✬
✩
✫
✪
f(y ∗ ) = 0 ⇒ Ψ h y ∗ = y ∗
Der Beweis stützt sich auf die Schur-Normalform von A
⇓
y(h) ≈ (y 0 − y ∗ )exp(Df(y ∗ )h) + y ∗ ↔ Ψ h y ≈ (y 0 − y ∗ )S(hDf(y ∗ )) + y ∗ p. 243
Beweis von Thm. 3.2.4. Nach Lemma 3.2.5 gibt es eine Norm auf R d so, dass ‖DΠ(y ∗ )z‖ ≤ 1 2 (1 +
ρ(DΠ(y ∗ ))) ‖z‖ ∀z ∈ R d . Also nach Definition der Induzierten Matrixnorm
y k+1 − y ∗ = Π(y k ) − Π(y ∗ ) = DΠ(y ∗ )(y k − y ∗ ) + g(y k − y ∗ ), ‖g(y k − y ∗ )‖ = o(‖y k − y ∗ ‖) . p. 241
3.2
✫
✪
3.2
✬
✩
Wähle δ > 0 so, dass ‖g(y k − y ∗ )‖ ≤ 3 1(1 − ρ(DΠ(y∗ ))) ‖y k − y ∗ ‖, wenn ‖y k − y ∗ ‖ ≤ δ.
( )
‖y k+1 − y ∗ ‖ ≤ 12 (1 + ρ(DΠ(y ∗ ))) + 1 3 (1 − ρ(DΠ(y∗ ))) ‖y k − y ∗ ‖
≤ ( 6 5 + 1 6 ρ(DΠ(y∗ ))) ‖y
} {{ } k − y ∗ ‖ .
< 1
✷
Theorem 3.2.6 (Vererbung asymptotischer Stabilität).
Ein asymptotisch stabiler Fixpunkt y ∗ ∈ D von ẏ = f(y) (→ Def. 3.2.2), ist auch ein solcher
der zugehörigen diskreten Evolution eines RK-ESV mit Stabilitätsgebiet S Ψ , wenn
hσ(Df(y ∗ )) ⊂ S Ψ .
✫
✪
Beweis. Aus (3.2.7) und (3.1.8):
☞ Für diskrete Evolution Ψ h : Untersuche die Jacobi-Matrix D y (Ψ h y) für y = y ∗ !
D y (Ψ h y) für Runge-Kutta-Einschrittverfahren durch implizites Differenzieren der Inkrementgleichungen
(3.2.4):
s∑
s∑
D y k i = Df(y + h a ij k j ) · (I + h a ij D y k j ) ,
Beachte: für y = y ∗ ➢ k i = 0
i=1
D y (Ψ h y) = I + h
i=1
s∑
b i D y k i .
i=1
ρ(D y Φ h (y)) = max{|S(hλ)| : λ ∈ σ(Df(y ∗ ))}
wenn hσ(Df(y ∗ )) ⊂ S Ψ . Dann wende Thm. 3.2.4 an.
★
✧
= max{|S(z)| : z ∈ hσ(Df(y ∗ ))} < 1 ,
Explizite RK-ESV : Schrittweitenbeschränkung für Vererbung
von Stabilität eines Fixpunktes (→ (3.1.4))
✥
✦
✷
D y k i (y ∗ ) = Df(y ∗ ) · (I + h
s∑
a ij D y k j (y ∗ )) .
i=1
3.2
p. 242
Für welche Verfahren entfällt Schrittweitenbeschränkung ?
3.2
p. 244

Definition 3.2.7 (A-stabiles Einschrittverfahren).
ESV A-stabil :⇔ C − := {z ∈ C: Re z < 0} ⊂ S Ψ (S Ψ = Stabilitätsgebiet,
Def. 3.1.1)
Aus Thm. 3.2.6: für A-stabile ESV (mit diskreter Evolution Ψ h )
Autonome Dgl. ẏ = f(y) ,
Fixpunkt f(y ∗ ) = 0
Beispiel 3.2.1 (Einfache A-stabile RK-ESV).
∧
σ(Df(y ∗ )) ⊂ C −
(ˆ= asymp. Stabilität von y ∗ )
⇒
Falls ‖y 0 − y ∗ ‖ < δ,
(
dann lim Ψ h) k
y0 = y ∗ .
k→∞
Im
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
Fig. 88
implizite Mittelpunktsregel (1.4.11)
Stabilitätsfunktion (→ Thm. 3.1.2)
S(z) = 1 + 1 2 z
1 − 1 2 z .
✁ Stabilitätsgebiet S Ψ (→ Def. 3.1.1)
✸
3
3.2
p. 245
3.3 Nichtexpansivität [5, Abschn. 6.3.3]
3.3
Betrachte: Autonomes AWP ẏ = f(y), f ∈ C 1 (D, R d ), D ⊂ R d offen. p. 247
Sei M ∈ R d,d s.p.d. ➣ Norm ‖y‖ M := (y T My) 1/2 auf R d .
Im
2
1
0
−1
−2
Implizites Eulerverfahren (1.4.9)
Stabilitätsfunktion (→ Thm. 3.1.2)
S(z) = 1
1 − z .
✁ Stabilitätsgebiet S Ψ (→ Def. 3.1.1)
Definition 3.3.1 (Nichtexpansivität).
Eine Evolution Φ t zu einer autonomen Dgl. bzw. eine diskrete Evolution Ψ h zu einem zugehörigen
Einschrittverfahren heisst nichtexpansiv, falls
∥
∥Φ t y − Φ t ỹ∥ ≤ ‖y − ỹ‖ M M ,
∥
∥Ψ h y − Ψ h ∀y,ỹ ∈ D ,
ỹ∥ ≤ ‖y − ỹ‖ M M
und für alle t ∈ J(y) ∩ J(ỹ) ∩ R + 0 und alle hinreichend kleinen” h > 0.
”
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
Fig. 87
Beispiel 3.3.1 (Gradientenfluss ➞ ”
Kriechvorgänge”).
C 1 -Potential V : R d ↦→ R konvex (V (ξx + (1 − ξ)y) ≤ ξV (x) + (1 − ξ)V (y), 0 ≤ ξ ≤ 1)
⇒ (gradV (x) − gradV (y)) T (x − y) ≥ 0 ∀x,y ∈ R d .
3.2
p. 246
Dies folgt aus der Monotonie der Ableitung von τ ↦→ V (y + τ(x − y))
3.3
p. 248

✬
✩
40
30
20
10
0
2
1.5
1
0.5
∥
χ(t) := ∥Φ t y − Φ t ỹ∥ 2 2
0
−0.5
−1
−1.5
x
−2
−2
1
x 2 Fig. 89
➣ Nichtexpansivität mit M = I.
Nichtexpansivität einer Evolution:
−1
0
1
2
Gradientenfluss-AWP:
ẏ(t) = −gradV (y(t)) ,
y(0) = y 0 ∈ R d .
(3.3.1)
⇒ ˙χ(t) = −2 (grad V (Φ t y) − gradV (Φ t ỹ)) T (Φ t y − Φ t ỹ) ≤ 0 .
} {{ }
≥0
äquivalente Charakterisierung
✸
3.3
p. 249
Theorem 3.3.4 (Gauss-Kollokations-RK-ESV nichtexpansiv).
Die diskreten Evolutionen zu Gauss-Kollokations-RK-ESV (→ Sect. 2.2.2) erben die Nichtexpansivität
der (exakten) Evolution.
✫
Beweis von Thm. 3.3.4. Betrachte Gauss-Kollokations-ESV mit s Knoten:
y h (t),ŷ h (t) ∈ P s ˆ= Kollokationspolynome zu Anfangswerten y 0 bzw. ỹ 0 , siehe Sect. 2.2.1
Ψ h y 0 = y h (h) , Ψ h ỹ 0 = ỹ h (h) .
d(τ) := ‖y h (τh) − ỹ h (τh)‖ 2 M ist Polynom in τ vom Grad ≤ 2s .
Nichtexpansivität von Ψ h is äquivalent zu
∥ ∫
∥
∥Ψ h y 0 − Ψ h ∥∥ 2
1
∫ 1
ỹ 0 = d(1) = d(0) + d ′ (τ) dτ = ‖y 0 − ỹ 0 ‖ 2
M
M + d ′ (τ) dτ . (3.3.2)
} 0 {{ }
0
!
Ziel ≤ 0
Gauss-Quadratur (mit s Knoten) ist exakt für Polynome ∈ P 2s−1
∫ 1 s∑
d ′ (τ) dτ = b j d ′ (c j ) . (3.3.3)
0
j=1
✪
3.3
p. 251
Definition 3.3.2 (Dissipatives Vektorfeld).
f : D ⊂ R d ↦→ R d dissipativ :⇔ M(f(y) − f(ỹ)) · (y − ỹ) ≤ 0 ∀y,ỹ ∈ D .
Dies ist eine Verallgemeinerung der Eigenschaft ”
monoton fallend” von skalarwertigen Funkionen.
Ableitung aus der Kettenregel:
d ′ (τ) = 2hM(y h (τh) − ỹ h (τh)) · (ẏ h (τh) − ˙ỹ h (τh)) . (3.3.4)
Aus Kollokationsbedingungen (2.2.1):
ẏ h (c j h) = f(y h (c j h)) , ˙ỹh (c j h) = f(ỹ h (c j h)) , j = 1, ...,s .
✬
Lemma 3.3.3 (Bedingung für Nichtexpansivität einer Evolution).
✫
Beweis.
Rechte Seite f dissipativ
⇔ Nichtexpansivität der Evolution
zur autonomen ODE ẏ = f(y)
✩
✪
(3.3.4)
d ′ (c j ) = 2hM(y h (c j h) − ỹ h (c j h)) · (f(y h (c j h)) − f(ỹ h (c j h))) ≤ 0 , (3.3.5)
da f dissipativ ⇔ Nichtexpansivität von Φ t , vgl Lemma 3.3.3.
(3.3.2), (3.3.3), (3.3.5) ⇒ Behauptung, da Gewichte b j der Gauss-Quadraturformeln positiv !. ✷
Nichtexpansivität ⇔ ψ(t) := ‖y(t) − ỹ(t)‖ 2 M monoton fallend
⇔
dψ
dt (t) = M(y(t) − ỹ(t)) · (ẏ(t) − ˙ỹ(t)) ≤ 0
⇔ M(y(t) − ỹ(t)) · (f(y(t)) − f(ỹ(t))) ≤ 0 .
✬
Lemma 3.3.5 (Diskrete Nichtexpansivität ⇒ A-Stabilität).
Nichtexpansivität (→ Def. 3.3.1) erbende RK-ESV (→ Def. 2.3.1) sind A-stabil (→ Def. 3.2.7).
✫
✩
✪
3.3
p. 250
3.3
p. 252

0.4
0.9
0.9
1 1 1
Beweis. Skalare komplexe Dlg. ↔ reelle Dlg. in D = R 2 : für beliebiges λ = α + iβ ∈ C
( ( ) ( (
˙u˙v)
ẏ = λy y=u+iv α −β u u
⇔ =
↔ ẏ = f(y) mit y := .
β α v)
v)
} {{ }
=:A
Re λ < 0 ⇒ α < 0 ⇒ x T Ax = α ‖x‖ 2 ≤ 0 ∀x ∈ R 2
⇒ rechte Seite f(y) = Ay ist dissipativ (→ Def. 3.3.2)
⇒ Evolution nichtexpansiv, siehe Lemma 3.3.3.
(“Vererbung”)
⇒
Diskrete Evolution Ψ h nichtexpansiv
∥
∥Ψ h y∥ = |S(hλ)||y| ≤ ‖y‖ 2 2 = |y| ⇒ |S(z)| ≤ 1 ∀z ∈ C − .
Logistische Differentialgleichung ẏ = f(y),
f(y) = λy(1 − y) → (2.2.12), λ = 50, Anfangswert
y 0 = 10 −4 , Zeitintervall [0, 1].
Kollokations-Einschrittverfahren (→ Abschnitt
2.2) auf äquidistantem Gitter,
h = 20 1 . y(t)
0.2
s=1
s=2
s=3
s=4
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y
1
0.8
0.6
0.4
t
Fig. 93
✸
⇒ C − ⊂ S Ψ (Stabilitätsgebiet → Def. 3.1.1) . ✷
Bemerkung 3.3.4 (A-Stabilität ⇏ Diskrete Nichtexpansivität ).
Gegenbeispiel:
implizite Trapezregel, Einschrittverfahren für ẏ = f(t,y) definiert durch
✓
✒
Alle Gaus-Kollokations-ESV sind A-stabil
Bemerkung 3.3.2 (Lösbarkeit der Inkrementgleichungen für Gauss-Kollokations-ESV).
✏
✑
3.3
p. 253
y 1 = y 0 + 1 2 h(f(t,y 0) + f(t + h,y 1 )) ↔
angewandt auf skalare autonome ODE ẏ =
{
−y 3 für y < 0 ,
−y 2 für y ≥ 0 .
Butcher-Schema
0 0 0
1 1/2 1/2
1/2 1/2
→ Übungsaufgabe
3.3
p. 255
Die Inkrementgleichungen eines Gauss-Kollokations-RK-ESV für eine nichtexpansive
autonome ODE sind für jedes h > 0 eindeutig lösbar →[15, Sect. IV.14].
△
△
Bemerkung 3.3.5 (B-Stabiliät).
Stabilitätsgebiete von Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren:
Im
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
0.4
0.7
0.7
0.4
0.4
0.7
0.7
0.9
0.9
1 1 1
1.1
−6 −4 −2 0 2 4 6
Re
1.1
1.1
1.5
1.5
1.5
1.5
Fig. 90
Implizite Mittelpunktsregel
Vermutung (Beweis später):
Im
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
0.7
0.4
0.7
0.4
0.9
0.7
0.4
0.7
0.9
1.1
−20 −10 0 10 20
Re
s = 2 (Ordnung 4)
1.5
1.1
1.1
1.5
1.5
1.5
Fig. 91
Im
50
40
30
20
10
0
−10
−20
−30
−40
0.4
0.4
0.7
0.7
0.4
0.4
0.9
0.7
0.9
0.7
−50
−60 −40 −20 0 20 40
Fig. 9260
Re
s = 4 (Ordnung 8)
Niveaulinien von |S(z)| für Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren
S Ψ = C −
Beispiel 3.3.3 (Gauss-Kollokationsverfahren für logistische Differentialgleichung). → Bsp. 3.0.11, 3.3
1.4.9 p. 254
1 1 1
0.9 1.5 1.1
1.1
1.1
1.5
1.5
1.5
1.5
Einschrittverfahren, die die Nichtexpansivität der Evolution zu einer ODE erben, heissen auch B-stabil
[15, Sect. IV.12].
Ein algebraisches Kriterium für B-Stabilität:
Definition 3.3.6 (Algebraische Stabilität).
Ein Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1) mit Butcher-Schema c A bT , siehe (2.3.4),
ist algebraisch stabil, falls
(i) b i ≥ 0, i = 1, ...,s,
(ii) und die Matrix M := diag(b 1 ,...,b s )A −A T diag(b 1 , ...,b s ) −bb T positiv semi-definit
ist.
△
3.3
p. 256

✬
Theorem 3.3.7 (Kriterium für B-Stabilität).
Algebraische Stabilität ⇒ B-Stabilität
✫
✩
✪
Beispiel 3.4.2 (Implizite RK-ESV bei schnellen Transienten). → Bsp. 3.5.3
AWP: ẏ = −λy + β sin(2πt) , λ = 10 6 , β = 10 6 , y(0) = 1 .
RK-ESV, äquidistantes Gitter auf [0, 1], h = 1
40 :
3.4 Gleichmässige Stabilität
Re(S(z))
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
exp(z)
Impliziter Euler
Gauss−Koll.−RK−ESV s=1
Gauss−Koll.−RK−ESV s=2
Gauss−Koll.−RK−ESV s=3
Gauss−Koll.−RK−ESV s=4
y
4
3
2
1
0
y(t)
Impliziter Euler
Kollokations RK−ESV s=1
Kollokations RK−ESV s=2
Kollokations RK−ESV s=3
Kollokations RK−ESV s=4
Beispiel 3.4.1 (Gauss-Kollokations-ESV bei stark attraktiven Fixpunkten). → Bsp. 3.5.1
−0.4
−0.6
−1
−0.8
−2
−1
−1000 −800 −600 −400 −200 0
z
Fig. 95
Stabilitätsfunktionen für Re z ≪ 1
−3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 96
Diskrete Evolutionen (Zeitverlauf)
3.4
p. 257
➣ Ungenügende Dämpfung der Anfangsstörung bei Kollokations-RK-ESV !
(Oszillationen für ungerades s ➞ vgl. Stabilitätsfunktionen, lim
Rez→−∞ S(z) = (−1)s )
3.4
p. 259
ODE mit stark attraktivem Fixpunkt y = 1:
ẏ = λy 2 (1 − y) ,
λ = 500 , y(0) = 1
100 .
Qualitatives Verhalten von
Gauss-Kollokations-ESV (→ Abschnitt 2.2)
auf äquidistantem Gitter
✄
y
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Äquidistantes Gitter, h=0.016667
y(t)
Gauss−Koll., s= 1
Gauss−Koll., s= 2
➣ Explizites Euler-Verfahren (1.4.2): sofortige Relaxation der diskreten Lösung !
Klar, denn
lim S(z) = 0 für explizites Euler-Verfahren.
Rez→−∞
✸
Sect. 3.1: Stabilitätsfunktion S(z) ←→ exp(z)
➣
Falsche Oszillationen bei Gauss-Kollokations-ESV niedriger Ordnung
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 94
Erklärung: Für Gauss-Kollokations-ESV gilt S(z) ≈ ±1 für |z| → ∞, so dass der Fixpunkt der diskreten
Evolution zwar anziehend bleibt, aber die diskrete Lösung (im Gegensatz zur kontinuierlichen)
nur noch langsam (und oszillatorisch für ungerades s) gegen ihn konvergiert.
Weitere Demonstration → Bsp. 3.4.2
Utopie (für RK-ESV): S(−∞) = 0 , S(∞) = ∞
(von keiner rationalen Funktion erfüllbar !)
Bescheidener Wunsch (bei stark attrativen Fixpunkten, schnellen Relaxationen): S(−∞) = 0
Definition 3.4.1 (L-Stabilität).
ESV L-stabil :⇔ {z ∈ C: Re z < 0} ⊂ S Ψ & lim
Rez→−∞ |S(z)| = 0
✸
3.4
p. 258
Kurz: L-stabil :⇔ A-stabil & ”
S(−∞) = 0” p. 260
3.4

Wie findet man L-stabile RK-ESV ?
Existenz ist zu fordern
Thm. 3.1.2 ⇒ S(−∞) = 1 − b T A −1 1 . (3.4.1)
Falls b T = a
T·,j (Zeile von A) ⇒ S(−∞) = 0 . (3.4.2)
charakterisiert steif-genaue (engl. stiffly accurate) RK-ESV
Bemerkung 3.4.3 (Invertierbarkeit der Koeffizientenmatrix von RK-ESV).
Für jedes Kollokationsverfahren (→ Sect. 2.2.1) ist die Koeffizientenmatrix (Butcher-Matrix) A nichtsingulär
Beweis. Es sei x ∈ R s mit Ax = 0
(2.2.3)
⇒
s∑
a ij x j =
j=1
s∑ ∫ i
x j L j (τ) dτ = 0 , i = 1,...,s ,
0c
j=1
mit den Lagrange-Polynomen L i ∈ P s−1 aus (2.2.2).
s∑
q := x j L j
j=1
erfüllt:
∫ c i
c i−1
q(τ) dτ = 0 , i = 1, ...,s (c 0 := 0) .
⇒ q ∈ P s−1 hat s Nullstellen in [0, 1] ⇒ q = 0 ⇒ x = 0. ✷ △
3.4
p. 261
order of quadrature rule
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
Nodes for Gauss−Radau quadrature rules
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
node position x
Knoten: Radau-Quadraturformeln
Fig. 97
size of weight
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Weights for Gauss−Radau quadrature rules
order = 3
order = 5
order = 7
order = 9
order = 11
order = 13
order = 15
order = 17
order = 19
order = 21
order = 23
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
node position x
Gewichte: Radau-Quadraturformeln
Implizite s-stufige L-stabile Radau-ESV, Konvergenzordnung 2s − 1 (→ Thm. 2.2.8)
4− √ 6 88−7 √ 6 296−169 √ 6 −2+3 √ 6
1 5
1 1
3 12 −12
1
10 360 1800 225
1
1 3 4+ √ 6 296+169 √ 6 88+7 √ 6 −2−3 √ 6
1
10 1800 360 225
4 4
16− √ 6 16+ √ 6
3 1
1
1
4 4
36 36 9
16− √ 6 16+ √ 6 1
36 36 9 3.4
Implizites Euler-ESV Radau-ESV, Ordnung 3 Radau-ESV, Ordnung 5 p. 263
Fig. 98
Butcher-Schema (2.3.4) für konsistente
(→ Lemma 2.3.2), L-stabile RK-ESV,
siehe Def. 3.4.1
✄
c A
b T :=
Idee: Wähle c s = 1 im Kollokations-RK-ESV (2.2.3)
c 1 a 11 · · · a 1s
. .
.
c s−1 a s−1,1 · · · a s−1,s .
b 1 · · · b s
1 b 1 · · · b s
Wähle c 1 ,...,c s−1 als Knoten einer Quadraturformel maximaler Ordnung.
(➞ Gauss-Radau-Quadratur, Ordnung 2s − 1)
Stabilitätsfunktion s-stufiger Radau-Kollokations-
RK-ESVs:
S(z) = P(z)
Q(z) , P ∈ P s−1, Q ∈ P s .
Vorsicht: Auch ”
S(∞) = 0”
Re(S(z))
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
exp(z)
RADAU, s=2
RADAU, s=3
RADAU, s=4
RADAU, s=5
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
z
Niveaus der Stabilitätsfunktionen von s-stufigen Radau-Kollokations-RK-ESVs:
3.4
p. 262
3.4
p. 264

1
1.5
−2 0 2 4 6 8 10
0.7
1.5
1
0.4
Im
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
0.4
0.4
0.7
1.1
0.9
0.7
0.9
1.1
1
1.5
Re
1
1.5
0.4
0.4
1.1
0.7
0.9
0.7
0.4
0.4
Im
20
15
10
5
0
−5
−10
0.4
0.9
0.4
1
1.1
1
1.1
−20
−15
−20
−30
0 5 10 15 20
Re
s = 2
s = 3
s = 4
Beispiel 3.4.4 (Radau-ESV bei stark attraktiven Fixpunkten). → Bsp. 3.4.1
0.9
0.7
1.5
0.4
0.7
1.5
0.9
1.1
0.4
1
1.1
1
0.9
0.7
0.4
0.4
Im
30
20
10
0.1
0
−10
0.4
0.9
0.7
1.1
1.5
1.1
0.4
1.5
1
0.7
0.4
0.9
0.9
0.7
1
1.1
1.5
0 5 10 15 20 25 30
Re
1.5
1.1
0.4
1
0.7
0.9
0.4
0.7
✬
Theorem 3.4.2 (Radau-ESV nichtexpansiv).
Die diskreten Evolutionen zu Radau-ESV erben die Nichtexpansivität der (exakten) Evolution.
✫
Beweis. Erweiterung des Beweises zu Thm. 3.3.4. Mit den dortigen Notationen und Fehlerdarstellungsformel
für Gauss-Radau-Quadraturformeln
∫ 1 s∑
d ′ (τ) dτ = b j d ′ (c j ) − R mit R = c(s)d (2s) (ξ) , 0 ≤ ξ ≤ 1 ,
0
j=1
wobei c(s) > 0. Formeln (3.3.4) und (3.3.5) bleiben gültig, so dass die Behauptung von Thm. 3.4.2
gezeigt ist, sobald R ≥ 0 sichergestellt ist:
∑2s
d(τ) = δ j τ j ⇒ d (2s) (τ) = (2s)!δ 2s ,
j=0
d(τ) ≥ 0 ⇒
lim d(τ) ≥ 0 ⇒ δ 2s ≥ 0 .
|τ|→∞
Beachte: Auch die Gewichte von Gauss-Radau-Quadraturformeln sind positiv, siehe Fig. 98.
✷
✩
✪
AWP für ODE mit stark attraktivem Fixpunkt y = 1,
Bsp. 3.4.1
ẏ = λy 2 (1 − y) ,
λ = 500 , y(0) = 1
100 .
y
1.4
1.2
1
0.8
0.6
Äquidistantes Gitter, h=0.016667
y(t)
RADAU, s= 1
RADAU, s= 2
3.4
p. 265
3.5 Steifheit
Konzept 3.5.1 (Steifes Anfangswertproblem).
Radau-ESV sind A-stabil (→ Def. 3.2.7)
Ein AWP heisst steif (engl. stiff), falls für explizite RK-ESV (→ Def. 2.1.2) Stabilität eine wesentlich
kleinere Schrittweite verlangt als die Genauigkeitsanforderungen.
3.5
p. 267
Qualitatives Verhalten von Radau-ESV auf
äquidistantem Gitter
✄
➣
Diskrete Evolution strebt schnell dem stabilen Zustand zu
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 99
Beispiel 3.5.1 (Adaptive explizite RK-ESV für steifes Problem). → Sect. 2.6
ẏ(t) = λy 2 (1 − y) , λ = 500 , y(0) = 1
100 .
MATLAB-CODE : Adaptives ESV für steifes Problem
fun = @(t,x) 500*xˆ2*(1-x); tspan = [0 1]; y0 = 0.01;
options = odeset(’reltol’,0.1,’abstol’,0.001,’stats’,’on’);
[t,y] = ode45(fun,tspan,y0,options);
plot(t,y,’r+’);
✸
Wie für Gauss-Kollokations-RK-ESV, siehe Thm. 3.3.4:
3.4
p. 266
3.5
p. 268

y
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
y(t)
ode45
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 100
y(t)
1.5
1
0.5
0.03
0.02
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 101
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.01
➣ Schrittweitensteuerung realisiert Schrittweitenbeschränkung ! → Bsp. 2.6.4
(186 successful steps, 55 failed attempts, 1447 function evaluations)
y = 1 stark attraktiver Fixpunkt ➣
Extreme Schrittweitenbeschränkung für
expliziten Integrator ode45
Beachte: die Schrittweitensteuerung erkennt Stabilitätsprobleme und reduziert die Schrittweite entsprechend
! → Bsp. 2.6.4
Zeitschrittweite
✸
3.5
p. 269
fun = @(t,y) ([-k1*y(1)*y(2) + k2*y(3) - k3*y(1)*y(3) + k4*y(4);
-k1*y(1)*y(2) + k2*y(3);
k1*y(1)*y(2) - k2*y(3) - k3*y(1)*y(3) + k4*y(4);
k3*y(1)*y(3) - k4*y(4)]);
tspan = [0 1];
y0 = [1;1;10;0];
options = odeset(’reltol’,0.1,’abstol’,0.001,’stats’,’on’);
[t,y] = ode45(fun,[0 1],y0,options);
concentrations
12
10
8
6
4
2
0
Chemical reaction: concentrations
c A
(t)
c C
(t)
c A,k
, ode45
c C,k
, ode45
−2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 102
Beispiel 3.5.3 (Steife Schaltkreisgleichungen im Zeitbereich).
c C
(t)
10
9
8
7
6
5
4
Chemical reaction: stepsize
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1
x 10 −5
7
6
5
4
3
2
timestep
Fig. 103 p. 271
✸
3.5
Welche Anfangswertprobleme sind steif ?
☞
ODE-Modelle für Systeme mit schnell relaxierenden Komponenten
(mit stark unterschiedlichen Zeitkonstanten)
Schaltkreisanalyse im Zeitbereich:
Bauelementgleichungen (i ˆ= Strom, u ˆ= Spannung):
R
u(t)
Beispiel 3.5.2 (Steife Probleme in der chemischen Reaktionskinetik). → Sect. 1.2.2
Reaktion:
k 2
k 4
A + B
←−
−→ C , , A + C
←−
−→ D (3.5.1)
k1 k3
Stark unterschiedliche Reaktionsgeschwindigkeiten: k 1 , k 2 ≫ k 3 , k 4
• Widerstand: i(t) = R −1 u(t)
• Kondensator: i(t) = C ˙u(t)
Dgl. aus Knotenanalyse:
C ˙u(t) = −R −1 u(t) + I(t) .
C
I(t)
Falls c A (0) > c B (0) ➢
2. Reaktion kontrolliert Langzeitdynamik
Konkret: C = 1pF , R = 1kΩ, I(t) = sin(2π 1Hz t)mA, u(0) = 0V
Skalierte (dimensionslose) Dgl. : ˙u(t) = −10 9 u(t) + 10 9 sin(2πt) ⇒ u(t) ≈ sin(2πt) .
Numerisches Experiment, MATLAB, t 0 = 0, T = 1, k 1 = 10 4 , k 2 = 10 3 , k 3 = 10, k 4 = 1
ˆ= ODE aus Bsp. 3.4.2
MATLAB-CODE : Explizite Integration steifer chemischer Reaktionsgleichungen
3.5
p. 270
Im Fall der nichtautonomen Dgl. ẏ = −λy + g(t), λ ≫ 1, sind wird mit einem “zeitlich variierenden”
stark attraktiven Fixpunkt y ∗ (t) = λ −1 g(t) konfrontiert. Auch dieser führt zu Steifheit gemäss
Konzept 3.5.1.
3.5
p. 272

✸
Abschnitt 3.4 ➣ Wir wissen was zu tun ist !
1.5
ode45 for attractive limit cycle
x 10 −4
8
2
ode23s for attractive limit cycle
0.02
1
7
1
0.015
Steife AWP
➤
(Geeignete) implizite RK-ESV (→ Def. 2.1.2) sind zu verwenden !
0.5
6
d.h. L-stabil (→ Def. 3.4.1)
y i
(t)
0
5
timestep
y i
(t)
0
0.01
timestep
−0.5
4
Beispiel 3.5.4 (Attraktiver Grenzzyklus). vgl. Bsp. 1.2.6
−1
y 1,k
y 2,k
Fig. 105
−1.5
0 1 2 3 4 5 6 7
t
0 1 2 3 4 5 6 7 2 3
ode45: 3794 Schritte (λ = 1000)
−1
y 1,k
y 2,k
Fig. 106
−2
0 1 2 3 4 5 6 7
t
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.005
ode23s: 432 Schritte (λ = 1000)
3.5
p. 273
3.5
p. 275
2
1
ode45 for rigid motion
0.2
1.5
Autonome Dgl. ẏ = f(y)
( )
0 −1
f(y) := y + λ(1 − ‖y‖
1 0
2 )y ,
auf Zustandsraum D = R 2 \ {0}.
Lösungstrajektorien (λ = 10) ✄
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
Fig. 104
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
y i
(t)
0
y 1,k
−1
0 1 2 3 4 5 6 7
t
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1
timestep
✁ λ = 0 ˆ= Drehbewegung, siehe Bsp. 1.4.7
ode45 erzielt gute Genauigkeit trotz (relativ)
grosser Schrittweite.
Nichtsteifes Problem!
y 2,k
✸
☞ Falls ‖y 0 ‖ = 1 ⇒ ‖y(t)‖ = 1 ∀t
☞ “Grenzzyklus auf Einheitskreis”: ‖y(t)‖ → 1 für t → ∞.
Adaptive MATLAB-Integratoren für steife Probleme: (Schrittweitensteuerung wie in Abschnitt 2.6)
MATLAB-CODE Integration von Evolution mit Grenzzyklus
fun = @(t,y) ([-y(2);y(1)] + lambda*(1-y(1)ˆ2-y(2)ˆ2)*y);
tspan = [0,2*pi]; y0 = [1,0];
opts = odeset(’stats’,’on’,’reltol’,1E-4,’abstol’,1E-4);
[t45,y45] = ode45(fun,tspan,y0,opts);
3.5
[t23,y23] = ode23s(fun,tspan,y0,opts); p. 274
opts = odeset(’abstol’,atol,’reltol’,rtol,’Jacobian’,@J)
[t,y] = ode15s/ode23s(odefun,tspan,y0,opts);
Beispiel 3.5.5 (Adaptives semi-implizites RK-ESV für steifes Problem). → Bsp. 3.5.1, 3.4.1
ẏ(t) = λy 2 (1 − y) , λ = 500 , y(0) = 100 1 . 3.5
p. 276

MATLAB-CODE : Semi-Implizites ESV für steifes Problem
lambda = 500; tspan = [0 1]; y0 = 0.01;
fun = @(t,x) lambda*xˆ2*(1-x);
Jac = @(t,x) lambda*(2*x*(1-x)-xˆ2);
o = odeset(’reltol’,0.1,’abstol’,0.001,’stats’,’on’,’Jacobian’,Jac);
[t,y] = ode23s(fun,[0 1],y0,o);
Implizites Euler-Verfahren (1.4.9) mit uniformem
Zeitschritt h = 1/n,
n ∈ {5, 8, 11, 17, 25, 38, 57, 85, 128, 192, 288,
, 432, 649, 973, 1460, 2189, 3284, 4926, 7389}.
10 −1
Logistic ODE, y 0
= 0.100000, λ = 5.000000
Statistik:
20 successful steps 4 failed attempts 70 function
evaluations
& näherungsweise Berechnung von y k+1
durch 1 Newton-Schritt mit Startwert y k
error
10 −2
10 −3
1.4
1.2
1
y(t)
ode23s
2
0.1
= semi-implizites Euler-Verfahren
Fehlermass err = max
j=1,...,n |y j − y(t j )|
10 0 h
10 −4
implicit Euler
semi−implicit Euler
O(h)
10 −5
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 109
y
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 107
y(t)
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 108
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.05
Zeitschrittweite
➤ Effizientes Verfahren (vgl. Bsp. 3.5.1): Keine Schrittweitenbeschränkung für y ≈ 1
3.6 Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren [5, Sect. 6.4]
✸
3.6
p. 277
Logistic ODE, y 0
= 0.100000, λ = 5.000000
10 0 h
3.6
p. 279
Inkrementgleichungen (2.2.3) für s-stufige implizite RK-ESV
=
Nichtlineares Gleichungssystem der Dimension s · d
Beispiel 3.6.1 (Linearisierung der Inkrementgleichungen).
Anfangswertproblem für logistische Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.2.1
ẏ = λy(1 − y) , y(0) = 0.1 , λ = 5 .
Implizite Mittelpunktsregel (1.4.11) mit uniformem
Zeitschritt h = 1/n (wie oben)
& näherungsweise Berechnung von y k+1
durch 1 Newton-Schritt mit Startwert y k
Fehlermass err = max
j=1,...,n |y j − y(t j )|
error
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
implicit midpoint rule
semi−implicit m.p.r.
O(h 2 )
10 −10
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 110 ✸
?Idee: Implizite RK-ESV mit linearisierten Inkrementgleichungen (2.2.3)
⎛ ⎞
s∑
k i = f(y 0 ) + hDf(y 0 ) ⎝ a ij k j
⎠ , i = 1,...,s . (3.6.1)
j=1
(3.6.1) ˆ= LGS der Dimension s · d: (s ˆ= Anzahl der Stufen, A ∈ R s,s ˆ= Koeffizientenmatrix aus
3.6
p. 278
3.6
p. 280

Butcher-Schema (2.3.4))
⎛
(I s·d − hA ⊗ Df(y 0 )) ⎝ k ⎞ ⎛
1
. ⎠ = ⎝ 1 ⎞
. ⎠ ⊗ f(y 0 ) ,
k s 1
mit Kronecker-Produkt: für A ∈ R m,n , B ∈ R k,l
⎛
A ⊗ B := ⎝ a ⎞
11B · · · a 1n B
.
. ⎠ ∈ R m·k,n·l .
a m,1 B · · · a m,n B
MATLAB-Kommando kron(A,B).
Betrachte:
diagonal-implizite RK-ESV (DIRK)
⇕
A untere Dreiecksmatrix
(A regulär ⇔ a jj ≠ 0)
c A
b T :=
Gestaffeltes (nichtlineares) Gleichungssystem für Inkremente
c 1 a 11 0 · · · 0
c 2 a 21 a 22 0 0
. . . .. ... .
. . ... ... . .
. . ... 0
c s a s1 · · · a ss
b 1 · · · · · · b s
(autonomer Fall)
(3.6.3)
✗
✖
Linearisierung folgenlos bei linearen ODE ➢ Stabilitätsfunktion (→ Def. 3.1.2) unverändert
Beispiel 3.6.2 (Implizite RK-ESV mit linearisierten Inkrementgleichungen).
Anfangswertproblem für logistische Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.2.1
✔
✕
Allgemeine Inkrementgleichungen für s-stufiges DIRK-Verfahren:
k i = f(y 0 + h
i∑
s∑
a ij k j ) , y 1 = y 0 + h b i k i .
j=1
i. Inkrementgleichung: Umformulierung als Problem der Nullstellensuche von
i=1
ẏ = λy(1 − y) , y(0) = 0.1 , λ = 5 .
3.6
p. 281
∑i−1
F(k) := k − f(y 0 + z + a ii k) = 0 , z = h a ij k j .
j=1
3.6
p. 283
2-stufiges Radau-ESV, Butcher Schema
1 5
3 12 − 12
1
1 3 1
4 4
3 1
4 4
, (3.6.2)
Ordnung 3, siehe Sect. 3.4.
Inkremente aus linearisierten Gleichungen
(3.6.1)
Fehlermass err = max
j=1,...,n |y j − y(t j )|
error
Logistic ODE, y 0
= 0.100000, λ = 5.000000
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
RADAU (s=2)
10 −12
semi−implicit RADAU
O(h 3 )
O(h 2 )
10 −14
10 −4 10 −3 10 −2 h
10 −1 10 0
Fig. 111
10 0
Ein Newton-Schritt mit Startwert k (0)
i
:
DF(k) = I − Df(y 0 + z + a ii k)ha ii .
k (1)
i = k (0)
i − (I − Df(y 0 + z + a ii k)ha ii ) −1 ·
Vereinfachung, vgl. Bem. 2.3.7: Benutze Jacobi-Matrix an der Stelle y 0
Newton-Verfahren:
Allgemeiner Ansatz für Startnäherung:
(
k (0)
i − f(y 0 + z + a ii k (0) )
i )
Ansatz Startnäherung (für k i ): k (0) ∑i−1
d ij
i = k
a j . (3.6.4)
j=1 ii
Ordnungsverlust durch Linearisierung !
✸
∑i−1
∑i−1
(I − ha ii J)k i =f(y 0 + h (a ij + d ij )k j ) − hJ d ij k j , (3.6.5)
)
(a ij + d ij )k j . (3.6.6)
j=1
j=1
J :=Df ( ∑i−1
y 0 + h
j=1
3.6
p. 284
” Rettung” der Ordnung durch bessere Startnäherung für (einen) Newtonschritt ? 3.6
p. 282

Vereinfachtes Newton-Verfahen ( eingefrorene” Jacobi-Matrix)
”
s∑
Wie bei Standard-RK-ESV (→ Def. 2.3.1): y 1 = y 0 + h b i k i . (3.6.7)
i=1
Nächster Schritt: Bestimme Koeffizienten a ij , d ij in (3.6.5) (und b i ), so dass sie Ordnungsbedingungsgleichungen
genügen
(analog zur Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren in Sect. 2.3)
Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren (Rosenbrock-Wanner(ROW)-Methoden)
Beispiel 3.6.3 (Bedingungsgleichungen für Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung).
Hamiltonsche ODE (1.2.11) für mathematisches
Pendel für 0 ≤ t ≤ T := 50, Anfangswerte
α(0) = π/4, p(0) = 0
Implizite Mittelpunktsregel (1.4.11)/semiimplizite
Mittelpunktsregel (→ Bsp. 3.6.1) auf
uniformem Zeitgitter h = T/300,
Beobachtet: Zeitverhalten der Energien →
Bsp. 1.4.6
p
3
2
1
0
−1
−2
exact solution
implicit midpoint
semi−implicit m.r.
300 timesteps on [0,50.000000]
−3
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0
α
0.8 1
Fig. 112
Aus der Neumannschen Reihe für Matrizen: für h > 0 “hinreichend klein”
∞∑
(I − ha ii J) −1 = (ha ii J) k = I + ha ii J + O(h 2 ) . (3.6.8)
k=0
Einsetzen in (3.6.5) + Taylor-Entwicklung von f um y 0 + rekursives Einsetzen, vgl. Bsp. 2.3.9:
(
k i = I + ha ii J + O(h )) ⎛ ⎞
2 ∑i−1
⎝f(y 0 ) + hJ (a ij + d ij )k j + O(h 2 ∑i−1
) − hJ d ij k j
⎠
j=1
j=1
3.6
p. 285
3.6
p. 287
= f(y 0 ) + ha ii Jf(y 0 ) + hJf(y 0 ) (i−1 ∑ )
a ij + O(h 2 ) .
j=1
3
2.5
Energies for implicit midpoint discrete evolution
4.5
4
3.5
Energies for semi−implicit midpoint discrete evolution
(3.6.7)
⇒
y 1 = y 0 + h ( ∑ s )
b i f(y0 ) + h 2( s∑ ∑i−1
b i a ij
)Jf(y 0 ) + O(h 3 ) .
i=1
i=1
j−1
Dabei wurde benutzt: J = Df(y 0 ). Dann Vergleich mit Taylorentwicklung (2.3.15) ➣ Bedingungsgleichungen
(2.3.18), (2.3.19) (gleich wie für Standard-Rk-ESV !).
Beispiel 3.6.4 (Energieerhaltung bei semi-impliziter Mittelpunktsregel).
✸
energy
2
1.5
1
0.5
kinetic energy
potential energy
total energy
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
time t
Fig. 113
energy
3
2.5
2
1.5
1
0.5
kinetic energy
potential energy
total energy
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
time t
Fig. 114
✗
✖
Energiedrift bei semi-impliziter Mittelpunktsregel
✔
✕
✸
3.7 Exponentielle Integratoren [21, 24]
3.6
p. 286
Betrachte: Autonomes AWP ẏ = f(y), f : D ⊂ R d ↦→ R d stetig differenzierbar p. 288
3.7

Idee:
” Absubtrahieren” der Lösung der um y 0 linearisierten ODE
ẏ = Jy + g(y) , g(y) := f(y) − Jy , (3.7.1)
mit J := Df(y 0 )
Bemerkung 3.7.1 (Stabilitätsgebiet des exponentiellen Euler-Verfahrens).
Erinnerung: Analyse des linearen Modellproblems, Sect. 3.1 ➣ Stabilitätsgebiet S Ψ ⊂ C →
Def. 3.1.1
Variation der Konstanten (→ Sect. 1.3.2) angewandt auf (3.7.1)
∫ h
y(h) = exp(Jh)y 0 + exp(J(h − τ))g(y(τ)) dτ . (3.7.2)
0
Beachte: exponentielles Euler-Verfahren ist exakt für AWP zur ODE ẏ = Ay + g mit konstantem
A ∈ R d,d , g ∈ R d .
(Ideale !) Stabilitätsfunktion: S(z) = exp(z) ➤ (ideales) Stabilitätsgebiet S Ψ = C − △
exp ˆ= Matrixexponentialfunktion, definiert durch
∞∑ 1
“Matrixexponentialreihe”: exp(M) =
k! Mk .
k=0
! Auswertung der Matrixexponentialreihe ist kein stabiler numerischer Algorithmus (Auslöschung !)
Beispiel 3.7.2 (Exponentielles Euler-Verfahren).
Alternativen:
☞ Pade-Approximation von t ↦→ e t (nach Skalieren der Matrix, ”
scaling and squaring”)
3.7
p. 289
3.7
p. 291
Logistic ODE, y 0
= 0.100000, λ = 5.000000
☞ Schur-Zerlegung (siehe MATLAB-Kommando schur)
M = Q T (D + U)Q mit Diagonalmatrix
D, echter oberer Dreiecksmatrix U, orthogonaler Matrix Q. Anschliessend Auswertung der
abgeschnittenen Matrixexponentialreihe für D + U & (1.3.7)
MATLAB-Funktion expm, Algorithmus → [17]
error
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
• Anfangswertproblem für
logistische Differentialgleichung, λ = 5, T = 1,
siehe Bsp. 1.2.1
• Exponentielles Euler-Verfahren (3.7.3) mit
uniformen Zeitschrittweiten h
10 0 h
Numerische Quadratur des Faltungsintegrals ➢ Diskretisierung von (3.7.2) ➢ ESV
10 −5
exponential Euler
10 −6
explicit Euler
O(h)
O(h 2 )
10 −7
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1
Fig. 115
• Fehlermass err = max
j=1,...,n |y j − y(t j )|
Algebraische Konvergenz der Ordnung 2 !
Einfachste Wahl:
∫ h
∫ h
exp(J(h − τ))g(y(τ)) dτ ≈ exp(J(h − τ)) dτ · g(y 0 ) = hϕ(Jh) · g(y 0 )
0
0
mit ϕ(z) = exp(z) − 1
z
exponentielles Euler-Verfahren (auf Zeitgitter {t k }, h k := t k+1 − t k )
.
Konsistenzordnung 2 (→ DEf. 2.1.9) wird bestätigt durch Taylorentwicklung (→ Bsp. 2.1.3) unter
Verwendung von ϕ(z) = 1 + 1 2 z + O(|z|2 ) und (??).
✸
y k+1 = y k + h k ϕ(h k J)f(y k ) , k = 0, ...,N , J := Df(y k ) . (3.7.3)
3.7
p. 290
Beispiel 3.7.3 (Exponentielles Euler-Verfahren für steifes AWP).
3.7
p. 292

• Steifes AWP → Bsp. 3.5.1, 3.4.1, 3.5.5:
ẏ(t) = λy 2 (1 − y) ,
λ = 500 , y(0) = 1
100 .
1.4
1.2
1
0.8
exponential Euler, h=0.012500
Bemerkung 3.7.4. Herausforderung:
effiziente/genaue Berechnung von exp(c i hJ)
Krylov-Unterraummethoden für grosse, dünnbesetzte J → [19]
△
y
• Exponentielles Euler-Verfahren (3.7.3) mit uniformen
Zeitschrittweiten h = 1 80
Qualitativ richtiges Verhalten
0.6
0.4
0.2
exact solution y(t)
exponential Euler
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 116 ✸
3.8 Differentiell-Algebraische Anfangswertprobleme
Verallgemeinerung: Exponentielle Runge-Kutta-Verfahren: mit J := Df(y k )
Semi-implizites Euler-Verfahren Exponentielles Euler-Verfahren
y k+1 = y k + (I − hJ) −1 hf(y k ) y k+1 = y k + ϕ(hJ)hf(y k )
3.8.1 Grundbegriffe
Beispiel 3.8.1 (Knotenanalyse eines Schaltkreises). → Bsp. 3.5.3
☞ Ersetze: (I − γhJ) −1 → ϕ(γhJ) in linear-impliziten RK-ESV (3.6.5)
Definition 3.7.1 (Exponentielle Runge-Kutta-Verfahren).
Für b i ,a ij , d ij ∈ R, i,j = 1,...,s, s ∈ N, definiert
k i :=ϕ(a ii hJ) ( ∑i−1
)
f(u i ) + hJ d ij k j , i = 1, ...,s ,
j=1
∑i−1
u i :=y 0 + h (a ij + d ij )k j , i = 1,...,s ,
j=1
s∑
Ψ h y 0 :=y 0 + h b i k i .
i=1
ein s-stufiges exponentielles Runge-Kutta-Einschrittverfahren für die autonome ODE ẏ = f(y).
Dabei ist J := Df(y 0 ).
Wie in Sect. 2.3:
Gewünschte Konsistenzordnung
➢ Bestimmungsgleichungen [21]
➢ Koeffizienten b i , a ij ,c ij , c i
3.7
p. 293
ẏ = Ay + g, A ∈ R d,d , g ∈ R d 3.7
Zusatzbedingung: Exakte Integration von linearen Dgl.
p. 294
u 0 (t)
Vorgegeben:
Knotengleichungen (Kirchoffsche Regel):
R 1
➊: 0 = I D + I R1 − I C ,
C
➋: 0 = I C − I R2 .
➊ ➋ Bauelementgleichungen:
Diode
I
R D = I D (u 1 ) = I 0 (exp(K(u 0 − u 1 )) − 1) ,
2
I C = C( ˙u 1 − ˙u 2 ) ,
I R1 = R1 −1 (u 0 − u 1 ) ,
I R2 = R2 −1 u 2 .
Zeitabhängige Eingangsspannung u 0 = u 0 (t)
➊ ➣ 0 = I D (u 1 ) + R1 −1 0 − u 1 ) − C( ˙u 1 − ˙u 2 ) ,
➋ ➣ 0 = C( ˙u 1 − ˙u 2 ) − R2 −1 2 − u 0 ) .
( )( ) (
C −C ˙u1 ID (u
= 1 ) + R1 −1 (u )
0 − u 1 )
−C C ˙u2 −R2 −1 u 2
(3.8.1)
3.8
p. 295
Singuläre Matrix ! ➥ (3.8.1) ist Differentiell-Algebraische Gleichung (DAE) p. 296
3.8

Beachte:
(
1 0
1 1
)(
C −C
−C C
) ( )
1 1
=
0 1
( )
C 0
.
0 0
Transformation von (3.8.1): y 1 := u 1 − u 2 , y 2 := u 2
( )( )( ) ( ) (
C 0 1 −1 ˙u1 C 0
=
)(ẏ1 I
= D (u 1 ) + R1 −1 (u )
0 − u 1 )
0 0 0 1 ˙u2 0 0 ẏ2 I D (u 1 ) + R1 −1 (u 0 − u 1 ) − R2 −1 u 2
(
I
= D (y 1 + y 2 ) + R1 −1 (u )
0 − y 1 − y 2 )
I D (y 1 + y 2 ) + R1 −1 (u 0 − y 1 − y 2 ) − R2 −1 y .
2
Algebraische Nebenbedingung
c(y 1 ,y 2 ) := I D (y 1 + y 2 ) + R1 −1 (u 0 − y 1 − y 2 ) − R2 −1 y 2 = 0 .
Beachte: ∀y 1 : y 2 ↦→ c(y 1 , y 2 ) monoton fallend, lim
y 2 →∞ c(y 1, y 2 ) = −∞, lim
y 2 →−∞ c(y 1, y 2 ) = ∞
⇒ Nebenbedingung ist auflösbar nach y 2 = u 2 : ∃ Funktion G : R ↦→ R so, dass y 1 = G(y 1 )
Einsetzen ODE für y 1 !
Gegeben: ”
Rechte Seiten” d : D 1 × D 2 ⊂ R p × R q ↦→ R p ,
c : D 1 × D 2 ⊂ R p × R q ↦→ R q hinreichend glatt, p,q ∈ N, u 0 ∈ D 1 , v 0 ∈ D 2
☞
Separiertes differentiell-algebraisches Anfangswertproblem (DAE):
˙u = d(u,v) ,
0 = c(u,v)
Bemerkung 3.8.2 (DAE: Transformation auf separierte Form).
Die Form (3.8.1) einer DAE ist immer in (3.8.2) transformierbar:
,
rank(M) = r ⇒ ∃T,S ∈ R d,d regulär: TMS =
Algebraische Nebenbedingung (engl. constraint)
u(0) = u 0 ,
v(0) = v 0
, c(u 0 ,v 0 ) = 0 . (3.8.2)
Konsistente Anfangswerte erforderlich !
( )
I 0
, I ∈ R
0 0
r,r .
△
Cy˙
1 = I D (y 1 + G(y 1 )) + R1 −1 (u 0 − y 1 − G(y 1 )) .
➣ Existenz & Eindeutigkeit von Lösungen, siehe Sect. 1.3.1.
✸
3.8
p. 297
✬
Annahme 3.8.1. Partielle Ableitung (Jacobi-Matrix) D v c(u,v) der Nebenbedingungen ist regulär
entlang von Lösungskurven t ↦→ (u(t),v(t)) T .
✩
3.8
p. 299
Gegeben: Rechte Seite f : D ⊂ R d ↦→ R d ,
singuläre Matrix M ∈ R d,d
☞
Autonomes (lineares) differentiell-algebraisches Anfangswertproblem (DAE):
✫
Lokale Auflösbarkeit: v = G(u): (3.8.2) ⇒ ˙u = d(u,G(u)) ˆ= (1.1.6).
✪
Mẏ = f(y) , y(0) = y 0 .
Beachte: (3.8.1) impliziert algebraische Nebenbedingung f(y(t)) ∈ Im(M)
(Konsistente Anfangswerte erforderlich: f(y 0 ) ∈ Im(M) !)
✎ Notation: Im(M) := {Mx:x ∈ R d } ˆ= Bild der Matrix M
Definition 3.8.2 (DAE vom Index 1).
Annahme (3.8.1) erfüllt ➣ DAE-AWP (3.8.2) hat (Differenzierbarkeits)index 1
Bemerkung 3.8.3. Allgemeine Diskussion des Indexbegriffes (Index > 1, Störungsindex, etc.) bei
DAE: [15, Kap. VII]
△
In Bsp. 3.8.1: Transformationen ➣ Reduktion auf spezielle Form:
Erweiterung von Def. 1.1.1 ➣ Lösungsbegriff für (3.8.1)
(Diffizil: Allgemeine Existenz & Eindeutigkeit von Lösungen, siehe [5, Sect. 2.6])
3.8
p. 298
3.8.2 Runge-Kutta-Verfahren für Index-1-DAEs
Betrachte: differentiell-algebraisches Anfangswertproblem (3.8.2) unter Annahme 3.8.1 p. 300
3.8

Idee:
➀ Betrachte AWPs für Dgl.
Singuläre Störungstechnik (engl. ǫ-embedding)
˙u = d(u,v)
ǫ ˙v = c(u,v) , ǫ > 0.
˙u = g(u,v)
➁ Formuliere RK-ESV für
˙v = 1 , ǫ > 0.
ǫc(u,v) ➂ Macht Verfahren noch Sinn ǫ = 0 ? Wenn ja →
Beispiel 3.8.4 (Singulär gestörte Schaltkreisgleichungen).
Schaltkreis aus Bsp. 3.8.1 mit parasitärer Kapazität
(durchflossen vom Strom I p )
Knotengleichungen (Kirchoffsche Regel):
➊: 0 = I D + I R1 + I p − I C ,
➋: 0 = I C − I R2 .
Zusätzliche Bauelementgleichung:
u 0 (t)
R 1
C
➊ ➋
R 2
Diode
C p
Fig. 117
☞ Steifheit des singulär gestörten Problems, siehe Bsp. 3.5.4.
Quantitative Analyse: Betrachte den Fall u 0 (t) ≡ 0 ➣ Stationärer Punkt: u 1 = 0, u 2 = 0
Jacobi-Matrix im stationären Punkt
Df(0) = C −1 p
➣ C p → 0 ⇒ λ min (Df(0)) → −∞
✗
✖
( ) (−I0 1 1 K − R −1
1 1 + C p
C
1 0
0 −R −1
2
DAEs = ”
∞-steife Anfangswertprobleme”
)
✔
✕
✸
u 2
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
I p = C p ( ˙u 0 − ˙u 1 ) .
(
C+Cp −C
−C C
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0
u 1
0.8 1
Fig. 118
) ( ) (
˙u1 ID (u
= 1 ) + R −1
˙u2
Reguläre Matrix für C p > 0
Constraint manifold
✁
1 (u 0 − u 1 ) + C p ˙u 0
−R −1
2 u 2
)
(3.8.3)
Richtungsfeld der singulär gestörten Schaltkreisgleichung
für u 0 (t) ≡ 0
(Skalierte Grössen R = 1, C = 1, I 0 = 10 −4 ,
K = 10, C p = 10 −3 )
Aus dem Richtungsfeld liest man ab: schnelle Relaxation in Richtung auf die Mannigfaltigkeit beschrieben
durch die algebraische Nebenbedingung der DAE (3.8.1)
u 2 = R 2 (I D (u 1 ) + R −1
1 )(u 0 − u 1 ) .
3.8
p. 301
3.8
p. 302
Formale Rechnung: Singuläre Störungstechnik für Runge-Kutta-Einschrittverfahren mit
Butcher-Schema c A b T : 3.8
p. 303
Def. 2.3.1: s-stufiger Runge-Kutta-Schritt für ẏ = f(y), Stufenform, siehe Bem. 2.3.2:
∑
k i = f(y 0 + h s a ij k j )
j=1 k i =f(g i )
∑
y 1 = y 0 + h s ⇔
b i k i
i=1
{ ˙u = d(u,v)
˙v = 1 ǫ c(u,v)
ǫ → 0 ⇒
∑
g i = y 0 + h s a ij f(g j )
j=1
∑
y 1 = y 0 + h s , i = 1, ...,s .
b i f(g i )
i=1
⎧⎪ ⎨ g u ∑
i = u 0 + h s a ij d(gj u,gv j )
j=1
⎪ ⎩ ǫgi v ∑
= ǫv 0 + h s , i = 1, ...,s
a ij c(gj u,gv j )
j=1
⎧
∑
⎪⎨ u 1 = u 0 + h s b i d(gi u,gv i )
i=1
⎪⎩ v 1 = v 0 + 1 ǫ h ∑ s b i c(gi u,gv i )
i=1
s∑
a ij c(gj u ,gv j ) = 0, i = 1,...,s ⇒ c(gu j ,gv j ) = 0
j=1
Annahme: Koeffizientenmatrix A := (a ij ) s i,j=1 regulär 3.8
p. 304

➀ Falls Nebenbedingung nach v auflösbar (→ Index 1, Def. 3.8.2)
Dies kann den Schritt v 0 ↦→ v 1 ersetzen.
➁
c(u 1 ,v 1 ) = 0 ⇒ v 1 = G(u 1 ) .
Im allgemeinen Fall, formal, mit A −1 = (ǎ ij ) s i,j=1
1
s∑
ǫ hc(gu i ,gv i ) = ǎ ij (gj v − v 0)
j=1
s∑ s∑
s∑
⇒ v 1 = v 0 + b i ǎ ij (gj v − v 0) = (1 − b T A −1 ( ∑ s )
1) v
} {{ } 0 + b i ǎ ij g
v
j .
i=1 j=1
= S(−∞) j=1 i=1
Beachte: c(u 1 ,v 1 ) ist hier nicht garantiert !
Aus Formel (3.4.1) für Stabilitätsfunktion S
Notwendig (für Lösbarkeit der Imkrementgleichungen, Def. 2.3.1):
DAE ”
∞-steif” ➣ Notwendig: A-Stabilität → Def. 3.2.7,
Wünschenswert: L-stabilität → Def. 3.4.1
Wiederum: Einsichten durch Modellproblemanalyse, vgl. Sect. 3.1:
Modellproblem:
˙u = vf(u) ,
0 = 1 − v
Heuristik: ESV tauglich für Modellproblem ↔
implizites Verfahren
˙u = vf(u) ,
0 < ǫ ≪ 1 .
ǫ ˙v = 1 − v
Singulär gestörte Dgl.
ESV tauglich für singulär gestörtes Problem
∀ǫ ≈ 0
ESV muss für AWP ˙v = ǫ −1 (1 − v), v(0) = 1, 0 < ǫ ≪ 1, Folge {v k } ∞ k=0
mit lim v k = 1
k→∞
liefern !
Erwünscht: S(−∞) = 0 für Stabilitätsfunktion (→ Thm. 3.1.2) S(z) des ESV.
Spezialfall: Wenn RK-ESV steif-genau, also b T = aT·,s (Zeile von A), vgl. hinreichende Bedingung
(3.4.2) für L-Stabilität
⇒ v 1 = gs v ⇒ c(u 1 ,v 1 ) = 0
3.8
p. 305
✬
✩
3.8
p. 307
Bemerkung 3.8.5 (RK-ESV und Elimination der DAE-Nebenbedingungen).
Index-1 DAE (→ Def. 3.8.2) ↔ ODE ˙u = d(u,G(u))
steif-genaues RK-ESV gemäss (3.4.2) für diese ODE:
☞
s∑
gi u = u 0 + h a ij d(gj u ,G(gu j )) , i = 1,...,s , u 1 = gs
u
j=1
⇕
⎧
s∑
⎪⎨ gi u = u 0 + h a ij d(gj u ,gv j )
j=1
, i = 1,...,s , u 1 = gs u .
⎪⎩
0 = c(gi u ,gv i )
Ein “kommutierendes Diagramm”
Steif-genaues RK-ESV für
˙u = d(u,v)
0 = c(u,v)
= Steif-genaues RK-ESV für ˙u = d(u,G(u))
△
Theorem 3.8.3 (Konvergenz impliziter RK-ESV für Index-1-DAEs). → [15, Thm. 1.1,
Sect. VI.1]
Es seien d, c hinreichend glatt, das Anfangswertproblem (3.8.2) eindeutig lösbar
und Annahme 3.8.1 erfüllt (→ Index-1-DAE, siehe Def. 3.8.2). Das s-stufige
Runge-Kutte-Einschrittverfahren mit Butcher-Tableau c A bT , siehe (2.3.4), sei steif-genau, d.h.
A ist regulär und b i = a s,i , i = 1, ...,s, und sei konsistent von der Ordnung p.
Dann ist das Verfahren angewandt auf (3.8.2) für hinreichend kleine Zeitschrittweite h wohldefiniert
und es gilt
✫
‖u k − u(t k )‖ = O(h p ) , ‖v k − v(t k )‖ = O(h p ) ,
auf jedem endlichen Integrationszeitintervall [0, T].
Beweisskizze: Auflösen von (3.8.2) nach der algebraischen Variablen v und Einsetzen ➣ ODE
Anwendung des RK-ESV auf die resultierende ODE liefert genau die gleiche diskrete Evolution fuer
u wie das Verfahren für die DAE (“kommutierendes Diagramm”), vgl. Bem. 3.8.5.
✪
Welche Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Sect. 2.3)
3.8
eignen sich für die singuläre Störungstechnik ? p. 306
Numerische Integration von Index-1-DAEs mit Radau-ESV → Sect. 3.4
3.8
p. 308

Bemerkung 3.8.6. Radau-ESV auch geeignet für Index-1-DAEs (!) in der Form (3.8.1) Mẏ = f(y)
△
Bemerkung 3.8.7 (MATLAB-Integratoren für Index-1-DAEs).
MATLAB-CODE : Lösung einer Index-1-DAE
f = @(t,y) [ ... ];
J = @(t,y) [ ... ];
M = @(t,y) [ ... ];
opts = odeset(’Mass’,M,’Jacobian’,J);
[t,y] = ode15s(f,tspan,y0,opts);
MATLAB-Code zur Lösung allgemeiner
DAEs
Funktion f
Jacobi-Matrix D y f
M(t,y)ẏ = f(t,y) .
x 2
0
Zwangskraft F z
g
Mathematisches Pendel (Aufhängung in 0)
x 1
Zwangskraft (Zug des Stabs) hält Pendelmasse
mg
F z (x) = −λx . (3.8.5)
(x = (x 1 ,x 2 ) T ˆ= Position der Masse)
Fig. 121
auf der Kreisbahn
( 0
F z (x) − mg ⊥ x . (3.8.4)
1)
Zwangskraft in Richtung des Stabes:
Alternativer Integrator: ode23t (gleicher Aufruf)
Matrix(funktion) M(t,y)
Bewegungsgleichungen in Deskriptorform: (↔ Minimalkoordinaten in Bsp. 1.2.7)
( 0
mẍ = −λx − mg , x
1)
2 1 + x2 2 = l2 . (3.8.6)
(Beachte: Alle MATLAB DAE-Integratoren benutzen adaptive Schrittweitensteuerung, vgl. Sect. 2.6)
△
Lagrange-Multiplikator ➣ Zwangskraft Zwangsbedingung
Beispiel 3.8.8 (Lösung der Schaltkreis-DAEs mit MATLAB).
DAE (3.8.1) mit C = 1, R 2 = 1, R 1 = 1000, K = 10, I 0 = 10−4 p. 309
MATLAB-Integratoren ode23t, ode15s, default Toleranzen
voltages
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
ode15s: Circuit DAE
u 0
(t)
u 1
(t)
u 2
(t)
voltages
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
ode23t: Circuit DAE
u 0
(t)
u 1
(t)
u 2
(t)
3.8
(3.8.6) ˆ= 2. Ordnung ➣ Umwandlung in separierte DAE (3.8.2) 1. Ordnung:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ẋ 1 p 1
(3.8.6) ➢ m ⎜ ẋ2
⎟
⎝ ṗ1 ⎠ = ⎜ p 2
⎟
⎝ −λx 1 ⎠ , x2 1 + x2 2 = l2 . (3.8.7)
ṗ2 −λx 2 − g
(3.8.7) ist DAE vom Index > 1 !
Differenzieren der Zwangsbedingung x 1 p 1 + x 2 p 2 = 0 , (3.8.8)
Nochmaliges Differenzieren (p 2 1 + p2 2 ) − λ(x2 1 + x2 2 ) − gx 2 = 0 . (3.8.9)
3.8
p. 311
−1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
time t
Fig. 119
t i
−1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
time t
t i
Fig. 120 ✸
• (3.8.8), (3.8.9) ˆ= versteckte Nebenbedingungen (von den Anfangswerten zu erfüllen !)
3.8.3 DAEs mit höherem Index
• Erst nach zweimaligem Differenzieren der Nebenbedingung können wir die daraus resultierende
Nebenbedingung (3.8.9) nach λ auflösen ➥ (3.8.7) hat Index 3
Beispiel 3.8.9 (Pendelgleichung in Deskriptorform). → Bsp. 1.2.7
3.8
p. 310
✸
3.8
p. 312

Bemerkung 3.8.10 (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen mit Nebenbedingungen).
△
Betrachte:
Mechanisches System mit Hamilton-Funktion (→ Def. 1.2.2) H = H(p,q)
(q ∈ R n ˆ= Konfigurationsvariable, p ∈ R n ˆ= Impulsvariable, siehe Sect. 1.2.4)
Zwangsbedingungen für Konfigurationen:
c(q(t)) = 0 ∀t ≥ 0, c : R n ↦→ R m , m < n
Beispiel 3.8.11 (MATLAB-Integratoren für Pendelgleichung in Deskriptorform).
MATLAB ode15s/ode23t angewandt auf (3.8.7):
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen mit Zwangsbedingungen
Falls m = 1 ➣
˙q = ∂H
∂p (p,q)
ṗ = − ∂H
∂q (p,q) − Dc(q)T λ
0 = c(q) .
Lagrange-Multiplikator λ : R ↦→ R m
c(q) = 0 beschreibt n − 1-dimensionale Mannigfaltigkeit im R n
grad c(q) ˆ= Normalenvektor auf diese Mannigfaltigkeit
λgrad c(q) ˆ= Zwangskraft orthogonal zur Mannigfaltigkeit, vgl. (3.8.4)
(3.8.10)
3.8
p. 313
??? Error using ==> funfun/private/daeic12 at 77
This DAE appears to be of index greater than 1.
Error in ==> ode15s at 394
[y,yp,f0,dfdy,nFE,nPD,Jfac] = daeic12(odeFcn,odeArgs,...)
Idee:
MATLAB”, probiere Nebenbedingung (3.8.9)
ӆberliste
⎛ ⎞ ⎛
⎞
1 0 0 0 0
y 3
0 1 0 0 0
Mẏ = f(y): M =
⎜0 0 1 0 0
⎟
⎝0 0 0 1 0⎠ , f(y) = y 4
⎜
−y 5 y 1
⎟
⎝ −y 5 y 2 − g ⎠ .
0 0 0 0 0
−y 5 (y1 2 + y2 2 ) − gy 2 + (y3 2 + y2 4 )
l = 1, g = 9.8, Zeitspanne [0, 50], Löser: ode15s mit default-Toleranzen
Konsistente Anfangswerte x 1 (0) = −x 2 (0) = 1 2√
2, p1 (0) = p 2 (0) = 0 (→ λ(0)) p. 315
3.8
Häufiger Spezialfall:
mit M ˆ= s.p.d. Massenmatrix, U ˆ= Potential,
0.8
0.6
x 1
x 2
1.5
H(p,q) = 1 2 pT M −1 p + U(q) (3.8.11)
0.4
1
kinetische Energie
potentielle Energie
0.2
0.5
(3.8.10) ⇒ ˙q = M −1 p , ˙q = −grad U(q) − Dc(q) T λ , c(q) = 0 .
position
0
−0.2
constraint (length)
v \dot x
energy (scaled)
0
−0.4
−0.6
−0.5
➢ Versteckte Nebenbedingungen ↔ (3.8.8), (3.8.9)
−0.8
0 =Dc(q) ∂H (p,q) , (3.8.12)
∂p
0 = ∂ (
Dc(q) ∂H ) ( )
∂H
∂q ∂p (p,q) ∂p (p,q) − H ∂H
Dc(q)∂2 ∂q 2 ∂q (p,q) + Dc(q)T λ . (3.8.13)
−1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
time t
−1
Fig. 122 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
time t
Fig. 123
✸
Beispiel 3.8.12 (Implizites Euler-Verfahren für Pendelgleichung in Deskriptorform).
Für H der Form (3.8.11):
∂ 2 H
∂q 2 = M−1
(invertierbare Matrix)
AWP für Pendel-DAE (3.8.7) wie in Bsp. 3.8.11, Endzeitpunkt T = 5
➣ (3.8.13) nach λ auflösbar, wenn Dc(q) T injektiv ⇔ Dc(q) hat vollen Rang (entlang der
Lösungstrajektorie): Zwangsbedingungen unabhängig.
3.8
p. 314
Implizites Eulerverfahren (1-stufiges Radau-ESV)
3.8
p. 316

Formale Anwendung eines Rückwärtsdifferenzenquotienten (→ Bem. 1.4.4) auf die Hamiltonsche
Bewegunggleichung mit Zwangsbedingungen (3.8.10): berechne (q 1 ,p 1 ,λ 1 ) aus (q 0 ,p 0 ,λ 0 )
gemäss
q 1 = q 0 + h ∂H
∂p (p 1,q 1 )
p 1 = p 0 − h ∂H
∂q (p 1,q 1 ) − hDc(q 1 ) T λ 1
0 = c(q 1 ) .
Konkret für Pendelgleichung in Deskriptorform (3.8.7), q ↔ x, H(p,q) = 1 2 ‖p‖2 + gx 2 :
x 1 = x 0 + hp 1 ,
( ( 0
p 1 = p 0 − h λx 1 + ,
g))
0 = ‖x 1 ‖ 2 2 − l2 .
Sect. 3.8.2:
Singuläre Störungstechnik für Runge-Kutte-Einschrittverfahren
Anwendung auf autonome DAE (Index > 1!)
ẏ = f(y,λ) ,
0 = c(y) .
(3.8.14)
(f : D × R q ↦→ R d , D ⊂ R d , c : D ↦→ R q , Annahme: Konsistente Anfangswerte
y 0 , λ 0 zur Zeit t = 0)
Zu (3.8.14) gehörendes singulär gestörtes Problem
für ǫ → 0.
ẏ = f(y, λ) ,
ǫ ˙λ = c(y) ,
Sect. 3.8.2 ➣ Betrachte steif-genaue RK-ESV
3.8
p. 317
Formale Rechnung: Singuläre Störungstechnik für Runge-Kutta-Einschrittverfahren mit
3.8
p. 319
maximal errors
timestep h
10 0
10 −1
x 1
10 −2
x 2
v 1
v 2
λ
O(h)
10 −3
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1
Fig. 124
10 1
✁ Fehler in Lösungskomponenten
(diskrete Maximumnorm) für
100, 200, 400, 1600, 3200, 6400, 12800 implizite
Euler-Schritte
( ”
Exakte Lösung berechnet mit
impliziter Mittelpunktsregel angewandt auf Minimalkoordinatenform,
siehe Bsp. 1.4.11)
Man beobachtet algebraische Konvergenz erster Ordnung in allen Lösungskomponenten !
Butcher-Schema c A b T , b i = a s,i , i = 1,...,s :
{ ẏ = f(y,λ)
˙λ = 1 ǫ c(y)
ǫ → 0 ⇒
∑
⎧⎪ ⎨ g i = y 0 + h s a ij f(g j ,gj λ)
j=1
⎪ ⎩ ǫgi λ ∑
= ǫλ 0 + h s , i = 1,...,s
a ij c(g j )
j=1
⎧
∑
⎪⎨ y 1 := y 0 + h s a s,i f(g i ,gi λ) = g s
i=1
⎪⎩ v 1 := v 0 + 1 ǫ h ∑ s a s,i c(g i ,gi λ) = gλ s
i=1
s∑
a ij c(g j ) = 0, i = 1, ...,s ⇒ c(g j ) = 0
j=1
3.8
p. 318
Koeffizientenmatrix A := (a ij ) s i,j=1 regulär 3.8
RK-ESV steif-genau ⇒
p. 320
✸

➣ Stufengleichungen (→ Bem. 2.3.2) für steif-genaues RK-ESV für (3.8.14)
⎧
⎨ ∑
g i = y 0 + h s a ij f(g j ,gj λ)
j=1 , i = 1, ...,s , y
⎩
1 = g s . (3.8.15)
0 = c(g i )
Konvergenztheorie für (3.8.15) im Fall von DAEs mit Index 2:
[15, Sect. VII.4]
△
Beachte:
(3.8.15) ˆ= implizite Gleichung für Stufen g i ,g λ i
(s(d + q) Unbekannte)
Für s-stufig Radau-ESV: y h (t) konvergiert mit Ordnung 2s − 1, λ h (t) mit Ordnung s.
λ 0 wird nicht benötigt!
Bemerkung 3.8.13 (Implementierung steif-genauer RK-ESV für DAE).
Formal: Stufengleichungen eines RK-ESV für allgemeine autonome DAE Mẏ = f(y), M ∈ R d,d
singulär
Mg i = My 0 + h
s∑
a ij f(g j ) , i = 1, ...,s .
j=1
⇕
⎛
M(g 1 − y 0 ) − h s ⎞
∑
a 1j f(g j )
⎛
j=1
F(g) = 0 , F(g) =
.
, g = ⎝ g ⎞
1
. ⎠ . (3.8.16)
⎜
⎝
∑
M(g s − y 0 ) − h s ⎟
a sj f(g j )
⎠ g s
j=1
3.8
p. 321
3.8
p. 323
(steif-genau !)
y 1 = g s
MATLAB-CODE : steif-genaues RK-ESV für DAE
function y1 = rksadaestep(rhs,M,y0,h,A)
d = length(y0);
s = size(A,1);
F = @(gv) stagefn(gv,y,h,fun,A,M);
[dgv,r,flg] = fsolve(F,zeros(s*d,1));
if (flg

4.1 Polynomiale Invarianten
Erinnerung an Def. 1.2.1 & (1.2.4): Konzept und Eigenschaften von Invarianten/ersten Integralen
Beispiele: Massenerhaltung → Sect. 1.2.2, Energieerhaltung → Lemma 1.2.3, Längenerhaltung
Bsp. 1.4.7
MATLAB-CODE : Berechnung des Präzession einer Magnetnadel
h = [-1;-1;-1]; tspan = [0 10000]; y0 = [0.5*sqrt(2);0;0.5*sqrt(2)];
fun = @(t,x) cross(x,h);
Jac = @(t,x) [0 h(3) -h(2); -h(3) 0 h(1); h(2) -h(1) 0];
options = odeset(’reltol’,0.001,’abstol’,1e-4,’stats’,’on’);
[t45,y45] = ode45(fun,tspan,y0,options);
options = odeset(’reltol’,0.001,’abstol’,1e-4,’stats’,’on’,’Jacobian’,Jac);
[t23,y23] = ode23s(fun,tspan,y0,options);
Betrachte: AWP für autonome ODE ẏ = f(y) auf Zustandsraum D ⊂ R d
t ↦→ y(t) ˆ= Lösung zum Anfangswert y 0 ∈ D
Erinnerung: erstes Integral I : D ↦→ R erfüllt I(y(t)) = const für jede Lösung y(t) (→ Def. 1.2.1)
ode45: 24537 successful steps, 7432 failed attempts, 191815 function evaluations
ode23s: 93447 successful steps, 4632 failed attempts, 289607 function evaluations
1.1
1.05
ode45
oed23s
(1.2.4): I ist erstes Integral von ẏ = f(y) ⇔ gradI(y) · f(y) = 0 für alle y ∈ D.
lineares erstes Integral : I(y) = b T y + c mit b ∈ R d , c ∈ R
quadratisches erstes Integral : I(y) = 1 2 yT Ay + b T y + c mit A ∈ R d,d , b ∈ R d , c ∈ R
Definition 4.1.1 (Polynomiale Invarianten).
Ein erstes Integral I(y) ist polynomial vom Grad n, n ∈ N, wenn
∑
I(y) = β α y α , β α ∈ R (Multivariates Polynom) .
α∈N d 0 , |α|≤n
4.1
p. 325
y 3
1
0.5
0
−0.5
1
0.5
0
y 1
−0.5
1
0.5
y(t)
ode45
ode23s
y 2
0
−0.5
Fig. 125
➣ Keine Erhaltung von ‖y(t)‖ über lange Zeiten
Einschrittverfahren auf äquidistanten Zeitgittern (qualitatives Verhalten):
Laenge |y(t)|
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0 2000 4000 6000 8000 10000
t
1.05
1
4.1
Fig. 126 p. 327
✎ Multiindexnotation: α = (α 1 ,...,α d ) ∈ N d 0 , |α| = ∑ i α i, y α := y α 1
1 · · · · · · · yα d
d
1
0.95
0.9
Beispiel 4.1.1 (Präzession einer Magnetnadel).
y : R ↦→ R 3 = Trajektorie der Spitze einer Magnetnadel (im äusseren Feld h) ➣ Bewegungsgleichung
⎛
ẏ = y × h , Kreuzprodukt y × h = ⎝ y ⎞
2h 3 − y 3 h 2
y 3 h 1 − y 1 h 3 ⎠ ⊥y
y 1 h 2 − y 2 h 1 ∥
Quadratische Invarianten:
∥y (m) (t) ∥ = const , m ∈ N 0
0.5
0
−0.5
1
0.5
0
y 3
−0.5
1
y(t)
RK4 method
Gauss−Koll., s=2
RADAU, s=3
0.5
0
−0.5
Fig. 127
|y(t)|
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
RK4 method
0.6 Gauss−Koll., s=2
RADAU, s=3
0.55
0 200 400 600 800 1000
t
Fig. 128
Anfangswert: y 0 = ( 1 2√
2, 0, 1, 1
2
√
2) T
4.1
p. 326
4.1
p. 328

|y(t)xh|
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
△
✁ Erhaltung aller quadratischer Invarianten nur
durch das Gauss-Kollokationsverfahren.
Aus Kollokationsbedingungen (4.1.1) und (1.2.4)
d ′ (τ) = hgrad I(y h (τ)) · ẏ h (τh) ⇒
Da d(0) = I(y 0 ), d(1) = I(y 1 ) folgt die Behauptung.
Nachtrag zu Sect. 3.3:
d ′ (c i ) = hgradI(y h (c i h)) · f(y h (c i h)) = 0 .
} {{ }
=0
✷
0.4 RK4 method
Gauss−Koll., s=2
RADAU, s=3
0.2
0 200 400 600 800 1000
t
Fig. 129
✸
✬
Theorem 4.1.4 (Stabilitätsgebiet von Gauss-Kollokations-ESV).
Für Gauss-Kollokations-ESV gilt:
S Ψ = C −
✩
✬
✩
✫
✪
Theorem 4.1.2 (Erhaltung linearer Invarianten).
Alle Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1) erhalten lineare erste Integrale.
✫
✪
Beweis.
➊ Wende RK-ESV an auf ODE ẏ = Ay mit A T = −A (schiefsymmetrische Matrix)
Beweis. Lineare Invariante I(y) = b T y + c, b ∈ R d , c ∈ R ➣ gradI(y) = b ∀y ∈ D
(1.2.4) ⇒ b · f(y) = 0 ,
s∑
⇒ b · f(t 0 + c i h,y 0 + h a ij k j ) = b · k i = 0 , i = 1, . ..,s (für Inkremente) ,
j=1
4.1
p. 329
➢ ‖y(t)‖ 2 ist quadratische Invariante der Evolution, da y T Ay = 0 für alle y ∈ R d
Beachte: A diagonalisierbar mit σ(A) ⊂ iR. Zu jedem µ ∈ R können wir A ∈ R d,d , A T = −A,
so wählen, dass iµ ∈ σ(A).
4.1
p. 331
⇒ I(y 1 ) = b · y 1 + c = b · (y s∑ )
0 + b i k i = b · y0 + c = I(y 0 ) .
i=1
✷
Für Eigenvektor y zu Eigenwert iµ: Ay = iuy ⇒ S(hA)y = S(iµ)y
⇒ ‖y‖ 2 ∥
= ∥Ψ h y∥ 2 = ‖S(iµh)y‖ 2 = |S(iµh)| 2 ‖y‖ 2 ⇒ |S(iµh)| = 1 ,
wobei Ψ h , h > 0, die diskrete Evolution des RK-ESV fuer ẏ = Ay und S(z) die Stabilitätsfunktion.
✬
Theorem 4.1.3 (Erhaltung quadratischer Invarianten).
✫
Gauss-Kollokations-ESV (→ Sect. 2.2.2) erhalten quadratische erste Integrale.
Beweis. (für autonome ODE ẏ = f(y), vgl. Beweis von Thm. 3.3.4)
y h (t) ∈ P s ˆ= Gauss-Kollokationspolynom zum Anfangswert y 0 (t 0 = 0):
˙ y h (c i h) = f(y h (c i h)) , h ˆ= Schrittweite, vgl. (2.2.1) . (4.1.1)
Quadratische Invariante:
I(y) = 1 2 yT Ay + b T y + c mit A ∈ R d,d , b ∈ R d , c ∈ R
d(τ) := I(y h (τh)) ist Polynom vom Grad ≤ 2s .
Da s-Punkt Gauss-Quadraturformel exakt für Polynome vom Grad ≤ 2s − 1 und d ′ ∈ P 2s−1
∫ 1
s∑
d(1) = d(0) + d ′ (τ) dτ = d(0) + b i d ′ (c i ) .
0
} i=1 {{ }
!
Ziel =0
✩
✪
4.1
p. 330
➋
|S(iµ)| = 1 ∀µ ∈ R .
Da S(z) rationale Funktion mit reellen Koeffizienten: S(z) = S(z).
Re z = 0 ⇒ 1 = |S(z)| 2 = S(z)S(z) = S(z)S(−z) (4.1.2)
(S rational) Analytische Fortsetzung ⇒ S(z)S(−z) = 1 ∀z ∈ C \ {Polstellen}.
➌ Thm. 3.3.4 & Lemma 3.3.5 ⇒ Gauss-Kollokations-ESV A-stabil (→ Def. 3.2.7)
⇒ S(z) hat keine Pole in C − .
⇒ S als rationale Funktion analytisch in C − .
(4.1.2) & A-Stabilität ⇒ S Ψ = C − . ✷
4.1
p. 332

✬
✩
✬
✩
Lemma 4.1.5 (Erhaltung quadratischer Invarianten durch RK-ESV).
Erfüllen die Koeffizienten eines s-stufigen (konsistenten) Runge-Kutta-Einschrittverfahrens (→
Def. 2.3.1)
b i a ij + b j a ji = b i b j für alle i,j = 1, ...,s , (4.1.3)
Lemma 4.1.7 (Ableitung der Determinantenfunktion).
Für die Determinantenfunktion det : R n,n ↦→ R gilt
D det(X)H = trace(adj(X)H) , X,H ∈ R d,d .
✫
✪
dann erhält dessen diskrete Evolution quadratische erste Integrale.
✫
Beweis: (für vereinfachte quadratische Invariante I(y) := 1 2 yT Qy, Q ∈ R d,d , Q = Q T )
✪
d∑
✎ Notation: Spur einer Matrix A = (a ij ) d i,j=1 ∈ Rd,d : trace(A) = a jj
j=1
➢ gradI(y) = Qy ⇒ y T Qf(y) = 0 ∀y ∈ D . (4.1.4)
Ein Schritt des RK-ESV mit Inkrementen k i , vgl. Def. 2.3.1:
✎ Notation: adjungierte Matrix (adj(X)) ij = (−1) i+j det( ˇX ij ), X ∈ R d , 1 ≤ i,j ≤ d, ˇX ij ˆ=
Matrix, die aus X durch Streichen der i. Zeile und j. Spalte ensteht (Minor).
Stufen:
y 1 = y 0 + h
i=1
s∑
b i k i ,
i=1
s∑
s∑ s∑
y1 T Qy 1 − y0 T Qy 0 = 2h b i y0 T Qk i + h 2 b i b j k T i Qk j . (4.1.5)
i=1 j=1
∑
g i = y 0 + h s a ij f(g j ) ➣ k i = f(g i ), i = 1, ...,s,
∑
y 0 = g i − h s a ij f(g j ) .
j=1
j=1
4.1
p. 333
☞ Bekannt aus der linearen Algebra [7, Lemma 4.3.4]: A · adj(A) = det(A) · I
Beweis. Als Polynom in den Matrixelementen ist A ↦→ detA eine C ∞ -Funktion:
detA := ∑ n∏
sgn(σ) a i,σ(i) .
σ∈Π n i=1
4.1
p. 335
Einsetzen in (4.1.5), da aus (4.1.4) folgt g i Qf(g i ) = 0:
y T 1 Qy 1 − y T 0 Qy 0 = 2h
i=1
s∑
b i
⎛
⎝g i − h
j=1
⎞T
s∑
s∑ s∑
a ij f(g j ) ⎠ Qf(g i ) + h 2 b i b j f(g i ) T Qf(g j )
i=1 j=1
i=1 j=1
s∑ s∑
s∑ s∑
= −2h 2 b i a ij f(g j ) T Qf(g i ) + h 2 b i b j f(g i ) T Qf(g j )
i=1 j=1
s∑ s∑
= h 2 (−2b i a ij + b i b j )f(g i ) T Qf(g j ) .
i=1 j=1
Q = Q T ➣ Indexvertauschung in der Doppelsumme ➣ Behauptung. ✷
det(I + ǫH) = ∑ n∏
sgn(σ) (δ i,σ(i) + ǫh i,σ(i) )
σ∈Π n i=1
n∏
n∑
= (1 + ǫh ii ) + O(ǫ 2 ) = 1 + ǫ h ii + O(ǫ 2 ) . ,
i=1
für H = (h ij ) d i,j=1 , denn jede Permutation ≠ Id erzeugt ein Produkt der Grösse O(ǫ2 ). Daher für
reguläres X ∈ R d,d :
i=1
det(X + ǫH) − det(X) = ǫ trace(det(X)X
} {{ −1 H) + O(ǫ
}
2 ) .
adj(X)
Da die regulären Matrizen in R d,d dicht liegen, X ↦→ adjX stetig →
✷
✬
✩
Beweis von Thm. 4.1.6 (Widerspruchsbeweis)
Theorem 4.1.6 (Nichterhaltung allgemeiner polynomialer Invarianten).
Für n ≥ 3 gibt es kein zu ẏ = f(y) konsistentes Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1)
das alle polynomialen Invarianten (→ Def. 4.1.1) der Dgl. vom Grad n erhält.
t ↦→ Y(t) löse lineare Matrix-Differentialgleichung Ẏ = AY, A ∈ R d
Mit Lemma 4.1.7 folgt
✫
Hilfssatz für den Beweis:
✪
4.1
p. 334
D Y I(Y)H = detY · trace(HY −1 ) ⇒ d dt detY(t) = Y trace(ẎY−1 ) = Y trace(A) .
(4.1.6)
4.1
p. 336

⇒
★
Falls trace(A) = 0 ist I(Y) := detY eine polynomiale Invariante vom Grad d der
Matrix-Differentialgleichung Ẏ = AY.
✧
Annahme: RK-ESV erhält Polynomiale Invarianten vom Grad d > 2. Wende das Verfahren an auf
Ẏ = AY, trace(A) = 0, A ∈ R d,d . Nach Bem. 3.1.5, (3.1.6)
Y 1 = S(hA)Y 0 mit Stabilitätsfunktion S(z) , h > 0 .
detY 1 = detY 0 ∀Y 0 ⇒ det S(hA) = 1
Wähle spezielle (diagonale !) Matrix mit trace(A) = 0 und Zeitschrittweite h = 1
A = diag(µ, ν, −(µ + ν), 0,...,0) ∈ R d,d , µ, ν ∈ R .
S(A) = diag(S(µ), S(ν),S(−(µ + ν)), 0, ...,0)
Aus det S(A) = 1 folgt, dass S die Funktionalgleichung S(µ)S(ν)S(−(µ + nu)) = 1 erfüllt.
⇒ S(0) = 1 ⇒ S(−µ) = S(µ) −1 ⇒ S(µ)S(ν) = S(µ + ν) ∀µ, ν ∈ R .
z ↦→ S(z) erfüllt die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, ist stetig in Umgebung von 0 ⇒
S(z) = exp(z).
Andererseits muss S(z) eine rationale Funktion sein, siehe Thm. 3.1.2, ein Widerspruch ✷
4.2 Volumenerhaltung
✥
✦
4.2
p. 337
✬
Theorem 4.2.3 (Satz von Liouville).
Sei f : D ⊂ R d ↦→ R d stetig differenzierbar. Genau dann wenn divf(y) = 0 für jedes y ∈ D,
ist die zu ẏ = f(y) gehörige Evolution Φ t volumenerhaltend, d.h.
✫
∀V ⊂ D kompakt: ∃δ > 0: Vol(Φ t (V )) = Vol(V ) ∀0 ≤ t < δ .
∑
✎ Notation: Divergenz divf(y) = d ∂f i
(y) = traceDf(y), mit f = (f
j=1 ∂y 1 , . ..,f d ) T
i
Beweis. (basierend auf Lemma 4.2.2, vgl. [11, Lemma 9.1])
Sei Φ : ˜Ω ↦→ D der Evolutionsoperator zur autonomen ODE ẏ = f(y).
Jacobi-Matrix (Propagationsmatrix)
(1.3.20)
W(t,y) = D y Φ t (y), y ∈ D, erfüllt die Variationsgleichung
d
dt W(t,y) = Df(Φt y)W(t,y) , t ∈ J(y) , W(0,y) = I . (4.2.1)
Wie im Beweis zu Thm. 4.1.6, aus Lemma 4.1.7, vgl. (4.1.6):
“⇒” aus (4.2.2), da detW(0,y) = 1
d
dt detW(t,y) = detW(t,y) trace(Ẇ(t,y)W−1 (t,y))
= detW(t,y) trace(Df(Φ t y))
= detW(t,y) divf(Φ t y) .
(4.2.2)
✩
✪
4.2
p. 339
Physik: inkompressible Strömung ↔ volumenerhaltender Fluss
Definition 4.2.1 (Volumenerhaltung).
Eine Abbildung Φ : D ⊂ R d ↦→ R d heisst volumenerhaltend
∀V ⊂ D messbar: Vol(Φ(V )) = Vol(V ) .
“⇐”: Wenn divf ≠ 0, dann gibt esδ > 0, V ⊂ D so dass | divf(y)| > δ für alle y ∈ V . Daher, für
y ∈ V ,
d
d
detW(t,y) ≥ δ detW(t,y) oder detW(t,y) ≤ −δ detW(t,y) .
dt dt
⇒ t ↦→ detW(t,y) wächst/fällt exponentiell. ✷
✬
Lemma 4.2.2 (Volumenerhaltende Abbildungen).
Eine stetig differenzierbare Abbildung Φ : D ⊂ R d ↦→ R d ist genau dann volumenerhaltend,
wenn | detDΦ(y)| = 1 für alle y ∈ D.
✫
✩
✪
✗
✖
Inkompressible Strömung ↔ divergenzfreie Geschwindigkeitsfelder
Beispiel 4.2.1 (Strömungsvisualisierung).
Anwendung numerischer ODE-Löser in der Computergraphik:
✔
✕
Beweis. Nach dem Transformationssatz für Integrale:
∫ ∫
Vol(Φ(V )) = 1 dx =
| det DΦ(y)| dy . ✷
Φ(V )
V
4.2
p. 338
4.2
p. 340

−1
x 3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.5
0
x 1
0.5
1 −1
−0.5
x 2
0
0.5
Fig. 130
1
Divergenzfreies Vektorfeld:
⎛
−y 2 − y ⎞
1
a 2 +y3
2
f(y) = ⎜
⎝ y 1 − y 2 ⎟
a 2 +y3
2 ⎠ , y ∈ R3 .
2/a arctan(y 3/a)
MATLAB-function
Volumenerhaltende numerische ODE-Löser (“Integratoren”) ?
streamline(X,Y,Z,U,V,W,...)
Stromlinien von f ˆ= Lösungen von AWPe zur
autonomomen ODE ẏ = f(y).
✸
Der Beweis im allgemeinen Fall stützt sich auf implzites Differenzieren der Runge-Kutta-
Inkrementgleichungen, siehe Def. 2.3.1.
Bemerkung 4.2.2 (Volumenerhaltende Integratoren für d = 2).
Für RK-ESV im Fall d = 2:
Erhalt quadratischer Invarianten =⇒ Volumenerhaltung
( )
w11 w
Für d = 2: detW = w 11 w 22 − w 12 w 21 ist quadratische Funktion (W = 12 ˆ=
w 21 w 22
Propagationsmatrix/Wronsk-Matrix, siehe (1.3.19)). Ist die Evolution zu ẏ = f(y) volumenerhaltend,
so gilt detW(t) ≡ 1, also is detW eine quadratische Invariante der Variationsgleichung und wird
vom RK-ESV erhalten.
Nach Lemma 4.2.4 gilt dann
∀h > 0:
(
det D y0 Ψ h) = 1 .
✬
Lemma 4.2.4 (Variationsgleichung und Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Für Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1) kommutiert das folgende Diagramm
ẏ = f(y), y(0) = y 0
⏐
RK-ESV↓
W:= ∂y
∂y 0
−−−−−→
Variationsgleichung, siehe Sect. 1.3.3.4.
ẏ = f(y), y(0) = y 0 ,
Ẇ = Df(y)W, W(0) = I
⏐
⏐
↓RK-ESV
✩
4.2
p. 341
Nach Lemma 4.2.2 ist die diskrete Evolution daher volumenerhaltend.
d > 2: (Beweis von) Thm. 4.1.6 ➢ Allgemeine Runge-Kutta-Einschrittverfahren kommen nicht in
Betracht !
(Notwendig: Integratoren mit “eingebauter Zusatzinformation” über f)
△
4.2
p. 343
(y k ) N k=1
W k := ∂y k
∂y 0
−−−−−−→ (y k ,W k ) N k=1
Idee: ➊ Additive Zerlegung von f in wesentlich zweidimensionale Vektorfelder
✫
Beweis: (nur für explizites Euler-Verfahren (1.4.2), vgl. [11, Lemma 4.1])
✪
➋ Splittingverfahren (→ Sect. 2.5) basierend auf RK-ESV, die
quadratische Invarianten erhalten, siehe Sect. 4.1.
Rekursion des expliziten Euler-Verfahrens für ẏ = f(y)
y k+1 = y k + hf(y k )
d
dy
=⇒ dy 0 k+1
= dy k
+ hDf(y
dy 0 dy k ) dy k
.
0 dy 0
Explizites Euler-Verfahren für (erweiterte) Variationsgleichung Ẇ = Df(y)W:
d−1 ∑
Zu ➊: f(y) = g i,i+1 (y) ,
i=1
Zu ➋: y k+1 =(Ψ h d−1 ◦ · · · ◦ Ψh 1 )y k ,
g i,i+1 (y) = (0 · · · 0 ∗ ∗ 0 · · · 0) T
↑ ↑ , divg i,i+1 = 0 .
i i + 1
W k+1 = W k + hDf(y k )W k .
wobei Ψ h i ˆ= diskrete Evolution des RK-Basisverfahrens für
ẏ = g i,i+1 (y).
dy k
dy 0
und W k erfüllen die gleiche Rekursion.
✷
4.2
p. 342
Verallgemeinertes Lie-Trotter-Splitting (2.5.2)
4.2
p. 344

Existenz der Vektorfelder g i,i+1 ?
✬
Theorem 4.2.5 (Zerlegung in divergenzfreie Vektorfelder).
Jedes stetige divergenzfreie f : R d ↦→ R d lässt sich darstellen als Summe von d −1 divergenzfreien
Vektorfeldern g i,i+1 : R d ↦→ R d der Form
g i,i+1 (y) = (0 · · · 0 p i (y) q i (y) 0 · · · 0) T , i = 1, ...,d − 1 ,
↑ ↑
i i + 1
mit Funktionen p i , q i : R d ↦→ R.
✩
Einfachstes volumenerhaltendes Splittingverfahren 2. Ordnung:
Basis-RK-ESV: implizite Mittelpunktsregel (1.4.11), Ψ h i ˆ= diskrete Evolutionen zu ẏ = g i,i+1 (y)
➥ Ψ h i volumenerhaltend, siehe Bem. 4.2.2 !
Verallgemeinertes Strang-Splitting (2.5.3)
Ψ h := Ψ h/2
1 ◦ Ψ h/2
2 ◦ · · · ◦ Ψ h/2
d−2 ◦ Ψh d−1 ◦ Ψh/2 d−2 ◦ · · · ◦ Ψh/2 1 .
symmetrisches Einschrittverfahren → Def. 2.1.14
Thm. 2.1.15
⇒ Konsistenzordnung ≥ 2
△
✫
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
f 1 (y) p 1 (y) 0 0
f 2 (y)
q 1 (y)
p 2 (y)
0
0.
0.
f 3 (y)
0
q 2 (y)
p 3 (y)
0
0
f(y) =
f 4 (y)
=
0
+
0
+
q 3 (y)
+ · · · +
0
+
0
.
⎜
.
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
p d−2 (y)
⎟ ⎜
0
⎟
⎝f d−1 (y) ⎠ ⎝
0. ⎠ ⎝
0. ⎠ ⎝
0. ⎠ ⎝q d−2 (y) ⎠ ⎝p d−1 (y) ⎠
f d (y) 0 0 0
0 q d−1 (y)
Beweis. (vgl. [11, Theorem 9.3])
Konstruktiv für f = (f 1 , ...,f d ) T mit beliebigen a i ∈ R
✪
4.2
p. 345
4.3 Verallgemeinerte Reversibilität
Sect. 2.1.5: reversible (symmetrische) diskrete Evolutionen/Einschrittverfahren → Def. 2.1.14
(für autonome ODE) Ψ −h ◦ Ψ h = Id für h > 0 hinreichend klein
D
4.3
p. 347
p i (y) = f i (y) + r i (y) , q i (y) = −r i+1 (y) ,
∫ y i ( ∂f1
r i (y) = + · · · + ∂f )
i−1
(y
∂y 1 ∂y 1 , ...,y i−1 ,τ, y i+1 , ...,y d ) dτ , 2 ≤ i ≤ d − 1 ,
i−1
a i
r 1 (y) ≡ 0 ,
⇒
∂p i
= ∂f i
+ ∂f 1
+ · · · + ∂f i−1
,
∂y i ∂y i ∂y 1 ∂y i−1
1 ≤ i ≤ d − 1 .
∂q i
= − ∂f 1
− · · · − ∂f i
= − ∂p i
.
∂y i+1 ∂y 1 ∂y i ∂y i
Also sind die Teilfelder alle divergenzfrei. Weiter, wegen divf = 0,
⎛ ⎞
y
∑d−1
d
⎝ g i,i+1 (y) ⎠ = q d−1 (y) = −r d (y) = −
i=1
d
∫
a d
∂f 1
∂y 1
+ · · · + ∂f d−1
∂y d−1
=
y d ∫
a d
∂f d
∂y d
= f d (y) .
Reversibilität
⇕
Symmetrie bzgl. Zeitumkehr
Erinnerung an Thm. 2.1.15:
✬
Theorem 4.3.1 (Reversible Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Ψ h Ψ −h t
Fig. 131
Reversible ESV haben gerade Konsistenzordnung
Ein s-stufiges RK-ESV (→ Def. 2.3.1) mit Butcher-Tableau c A bT , siehe (2.3.4), ist reversibel
(symmetrisch, → Def. 2.1.14), falls
a s+1−i,s+1−j + a ij = b j ∀1 ≤ i,j ≤ s .
✩
Beachte: Konstruktion der g i,i+1 benötigt (symbolische) Ableitungen der f i .
Bemerkung 4.2.3 (Volumenerhaltendes Splittingverfahren 2. Ordnung). p. 346
4.2
✫
Beweis (siehe [11, Sect. V.2, Thm. 2.3])
zu zeigen: y 0
Ψ h
−−→ y 1
Ψ −h
−−−→ y 0 .
✪
4.3
p. 348

Technik: Teste Invarianz der Verfahrensgleichungen bei Vertauschung y 0 ↔ y 1 , h ↔ −h in den
Verfahrensgleichungen
⎧
⎧
s∑
s∑
k ⎪⎨ i = f(y 0 + h a ij k j ) , k ⎪⎨ i = f(y 1 − h a ij k j ) ,
j=1
j=1
⇒
s∑
s∑
⎪⎩
y 1 = y 0 + h b i k i . ⎪⎩
y 0 =y 1 − h b i k i .
i=1⎧
i=1
s∑
k ⎪⎨ i = f(y 0 + h (b j − a ij )k j ) ,
j=1
⇒
(4.3.1)
s∑
⎪⎩
y 1 = y 0 + h b i k i .
i=1
2a ij = b j ⇒ Gleichheit nach Vertauschung y 0 ↔ y 1 , h ↔ −h, doch leider liefert das kein
sinnvolles RK-ESV (Ausnahme: implizite Mittelpunktsregel (1.4.11) mit s = 1, a 11 = 2 1 , b 1 = 1)
Kommutierendes Diagramm:
(p 0 ,q 0 )
Umkehr der Geschwindigkeiten:
p ←
⏐
↓
−p
p
R
(−p 0 ,q 0 )
Φ t
Evolution (4.3.2)
−−−−−−−−−→
von 0 bis T
Evolution (4.3.2)
←−−−−−−−−−
von 0 bis T
(p(T),q(T))
⏐ Umkehr der Geschwindigkeiten:
p ←
↓
−p
(−p(T),q(T))
⇔ Evolution Φ t zu (1.2.12) erfüllt
R ◦ Φ t = Φ −t ◦ R (4.3.3)
R
mit Abbildung
( ( )
q
p −p
R = . (4.3.4)
q)
q
(4.3.3) ˆ= Rückwärtsevolution” nach Umkehr der
”
Φ t Geschwindigkeiten
✸
4.3
! Beachte: a s+1−i,s+1−j + a ij = b j ⇒ b s+1−i = b i
p. 349
➣ Umindizieren i ← s + 1 − i, j ← s + 1 − j unter den Annahme b s+1−i = b i
⎧
s∑
k ⎪⎨ i = f(y 0 + h (b j − a s+1−i,s+1−j )k j ) ,
j=1
(4.3.1) ⇒
s∑
⎪⎩
y 1 = y 0 + h b i k i .
i=1
= Ausgangs-RK-ESV, falls b j − a s+1−i,s+1−j = a ij ✷
Abstraktion:
Betrachte autonome AWPe ẏ = f(y), y(0) = y 0 ,
f : D ↦→ R d lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2)
Annahme: Für alle y 0 ∈ D existiert die Lösung für alle Zeiten, vgl. Def. 1.3.1
Definition 4.3.2 (R-reversible Abbildung).
Es sei R : D ↦→ D ⊂ R d eine bijektive lineare Abbildung.
Eine weitere bijektive Abbildung Φ : D ↦→ D heisst R-reversibel, falls
R ◦ Φ = Φ −1 ◦ R .
4.3
p. 351
Neues Konzept:
R-Reversibilität = “verallgemeinerte Zeitumkehrsymmetrie”
Beispiel 4.3.1 (Reversibilität bei mechanischen Systemen).
Hamiltonsche Differentialgleichung (→ Def. 1.2.2) mit Hamilton-Funktion
{ R n × R n ↦→ R
H :
(p,q) ↦→ 1 2 pT M −1 ⇒ H(p,q) = H(−p,q) ,
p + U(q) ,
mit s.p.d. Massenmatrix M ∈ R d,d .
ṗ(t) = − ∂H
∂H
(p(t),q(t)) = −gradU(q) , ˙q(t) =
∂q ∂p (p(t),q(t)) = M−1 p . (4.3.2)
4.3
p. 350
✬
✩
Lemma 4.3.3 (R-reversible Evolutionen).
Die Evolution Φ t zu ẏ = f(y) ist R-reversibel für alle t ∈ R, falls
f ◦ R = −R ◦ f auf D . (4.3.5)
✫
✪
Beweis. (siehe [11, Sect. V.1]) Zu zeigen ist, wegen Φ t ◦ Φ −t = Id (Gruppeneigenschaft (1.3.2))
R ◦ Φ t = (Φ t ) −1 ◦ R = Φ −t ◦ R . (4.3.6) 4.3
p. 352

Idee:
beide Seiten von (4.3.6) sind Lösungen des gleichen Anfangswertproblems, mit y ∈ D
d
dt ((R ◦ Φt )(y)) = Rf(Φ t (y)) = −f((R ◦ Φ t )(y)) , (4.3.7)
d
dt ((Φ−t ◦ R)(y)) = −f((Φ −t ◦ R)(y)) . (4.3.8)
t ↦→ (R ◦ Φ t )(y) und t ↦→ (Φ −t ◦ R)(y) sind beides Lösungen des Anfangswertproblems
ż = −f(z) , z(0) = Ry .
Daher folgt (4.3.6) aus dem Eindeutigkeitssatz Thm. 1.3.4.
Beispiel 4.3.2 (Fortsetzung: Reversibilität bei mechanischen Systemen). Bsp. 4.3.1
✷
Gemäss Def. 2.3.1, wegen Linearität von R
⎧
s∑
k ⎪⎨ i = f(y + h a ij k j ) ,
j=1
s∑
⎪⎩
Ψ h y = y + h b i k i ,
i=1
(4.3.5)
=⇒
Transformierte Inkremente ˜k i := −Rk i erfüllen
˜k i = f(Ry − h
⎧
s∑
Rk ⎪⎨ i = −f(Ry + h a ij Rk j ) ,
j=1
s∑
⎪⎩
RΨ h y = Ry + h b i Rk i .
i=1
s∑
a ij˜kj ) , i = 1, ...,s .
j=1
˜k i ˆ= Inkremente des RK-ESV zur Schrittweite −h, Anfangswert Ry ↔ Ψ −h RY
Für Hamiltonsche Evolution (4.3.2) mit y = (p,q) T , d = 2n, R aus (4.3.4)
( ) ( )
−gradU(Rq (y)) −gradU(q)
(f ◦ R)(y) =
M −1 =
R p (y) −M −1 = −R
p
ˆ= Voraussetzung von Lemma 4.3.3.
( −gradU(q)
M −1 p
Alternative Perspektive: Hamiltonsche Dgl. (1.2.13) ẏ = J −1 gradH(y):
)
= −R(f(y)) .
H(Ry) = H(y) ⇒ Rgrad H(Ry) = gradH(y) . (4.3.9)
Für R aus (4.3.3): J ◦ R = −R ◦ J, R 2 = Id
4.3
p. 353
RΨ h y = Ry − h
➁ direkte Verifikation von Def. 4.3.2
s∑
b i˜ki = Ψ −h Ry ⇒ (4.3.10) .
i=1
RK-ESV reversibel/symmetrisch
⇕
(4.3.10)
⇒ R ◦ Ψ h = Ψ −h ◦ R = (Ψ h ) −1 ◦ R . ✷
Ψ −h = (Ψ h ) −1
4.4 Symplektizität
4.4
p. 355
(4.3.9)
⇒ − R(J −1 gradH(y)) = J −1 R(grad H(y)) = J −1 RRgradH(Ry) = J −1 grad H(Ry) .
ˆ= (4.3.5) für f(y) = J −1 grad H(y).
✸
4.4.1 Symplektische Evolutionen Hamiltonscher Differentialgleichungen
✬
Theorem 4.3.4 (R-reversible Runge-Kutta-Evolutionen).
Die rechte Seite f der autonomen ODE ẏ = f(y) erfülle (4.3.5).
Dann ist die von einem Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1) erzeugte
diskrete Evolution genau dann R-reversibel, wenn das RK-ESV reversibel/symmetrisch
(→ Def. 2.1.14) ist.
✫
Beweis. (siehe [11, Sect. V.1, Thm. 1.5])
➀
Mit Notationen von Lemma 4.3.3 und Ψ h als diskrete Evolution des RK-ESV zur ODE ẏ = f(y)
wird gezeigt (vgl. Beweis der Affin-Kovarianz von RK-ESV, Bem. 2.3.4)
f ◦ R = −R ◦ f ⇒ R ◦ Ψ h = Ψ −h ◦ R . (4.3.10)
✩
✪
4.3
p. 354
Erinnerung (Sect. 1.2.4): Hamiltonsche Differentialgleichung → Def. 1.2.2
ṗ(t) = − ∂H
∂q (p(t),q(t)) ,
∂H
˙q(t) = (p(t),q(t)) , (1.2.12)
∂p
mit (glatter) Hamilton-Funktion H : R n × M ↦→ R, Konfigurationsraum M ⊂ R n .
y = ( p)
( )
q
=⇒ (1.2.12) ⇔ ẏ = J −1 0 In
· grad H(y) , J =
∈ R
−I n 0
2n,2n . (1.2.13)
Lemma 1.2.3 (Energieerhaltung): H ist Invariante von (1.2.12)
Energieerhaltung ↔
I(y) := H(y) ist Invariante/erstes Integral (→ Def. 1.2.1)
von ẏ = f(y) := J −1 · gradH(y)
(1.2.4) ➣ Lemma 1.2.3 aus gradH(y) · f(y) = grad H(y) T J −1 gradH(y) = 0, da J −1
schiefsymmetrisch (vgl. Bemerkungen nach (1.2.13))
4.4
p. 356

Beispiel 4.4.1 (Energieerhaltung bei numerischer Integration). ↔ Bsp. 1.4.11
Mathematisches Pendel Bsp. 1.2.7, AWP für (1.2.11) auf [0, 1000], p(0) = 0, q(0) = 7π/6.
Vergleich von klassischem Runge-Kutta-Verfahren (2.3.7) (Ordnung 4) mit 1-stufigem
Gauss-Kollokations-ESV (implizite Mittelpunktsregel 2.2.11), äquidistantes Gitter, h = 2 1 :
9
0.95
0.9
8
Volumenerhaltung im Zustandsraum (Phasenraum):
Evolution eines quadratischen Volumens ✄
q = α
11
10
9
8
7
6
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
q
7
6
5
Gesamtenergie
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
5
4
−1.5 −1 −0.5 0 1 1.5 0.5
p
2 2.5
Fig. 134
4
(p(t),q(t))
RK4 Methode
Impl. Mittelpunktsregel
3
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
p
Fig. 132
Trajektorien ”
exakter” /diskreter Evolutionen
0.6
RK4−Methode
Impl. Mittelpunktsregel
0.55
0 200 400 600 800 1000
t
Fig. 133
Energieerhaltung diskreter Evolutionen
➣ Keine Energiedrift bei impliziter Mittelpunktsregel p. 357
4.4
4.4
p. 359
?
Eine rätselhafte Beobachtung:
★
Besonderheit mancher (∗) numerischer Integratoren:
✧
Approximative Langzeit-Energieerhaltung (keine Energiedrift)
(∗) Implizite Mittelpunktsregel (1.4.11) → Bsp. 4.4.1, 1.4.11,
Störmer-Verlet-Verfahren (2.5.7) → Bsp. 1.4.14
✥
✦
✸
q
11
10
9
8
7
6
5
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
q
11
10
9
8
7
6
5
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
Bemerkung 4.4.2 (Volumenerhaltung bei zweidimensionalen Hamiltonschen ODEs).
4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
p
4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
p
Für Evolution Φ t : R n × M ↦→ R n × M zu einer Hamiltonschen Differentialgleichung gilt:
n = 1 ➣
div y J −1 grad H(y) = 0
} {{ }
rotH(y)
Thm. 4.2.3
➣
Φ t volumenerhaltend (flächenerhaltend).
Beispiel 4.4.3 (Flächenerhaltung bei Evolution für Pendelgleichung). → Bsp. 1.2.7
p ↔ Winkelgeschwindigkeit,
ṗ = − sinq ,
˙q = p
q ↔ Winkelvariable α
Hamilton-Funktion H(p,q) = 1 2 p2 − cos q (Gesamtenergie) (4.4.1)
△
4.4
p. 358
Evolution eines quadratischen Volumens
(Explizites Eulerverfahren)
Evolution eines quadratischen Volumens
(Implizite Mittelpunktsregel)
Bem. 4.2.2: Für d = 2 ist die implizite Mittelpunktsregel volumenerhaltend (wie alle
Gauss-Kollokationsverfahren nach Lemma 4.1.5)
✸
4.4
Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen: Symplektische Evolutionen (≠ Volumenerhaltung) p. 360

Push-Forward: Wirkung einer (glatten) Abbildung
auf infinitesimale Strecke = Vektor
Für C 1 -Abbildung Φ : D ⊂ R d ↦→ R d :
(Φ ∗ v)(y) = DΦ(y)v y ∈ D, v ∈ R d .
✁ Transport eines Vektors im ”
Strömungsfeld”
t ↦→ Φ t zu ẏ = f(y)
mit D = diag(µ 1 ,...,µ n ) ∈ R n , µ i > 0. Dann setze
(
)
U = √ 1 D
Q
−1/2 D −1/2
2 −iD −1/2 iD −1/2 . ✷
Beachte: Die Matrix U ist reell !
Es gibt eine reelle Koordinatentransformation, die β in ω (→ Def. 4.4.1) überführt.
△
Fig. 135
Bemerkung 4.4.5 (Symplektisches Flussintegral).
Definition 4.4.1 (Symplektisches Produkt).
ω(v,w) := v T Jw , v,w ∈ R 2n mit J =
( )
0 In
.
−I n 0
Bemerkung 4.4.4 (Konstante 2-Formen).
Symplektisches Produkt ˆ= Prototyp einer nichtdegenerierten, alternierenden Bilinearform:
4.4
p. 361
4.4
p. 363
Definition 4.4.2 (Alternierende, nichtdegenerierte Bilinearform).
Eine Bilinearform β : R d × R d ↦→ R heisst
• alternierend :⇔ β(x,y) = −β(y,x) ∀x,y ∈ R d ,
• nichtdegeneriert :⇔ β(x,y) = 0 ∀y = R d ⇒ x = 0
y
✁ ω(x,y) ˆ= Fluss “durch” orientiertes Parallelogramm,
aufgespannt von {p,p+x,p+y,p+
x + y} (gewichtete Fläche)
β : R d × R d ↦→ R alternierende Bilinearform ⇒ ∃L ∈ Rd,d : L T = −L
β(x,y) = x T Ly ∀x,y ∈ R d
p
x
✬
Lemma 4.4.3 (Normalform schiefsymmetrischer Matrizen).
Zu jedem regulären L ∈ R 2n,2n mit L T = −L gibt es ein reguläres U ∈ R d,d , so dass
( )
U T 0 In
LU = J =
(Kongruenztransformation).
−I n 0
✩
“Riemann-Summation”
Fig. 136
✄
✫
Beweis. L = −L T ⇒ unitär diagonalisierbar (normale Matrix !), rein imaginäre Eigenwerte, die
in konjugiert komplexen Paaren zu konjugiert komplexen Eigenvektoren auftreten:
( )
∃Q ∈ C 2n : Q −1 = Q H und Q H D 0
LQ = i ,
0 −D
✪
4.4
p. 362
➣ Fluss durch beschränkte orientierte differenzierbare
Fläche (= Mannigfaltigkeit der Dimension
2)
Fig. 137
4.4
p. 364

Ist ψ : U ↦→ R d eine Parametrisierung (Karte) der 2-Mannigfaltigkeit Σ, so gilt, vgl. Push-Forward,
∫ ∫ ( ) dψ T ( ) dψ
Fluss = ω = J du .
Σ U du 1 du 2
★
✧
Thm. 4.4.4: Die Evolution zu einer Hamiltonschen Differentialgleichung
ist symplektisch zu jedem Zeitpunkt.
Das Konzept der Symplektizität ist eng verbunden mit der differentialgeometrischen Betrachtung Hamiltonscher
Evolutionen, siehe [2, Part III].
✥
✦
△
✬
✩
✬
Theorem 4.4.4 (Symplektischer Fluss Hamiltonscher Systeme).
Sei Φ t die Evolution zu einer Hamiltonschen Differentialgleichung (1.2.12) mit C 2 -Hamilton-
Funktion H : R n × M ↦→ R. Dann gilt
✩
Korollar 4.4.6 (Komposition symplektischer Abbildungen).
Die Komposition symplektischer Abbildungen ist symplektisch.
✫
Bemerkung 4.4.6 (Vektorräume von Vektorfeldern und Eigenschaften von Evolutionen).
✪
✫
∀y ∈ D: ∃δ > 0: ω ( (Φ t ∗v)(y), (Φ t ∗w)(y) ) = ω(v,w) ∀v,w ∈ R 2n , 0 ≤ t < δ .
✪
Def. 1.3.5: Vektorfeld f : D ⊂ R d ↦→ R d ➣ Evolution Φ t zur ODE ẏ = f(y)
Beweis.
(→ Beweis von [11, Thm. 2.4, Ch. VI])
Φ t ˆ= Evolutionsoperator zur Hamiltonschen ODE
ẏ = J −1 gradH(y)
Behauptung ⇐⇒ (Φ t ∗(y)v) T J(Φ t ∗(y)w) = v T Jw ∀v,w ∈ R d , ∀y ∈ D ,
⇐⇒
( ) d T ( ) d
dy Φt (y) J
dy Φt (y) = J ∀y ∈ D .
Propagationsmatrix W(t;y) := d
dy Φt y löst Variationsgleichung (1.3.20)
Ẇ(t;y) = D(J −1 gradH(y))W(t;y) = J −1 ∇ 2 H(y)W(t;y) , y ∈ D .
✎ Notation: ∇ 2 H ˆ= (symmetrische) Hesse-Matrix der Hamilton-Funktion H.
4.4
p. 365
✗
✖
(1.2.4): gradI · f = 0 ⇔ Φ t “I-isoflächenerhaltend” für alle t
Thm. 4.2.3: divf = 0 ⇔ Φ t volumenerhaltend (→ Def. 4.2.1) ∀t
Lemma 4.3.3: f ◦ R = −R ◦ f ⇔ Φ t R-reversibel (→ Def. 4.3.2) ∀t
Thm. 4.4.4: f = J −1 gradH ⇒ Φ t symplektisch (→ Def. 4.4.5) ∀t
Vektorraum V von Vektorfeldern D ↦→ R d
Gruppe G von Diffeomorphismen
Einschrittverfahren für ẏ = f(y) strukturerhaltend :⇔ f ∈ V ⇒ Ψ h ∈ G
(mit diskreter Evolution Ψ h )
✔
✕
△
4.4
p. 367
Mit Produktregel, da J T = −J, J −T = −J −1 = J:
d
(
)
W(t;y) T JW(t;y) =
dt
Ẇ(t;y)T JW(t;y) + W(t;y) T JẆ(t;y)
= W(t;y)∇ 2 H(y)J} −T {{ J}
W(t;y) + W(t;y) T } JJ{{ −1 } ∇ 2 H(y)W(t;y) = 0 .
=−I
=I
Da W(0;y) = I ⇒ W(t;y) T JW(t;y) = J ∀t ✷
✬
Theorem 4.4.7 (Symplektische Evolutionen und Hamiltonsche Differentialgleichungen).
Sei Φ t der Evolutionsoperator zu einer autonomen ODE ẏ = f(y), f : D ⊂ R 2n ↦→ R 2n stetig
differenzierbar, Zustandsraum D sternförmig. Dann gilt
Φ t symplektisch (→ Def. 4.4.5) ∀t ⇔ ∃H : D ↦→ R: f(y) = J −1 grad H(y) .
✫
✩
✪
Definition 4.4.5 (Symplektische Abbildung).
Eine C 1 -Abbildung Φ : D ⊂ R 2n ↦→ R 2n heisst symplektisch, falls
DΦ(y) T JDΦ(y) = J ⇔ ω ( )
DΦ(y)v, DΦ(y)w = ω(v,w) ∀v,w ∈ R
} {{ } } {{ }
2n , ∀y ∈ D .
(Φ ∗ v)(y) (Φ ∗ w)(y)
4.4
p. 366
Definition 4.4.8 (Sternförmiges Gebiet).
DsubsetR d heisst sternförmig, wenn es z ∈ D gibt, so dass
für alle Punkte x ∈ D.
{tz + (1 − t)x, 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ D
4.4
p. 368

Hilfsmittel beim Beweis:
4.4.2 Symplektische Integratoren
✬
Lemma 4.4.9 (Integrabilitätslemma).
Es sei D ⊂ R d sternförmig und f : D ↦→ R d stetig differenzierbar. Dann gilt
Df = Df T ⇔ ∃F : D ↦→ R: f(y) = grad F(y) ∀y ∈ D .
✫
✩
✪
Warum interessiert Numeriker diese ”
exotische” Eigenschaft ”
Symplektizität” ?
Thm. 4.4.7:
f = J −1 gradH
(“Bewegungsgleichung”)
⇔
Φ t symplektisch (→ Def. 4.4.5) ∀t
Beweis. O.B.d.A: D sternförmig bzgl. 0 ⇒ Wohldefiniert ist die Funktion
∫ 1
F(y) := f(τy) · y dτ y ∈ D .
⇒
0
∫ 1
∫ 1 d
gradF(y) = τDf(τy) · y + f(τy) dτ = (f(τy)τ) (τ) dτ = f(y) .
0
0 dτ
Intuition: diskrete Evolution Ψ h symplektisch ↔ “Diskrete Bewegungsgleichung
Symplektizität kann von diskreten Evolutionen geerbt werden !
Beweis (von Thm. 4.4.7)
“⇐”: Siehe Thm. 4.4.4
“⇒”: Propagationsmatrix W(t;y) := ( d
dy Φt )(y) löst Variationsgleichung (1.3.20)
Ẇ(t;y) = Df(Φ t y)W(t;y) , W(0;y) = I , y ∈ D , t ∈ J(y) .
t fixiert, hinreichend klein: y ↦→ Φ t y ist symplektische Abbildung (→ Def. 4.4.5)
W(t;y) T JW(t;y) = J =⇒ tfrei d (
)
W(t;y) T JW(t;y) = 0 .
dt
Mit Produktregel:
0 = d (
)
W(t;y) T JW(t;y) =
dt
Ẇ(t;y)T JW(t;y) + W(t;y) T JẆ(t;y)
= (Df(Φ t y)) T JW(t;y) + W(t;y) T J(Df(Φ t y)) ∀y ∈ D, |t| klein.
Setze t = 0, benutze J −T = −J −1 = J ⇒ JDf(y) = (JDf(y)) T ∀y ∈ D
Wegen JDf(y) = D(Jf)(y) Anwendung der Integrabilitätslemmas 4.4.9. ✷
4.4
p. 369
Definition 4.4.10 (Symplektisches Einschrittverfahren).
Ein Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.1) heisst symplektisch, wenn es, angewendet auf eine
Hamitonsche Differentialgleichung (→ Def. 1.2.2) ẏ = J −1 gradH(y) eine konsistente
diskrete Evolution Ψ h erzeugt, so dass Φ h : K ⊂ D ↦→ R d für jedes Kompaktum K ⊂ D und
festes hinreichend kleines h > 0 eine symplektische Abbildung (→ Def. 4.4.5) ist.
Bemerkung 4.4.7 (Einfache symplektische Integratoren).
Die diskreten Evolutionen Ψ h : D ⊂ R 2n ↦→ R 2n zur Hamiltonsche ODE (1.2.12)
(ẏ = J −1 gradH(y), H : D ⊂ R d ↦→ R) erzeugt durch
implizite Mittelpunkteregel (1.4.11)
symplektisches Eulerverfahren (2.5.5)
Störmer-Verlet-Verfahren (2.5.7) (→ Bem. 1.4.15, Bsp. 2.5.3) für separierte Hamilton-Funktion der
Form H(y) = T(p) + U(q), y = ( p
q
)
,
sind symplektisch (für hinreichend kleine Schrittweite h ∈ R).
Nachweise der Symplektizität:
für implizite Mittelpunkteregel (1.4.11):
Φ h y 0 := y 1 = y 0 + hJ −1 gradH( 1 2 (y 0 + y 1 )) . (4.4.2)
Implizites Differenzieren (Annahme: H “hinreichend glatt”):
4.4
p. 371
4.4
p. 370
DΦ h (y 0 ) = I + hJ −1 ∇ 2 H( 1 2 (y 0 + y 1 )) 1 2 (I + DΦh (y 0 )) ,
(
) −1 (
)
⇒ DΦ h (y 0 ) = I − 2 1hJ−1 ∇ 2 H(...) I + 2 1hJ−1 ∇ 2 H(. ..) .
4.4
p. 372

Verwende nun
M = M T ⇒ (I + αJ −1 M) T J(I + αJ −1 M) = J . (4.4.3)
Störmer-Verlet-Verfahren (2.5.7) für H(p,q) = T(p) + U(q):
⎧
⎪⎨ p 1/2 = p 0 − 2 1hgradU(q 0) ,
q 1 = q 0 + hgradT(p 1/2 ) ,
⎪⎩ p 1 = p 1/2 − 1 2 hgradU(q 1) .
Strang-Splittingverfahren (Bem. 1.4.15): diskrete Evolution Ψ h zu (4.4.4) erfüllt
Ψ h = Φ h/2
U ◦ Φh T ◦ Φh/2 U ,
wobei Φ t T , Φt U
exakte Evolutionsoperatoren zu Hamiltonschen ODE
{
Φ t ṗ = 0 ,
T ↔
→ Hamilton-Funktion H(p,q) = T(p) ,
˙q = grad T(p)
Φ t U ↔ {
ṗ = −gradU(q) ,
˙q = 0 .
Korollar 4.4.6 ⇒ Ψ h is symplektische Abbildung (→ Def. 4.4.5).
→ Hamilton-Funktion H(p,q) = U(q) .
(4.4.4)
Terminologie: implizte Mittelpunktsregel/Störmer-Verlet-Verfahren = symplektische Integratoren △ p. 373
✬
✩
4.4
✗
✖
Thm. 4.1.3 ⇒ Alle Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren sind symplektisch.
Beispiel 4.4.8 (Symplektisches Euler-Verfahren). siehe Bsp. 2.5.3
Annahme: Separierte Hamilton-Funktion der Form H(p,q) = T(p) + U(q), T, U : D ⊂
R n ↦→ R glatt
H(p,q) = T(p) + U(q) ↔ Splitting der rechten Seite von (1.2.12), vgl. Bsp. 2.5.3
( )
f(y) = J −1 −gradU(q)
grad H(y) =
+
0
➣ Lie-Trotter-Splitting-Einschrittverfahren (2.5.2)
p k+1 = p k − hgradU(q k )
q k+1 = q k + hgrad T(p k+1 ),
bzw.
(
0
gradT(p)
✔
✕
)
=: f 1 (y) + f 2 (y) (4.4.5)
p k+1 = p k − hgradU(q k+1 )
q k+1 = q k + hgrad T(p k ) .
(4.4.6) = explizite symplektische diskrete Evolutionen (Thm. 2.5.1: Konsistenzordnung 1)
(4.4.6)
4.4
p. 375
Theorem 4.4.11 (Symplektische Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Alle Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1), die quadratische Invarianten erhalten, sind
symplektisch.
✫
✪
Beachte: In (4.4.6) (links): Inkrement benutzt q k , p k+1
In (4.4.6) (rechts): Inkrement benutzt q k+1 , p k
☞ Verallgemeinerung von (4.4.6) auf ẏ = J −1 grad H(y) in der Form, y := ( p
q
)
,
Beweis. Φ t ˆ= Evolutionsoperator zu Hamiltonschen Dgl. ẏ = f(y) := J −1 grad H(y) ist eine
symplektische Abbildung für (alle zulässigen) t
Def. 4.4.5 ⇒ I(Y) := Y T JY ist quadratisches erstes Integral der Variationsgleichung
ṗ(t) = − ∂H
∂q (p(t),q(t)) , ∂H
˙q(t) = (p(t),q(t)) : (1.2.12)
∂p
y k+1 = y k + hJ −1 grad H(p k ,q k+1 ) bzw. y k+1 = y k + hJ −1 gradH(p k+1 ,q k ) .
Ẇ(t;y) = Df(Φ t y)W(t;y) .
Ψ h ˆ= diskrete Evolution des EK-ESV für ẏ = f(y)
̂Ψ h ˆ= diskrete Evolution des EK-ESV für
{ ẏ = f(y) ,
Ẇ = Df(y)W :
Lemma 4.2.4
⇒
dΨ h (
dy (y 0) = W 1 = ̂Ψ h( ))
y 0
.
I W
( y1
W 1
)
= ̂Ψh( y0
I
)
.
Nach Voraussetzung erhält ̂Ψ h quadratische erste Integrale,
( )
dΨ h T ( )
dy (y dΨ h
0) J
dy (y 0) = W1 T JW 1 = J ∀y 0 ∈ D . ✷
4.4
p. 374
Für allgemeine Hamilton-Funktion H = H(p,q) :
p k+1 = p k − h ∂H
∂q (p k+1,q k )
q k+1 = q k + h ∂H
∂p H(p k+1,q k ),
bzw.
Symplektische Euler-Verfahren
p k+1 = p k − h ∂H
∂q (p k,q k+1 )
q k+1 = q k + h ∂H
∂p H(p k,q k+1 ) .
☞ kein Splittingverfahren mehr, trotzdem symplektisch [11, Thm. 3.3] !
Bemerkung 4.4.9 (Partitionierte Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
(4.4.7)
✸
4.4
p. 376

Mit lokal Lipschitz-stetigen f u : D u × D v ↦→ R n , f v : D u × D v ↦→ R n , D u ,D v ⊂ R n
˙u = f u (u,v) ,
ODE:
(4.4.8)
˙v = f v (u,v) .
“Symplektisches Euler-Verfahren” (4.4.7) für (4.4.8):
u 1 = u 0 + hf u (u 1 ,v 0 ) ,
➣ Konsistenzordnung 1. (4.4.9)
v 0 = v 0 + hf v (u 1 ,v 0 ) .
Ansatz: s-stufige partitionierte Runge-Kutta-Einschrittverfahren (für autonome ODE)
⎧
⎪⎨ k u ∑
i = f u (u 0 + h s a u ij ku j ,v ∑
0 + h s a v ij kv j ) ,
j=1
j=1
⎪⎩ k v ∑
i = f v (u 0 + h s a u ij ku j ,v ∑
0 + h s i = 1, ...,s ,
a v ij kv j ) j=1
j=1
⎧
⎪⎨ u 1 = u 0 + s (4.4.10)
∑
b u i ku i ,
i=1
∑
⎪⎩ v 1 = v 0 + s b v i kv i . i=1
Beispiel 4.4.10 (Symplektisches Euler-Verfahren für Pendelgleichung).
AWP für Pendelgleichung wie in Bsp. 4.4.3.
q
11
10
9
8
7
6
5
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
p
Fig. 139
Evolution eines quadratischen Volumens
(Verfahren (4.4.7), links)
q
11
10
9
8
7
6
5
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
p
Fig. 140
Evolution eines quadratischen Volumens
(Verfahren (4.4.7), rechts)
△
4.4
p. 377
4.4
p. 379
in Stufenform, vgl. Bem. 2.3.2:
⎧
⎪⎨ g u ∑
i = u 0 + h s a u ij f u(k u j ,kv j ) ,
j=1
⎪⎩ gi v ∑
= v 0 + h s ,
a v ij f v(k u j ,kv j ) , j=1
Darstellung:
Zwei Butcher-Tableaus:
⎧
∑
⎪⎨ u 1 = u 0 + s b u i f u(k u i ,kv i ) ,
i=1
∑
⎪⎩ u 1 = v 0 + s (4.4.11)
b v i f v(k u i ,kv i ) . i=1
c u
A u
b u,T & cv A v
b v,T
Energieerhaltung des symplektischen partitionierten
Eulerverfahrens (4.4.7) (links) (p(0) =
0, q(0) = 7π 6 ) 0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Gesamtenergie
1.5
1
0.5
Symplektisches Euler-Verfahren
0 0
1
& 1 1 1
Störmer-Verlet-Verfahren
1/2 1/2 0
1/2 1/2 0
1/2 1/2
In Analogie zur Theorie der konventionellen RK-ESV aus Def. 2.3.1:
&
0 0 0
1 1/2 1/2
1/2 1/2
• Bedingungsgleichungen an Koeffizienten für gewünschte Konsistenzordnungen, vgl. Sect. 2.3.2
[11, Sect. II.2]
• Algebraische Bedingungen für Erhaltung quadratischer Invarianten [11, Sect. IV.2.2], vgl.
Lemma 4.1.5, und Symmetrie, vgl. Thm. 4.3.1 [11, Sect. V.2.2],
• Koeffizientenbedingungen für Symplektizität, vgl. Thm. 4.4.11 [11, Sect. VI.4].
4.4
p. 378
t
Fig. 141
Beispiel 4.4.11 (Langzeit-Energieerhaltung bei symplektischer Integration). → Bsp. 4.4.1, 4.4.10,
1.4.14
Hamiltonsche Differentialgleichung (4.4.1) für mathematisches Pendel → 1.2.7 (p ↔ Winkelgeschwindigkeit,
q ↔ Winkelvariable α)
ṗ = − sinq ,
˙q = p
Hamilton-Funktion H(p,q) = 1 2 p2 − cos q (Gesamtenergie) (4.4.1)
Anfangswerte: p(0) = 0, q(0) = 7/6π, Endzeitpunkt T = 5000 p. 380
✸
4.4

Symplektische ESV:
Symplektisches partitioniertes Euler-Verfahren (4.4.7) (links)
Störmer-Verlet-Verfahren (4.4.4), siehe Bem. 4.4.7
Implizite Mittelpunktsregel (4.4.2), siehe Bem. 4.4.7
2-stufiges Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren, siehe Sect. 2.2.1
1
0.5
0
−0.5
Stoermer−Verlet, h = 0.200000
1
0.5
0
−0.5
Explicit trapezoidal rule, h = 0.200000
(uniforme Zeitschrittweite h > 0)
−1
−1
q 2
q 2
−1.5
−1.5
Stärke der Energieschwankungen
E var (h) = max |E h (ih) − E exact | .
i=0,...,T/h
Sympl. Euler E var (h) = O(h) ,
Störmer-Verlet E var (h) = O(h 2 ) ,
Implizite MPR E var (h) = O(h 2 ) ,
Gauss-Koll (s = 2) E var (h) = O(h 4 ) .
Vermutung: E var (h) = O(h p )
(p ˆ= Konvergenzordnung des ESV)
Beispiel 4.4.12 (Federpendel).
energy variation
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6 Gauss coll.(s=2)
implicit midpoint
Stoermer−Verlet
sympl. Euler
10 −7
O(h 4 )
O(h 2 )
O(h)
10 −8
10 −2 10 −1 10 0
h
Fig. 142 ✸
Reibungsfreies Federpendel: Hamilton-Funktion H(p,q) = 1 2 ‖p‖2 + 2 1(‖q‖ − 1)2 + q 2
p. 381
(q ˆ= Position, p ˆ= Impuls)
ṗ = −(‖q‖ − 1) q ( ) 0
‖q‖ − , ˙q = p . (4.4.12)
1
0000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111
0
−0.5
−1
Spring pendulum trajectory
4.4
−2
−2.5
−3
0 < t < 50
1000 < t < 1050
−3.5
−1.5 −1 −0.5 0
q 1
0.5 1 1.5
Fig. 145
Animation
✄
Störmer-Verlet ESV
−2
−2.5
−3
0 < t < 50
1000 < t < 1050
−3.5
−1.5 −1 −0.5 0
q 1
0.5 1 1.5
Fig. 146
Explizite Trapezregel
Symplektischer Integrator: Positionen im “zulässigen Bereich” auch bei Langzeitintegration
Explizite Trapezregel: Trajektorien verlassen bei Langzeitintegration den “zulässigen Bereich” (Energiedrift
!)
Beispiel 4.4.13 (Molekulardynamik). → [5, Sect. 1.2]
Zustandsraum für n ∈ N Atome in d ∈ N Dimensionen:
D = R 2dn
(Positionen q = [q 1 ; ...;q n ] T ∈ R dn , Impulse p = [p 1 , ...,p n ] T ∈ R dn )
Gesamtenergie (Hamilton-Funktion):
3
2.5
Lenard−Jones potential
equilibrium distance
✸
4.4
p. 383
Fig. 143
Trajektorien bei Langzeitevolution ✄
(Chaotisches mechanisches System)
q 2
−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0
q 1
0.8 1
Fig. 144
H(p,q) = 1 2 ‖p‖2 2 + V (q) .
Lenard-Jones-Potential:
✄
n∑ ∑
∥
V (q) = V( ∥q i − q j∥ ∥ ∥2 ) ,
j=1 i≠j
V(ξ) = ξ −12 − ξ −6 . (4.4.13)
H(q)
2
1.5
1
0.5
0
ESV: Störmer-Verlet-Verfahren (4.4.4) (Konsistenzordnung 2), siehe Bem. 4.4.7,
Explizite Trapezregel (2.3.2) (Konsistenzordnung 2).
4.4
p. 382
−0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|q|
Fig. 147
➥ Hamiltonsche Differentialgleichung (→ Def. 1.2.2):
ṗ j = − ∑ V ′ ∥
( ∥q j − q i∥ ∥ q j − q ∥2 ) ∥
i
∥q j − q i∥ ∥
, ˙q j = p j , j = 1,...,n .
i≠j
2
4.4
p. 384

t
t
Störmer-Verlet-Verfahren (4.4.4):
q h (t + 1 2 h) = q h(t) + h 2 p h(t) ,
p j h (t + h) = pj h (t) − h ∑ V ′ ∥
( ∥q j ∥
h (t + 2 1h) − qi h (t + 2 1h) ∥∥2 q j ) h (t + 1 2 h) − qi h (t + 1 2 h)
∥
i≠j
∥q j ∥
h (t + 2 1h) − qi h (t + 1 2 h) ∥∥2
,
100
80
60
Trajektorien der Atome, Verlet, 2000 timesteps
0.6
0.4
0.2
0
Energieanteile, Verlet, 2000 timesteps
kinetische Energie
potentielle Energie
Gesamtenergie
q h (t + h) = q h (t + 1 2 h) + h 2 p h(t + h) .
40
−0.2
Simulation mit d = 2, n = 3, q 1 (0) = 2
1 √ (
2 −1)
, q 2 (0) = 1 (
2√
2
11 )
, q 3 (0) = 2
1 √ (
2
−1 )
1 , p(0) = 0,
Endzeitpunkt T = 100
20
0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −2
0
2
E
−0.4
−0.6
x 1
x 2
−0.8 0 10 20 30 40 50
t
60 70 80 90 100
Beobachtungen:
Völlig unterschiedliche Trajektorien bei Langzeitsimulation mit unterschiedlichen Zeitschrittweiten
h.
Qualitativ richtige Trajektorien in jedem Fall.
4.4
p. 385
4.4
p. 387
Trajektorien der Atome, Verlet, 10000 timesteps
Energieanteile, Verlet, 10000 timesteps
0.6
kinetische Energie
potentielle Energie
100
0.4
Gesamtenergie
80
0.2
60
0
−0.2
40
−0.4
20
2
−0.6
0
0
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 −2
x −0.8
2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x 1 t
E
Energie
10 3 Verlet auf [0,10]: Schwankung der Gesamtenergie
10 2
10 1
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
Variation
Drift
Abstand
10 −4
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Anzahl(Zeitschritte)
Fig. 148
T = 10, d = 2, n = 3, q 1 (0) = 2
1 √ (
2 −1)
, q 2 (0) =
√ (
1
2 2
11 )
, q 3 (0) = 2√ 1 (
2
−1 )
1 , p(0) = 0.
N−1 ∑
Variation = |E tot ((i + 1)h) − E tot (ih)| ,
i=1
Drift = |E tot (T) − E tot (0)| ,
∥
Abstand = max{ ∥q j ∥
h (T) ∥∥2
, j = 1, 2, 3} .
✸
Beispiel 4.4.14 (Vielteilchen-Molekulardynamik). → [22, Sect. 4.5.1]
4.4
p. 386
4.4
p. 388

2D konservatives Vielteilchensystem mit
Lennard-Jones-Potential → Bsp. 4.4.13
9
8
Initial position of atoms, 0K
1.4
1.2
Stoermer−Verlet: 10 x 10 Lenard−Jones atoms
3
2.5
Trapezoidal rule, 10 x 10 Lenard−Jones atoms
h = 0.010000
h = 0.005000
h = 0.002500
h = 0.001250
Anfangspositionen ✄
(Anfangsimpulse = 0 ↔ 0K)
Beobachtet für explizite Trapezregel (2.3.2),
Störmer-Verlet (4.4.4)
q 2
7
6
5
4
3
temperature
1
0.8
0.6
0.4
temperature
2
1.5
1
Approximation der Gesamtenergie H(p,q)
Mittlere kinetische Energie (“Temperatur”)
Animation ✄
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
q 1
Fig. 149
0.2
h = 0.010000
h = 0.005000
h = 0.002500
h = 0.001250
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t
Fig. 152
Symplektischer Integrator: Qualitativ korrektes Verhalten der Temperatur
0.5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t
Fig. 153
✸
Beispiel 4.4.15 (Projektion auf Energiemannigfaltigkeit). → Bsp. 4.4.12
4.4
p. 389
4.4
p. 391
−906
−908
−910
−912
Stoermer−Verlet: 10 x 10 Lenard−Jones atoms
h = 0.010000
h = 0.005000
h = 0.002500
h = 0.001250
−500
−600
Trapezoidal rule, 10 x 10 Lenard−Jones atoms
h = 0.010000
h = 0.005000
h = 0.002500
h = 0.001250
Idee: Korrektur der Energiedrift (bei nichtsymplektischen Integratoren) durch Projektion auf Energiemannigfaltigkeit
total energy
−914
−916
−918
−920
total energy
−700
−800
−900
{(p,q) ∈ R n × R n : H(p,q) = H(p 0 ,q 0 )} . (4.4.14)
Konkret: Orthogonalprojektion (p,q) ↦→ P(p,q) := (p ∗ ,q ∗ ): mit y = ( p
q
)
, bestime λ ∈ R, y ∗ =
( p ∗
q ∗ )
∈ R 2n so, dass
H(y ∗ ) = H 0 , y ∗ = y + λgrad H(y ∗ ) . (4.4.15)
−922
−1000
−924
−926
50
t
90 100
Fig. 150
0 10 20 30 40 60 70 80
−1100
50
t
90 100
Fig. 151
0 10 20 30 40 60 70 80
Projiziertes ESV Ψ h : Orthogonalprojektion nach jedem Schritt: y k+1 = PΨ h y k
Beachte: (4.4.15) nichtlineares Gleichungssystem der Dimension 2n + 1, teuer !
4.4
p. 390
4.4
p. 392

0 200 400 600 800 1000 1200
5
4
Stoermer−Verlet
Explicit TR
Projected TR
spring pendulum integration, h=0.200000
1
0.5
Projected explicit trapezoidal rule, h = 0.200000
Konkrete Anwendung dieser Philosophie auf numerische Integratoren (Einschrittverfahren), siehe [22,
Sect. 5.1]:
0
3
−0.5
total energy
2
q 2
−1
−1.5
Ψ h ˆ= diskrete Evolution eines ESV für ẏ = f(y) ➣ y k+1 = Ψ h (y k )
Finde h-abhängiges Vektorfeld ˜f h :↦→ R d so, dass
1
−2
−2.5
˙ỹ = ˜f h (ỹ) , ỹ(0) = y 0 ⇒ y k = ỹ(hk) . (4.4.16)
0
−1
t
Fig. 154
Warnung: Projektion kein Allheilmittel, siehe [11, Ch. IV, Ex. 4.3]
−3
0 < t < 50
1000 < t < 1050
−3.5
−1.5 −1 −0.5 0
q 1
0.5 1 1.5
Fig. 155
Wunsch:
Modifizierte Differentialgleichung
˜fh , f gehören zur gleichen Klasse von Vektorfeldern, vgl. Bem. 4.4.6
Kleine Störung: ˜fh ≈ f für “kleine” Schrittweiten h > 0
Ψ h strukturerhaltend & “qualitativ genau”:
(y k ) akzeptabel
✸
4.4.3 Rückwärtsanalyse
4.4
p. 393
Rückwärtsanalyse von auf der Grundlage modifizierter Differentialgleichung
erfordert uniforme Zeitschrittweite
Beispiel 4.4.17 (Modifizierte Gleichung für RK-ESV und lineare ODE).
4.4
p. 395
Sect. 1.3.3.5: Berechnung individueller Trajektorien sinnlos für schlecht konditionierte/chaotische
Evolutionen.
lineare ODE (→ Sect. 1.3.2):
ẏ = Ay, A ∈ R d,d
Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.1) mit Stabilitätsfunktion S(z)
Ziel:
Berechnung typischer/wahrscheinlicher Trajektorien
Modifizierte ODE: ˜fh (y) = Ãy , Ã = 1 log(S(hA)) , (4.4.17)
h
für “hinreichend kleines” h > 0.
Bemerkung 4.4.16 (Rückwärtsanalyse (engl. backward error analysis): Philosophische Grundlage).
Hier: log ˆ= “Matrixlogarithmus”:
log(X) = ∞ ∑
k=1
(−1) k−1
k (X − I) k für ‖X − I‖ < 1
“Naturgesetze” (engl. first principles) Parameter/Daten p 1 , ...,p m (unsicher !)
Mathematisches Modell y = M(p 1 , ...,p m )
Beweis von (4.4.17) ( elementar unter Annahme, dass A diagonalisierbar:
T −1 AT = D = diag(µ 1 ,...,µ d )):
∃T ∈ R d,d regulär:
✬
Ziel:
Diskretisiertes Model y h = M h (p 1 ,...,p m )
Genaue, mit den Naturgesetzen verträgliche Lösung y h
✩
Bem. 3.1.5, (3.1.6) ⇒ Für RK-ESV y 1 = S(hA)y 0
(4.4.16)
=⇒ exp(Ãh) = S(hA) mit σ(hA)∩] − ∞, 0] = ∅ für kleines h > 0 . ✸
✫
∃˜p i : ‖p i − ˜p i ‖ ≪ 1: y h = M(˜p 1 , ..., ˜p m )
✪
4.4
△ p. 394
4.4
p. 396

? Modifizierte Gleichung im allgemeinen Fall
✎ Notationen: Φ t ˆ= Evolutionsoperator zur ODE ẏ = f(y),
t ↦→ y(t) ˆ= Lösungstrajektorien von ẏ = f(y) zum Anfangswert y 0 ∈ D.
Definition 4.4.12 (Modifizierte Gleichung der Ordnung q).
Sei Ψ h die diskrete Evolution eines Einschrittverfahrens der Konsistenzordnung p für die ODE
ẏ = f(y) mit lokal Lipschitz-stetigem f : D ⊂ R d ↦→ R d .
Dann ist ˙ỹ = ˜f h (ỹ) mit h-abhängigem, lokal Lipschitz-stetigen ˜f h : D ↦→ R d eine modifizierte
Gleichung der Ordnung q, q > p, wenn
∥
∥˜Φ h hy − Ψ h y∥ ≤ C(y)h q+1 ∀y ∈ D für h → 0 ,
Ziel: Formalisierung der ad-hoc-Konstruktion einer modifizierten Gleichung der Ordnung p + 1 aus
Bsp. 4.4.18
Idee: Rekursive Konstruktion von ˜f h :
Annahme: diskrete Evolution Ψ h konsistent von der Ordnung p mit ẏ = f h (y)
wobei ˜Φ t h der Evolutionsoperator zu ˙ỹ = ˜f h (ỹ) und C : D ↦→ R lokal gleichmässig beschränkt.
Ansatz:
˜fh = f h (y) + h p ∆f(y) (4.4.19)
Modifikatorfunktion
Def. 4.4.12 ˆ= “Das ESV ist konsistent von der Ordnung q mit ˙ỹ = ˜f h (ỹ).” → Def. 2.1.9
Ziel:
˜Φh hy − Ψ h y = O(h p+2 ) für h → 0 (4.4.20)
Beispiel 4.4.18 (Modifizierte Gleichung der Ordnung 2 zu explizitem Euler-Verfahren).
Explizites Eulerverfahren (1.4.2) für ẏ = f(y): y 1 = y 1 (h) = Ψ h y 0 = y 0 + hf(y 0 )
4.4
p. 397
Konkrete Annahme, vgl. (2.4.7):
∃ lokale gleichmässig beschränktes d : D ↦→ R d mit
4.4
p. 399
Vergleich mit Taylorentwicklung (um 0) (2.3.14) der exakten Lösung y(t):
y(h) = y 0 + f(y 0 )h + 1 2 Df(y 0)f(y 0 )h 2 + O(h 3 ) für h → 0 . (4.4.18)
“störender Term ☞ zu “verschieben” in ˜f h
τ(y 0 , h) := Φ h h y 0 − Ψ h y 0 = d(y 0 )h p+1 + O(h p+2 ) für h → 0 , ∀y 0 ∈ D . (4.4.21)
Konsistenzfehler → Def. 2.1.7, (Φ t h ˆ= Evolutionsoperator zu ẏ = f h(y))
(4.4.20): Bestimme ∆f so, dass Lsg. von ˙ỹ = ˜fh (ỹ), ỹ(0) = y 0
˜Φ h hy − Ψ h y = ỹ(h) − y 1 = O(h p+2 ) für h → 0 . (4.4.22)
Modifizierte Gleichung der Ordnung 2:
˙ỹ = ˜f h (ỹ) := f(ỹ) − 1 2 hDf(ỹ)f(ỹ)
denn aus (4.4.18), für h → 0
f glatt
⇒
ỹ(h) = y 0 + ˜f h (y 0 )h + 1 2 D˜f h (y 0 )˜f h (y 0 )h 2 + O(h 3 )
˜Φh hy 0 − y 1 (h) = O(h 3 ) ,
= y 0 + hf(y 0 ) − 1 2 h21 2 Df(y 0)f(y 0 ) + 1 2 Df(y 0)f(y 0 )h 2 + O(h 3 )
= y 0 + hf(y 0 ) + O(h 3 ) = Ψ h y 0 + O(h 3 ) .
✸
Taylorentwicklung um h = 0, vgl. (2.3.14), benutze Dgl. und Kettenregel: Für h → 0
∑p+1
h
ỹ(h) = y 0 +
j!ỹ(j) j
(0) + O(h p+2 ∑p+1
h j d j−1
) = y 0 +
j! dt j−1˜f h (ỹ(t)) + O(h p+2 )
|t=0
k=1
k=1
= y 0 + h˜f h (y 0 ) + 1 2 h2 D˜f h (y 0 )˜f h (y 0 )
+ 1 6 h3( D 2˜fh (y 0 )(˜f h (y 0 ),˜f h (y 0 )) + D˜f h (y 0 )D˜f h (y 0 )˜f h (y 0 ) ) + · · · + O(h p+2 )
= y 0 + hf h (y 0 ) + h p+1 ∆f(y 0 ) + 1 2 h2 Df h (y 0 )f h (y 0 )
+ 1 6 h3( D 2 f h (y 0 )(f h (y 0 ),f h (y 0 )) + Df h (y 0 )Df h (y 0 )f h (y 0 ) ) + · · · + O(h p+2 ) ,
da “O(h p )-Modifikation” in (4.4.19), z.B.
Durchwegs “stillscheigende Annahme”: f “hinreichend glatt” ⇒ Φ t ,Ψ h “hinreichend glatt”
4.4
p. 398
h 2 D˜f h (y 0 )˜f h (y 0 ) = h 2( Df h (y 0 ) + h p D∆f(y 0 ) ) (f h (y 0 ) + h p ∆f(y 0 ))
= h 2 Df h (y 0 )f h (y 0 ) + O(h p+2 ) .
4.4
p. 400

➣ Beobachtung: Taylorentwicklung von t ↦→ Φ t h V y 0 um t = 0 ist enthalten !
Versuch:
ỹ(h) = Φ h h y 0 + h p+1 ∆f(y 0 ) + O(h p+2 )
(4.4.21)
= Ψ h y 0 + h p+1 d(y 0 ) + h p+1 ∆f(y 0 ) + O(h p+2 ) .
(4.4.22) erfüllt durch ∆f(y) := −d(y) ! (4.4.23)
Reihenansatz für Vektorfeld der modifizierten Gleichung:
˜fh (y) = f(y) + h p ∆f p (y) + h p+1 ∆f p+1 (y) + h p+2 ∆f p+2 (y) + . .. . (4.4.24)
➣ Modifikatorfunktionen ∆f l , l ∈ N, aus rekursiver Konstruktionsvorschrift
˜Φh h,l−1y − Ψ h y
(4.4.23) ⇒ ∆f l (y) = − lim h→0 h l+1 , (4.4.25)
Explizites Euler-Verfahren (1.4.2): y 1 = y 0 + hf(y 0 )
˜f(y) = y 2 − h
}{{}
y 3 +h 2 3/2 y 4 −h
} {{ }
3 8/3 y 5 +h
} {{ }
4 31 6 y6 −h 5 157
−∆f
}{{} } 15{{ y7
}
1 ∆f 2 −∆f 3 ∆f 4 −∆f 5
+ h 6 649
} 30{{ y8 −h 7 9427
} 210 y9 +h 8 19423
} {{ } 210 y10 −h 9 6576
} {{ } 35 h9 y 11 +O(h 10 ) .
} {{ }
∆f 6 −∆f 7 ∆f 8 −∆f 9
Implizites Euler-Verfahren (1.4.9): y 1 = y 0 + hf(y 1 )
(In MAPLE code: res := ytilde-y-h*fcn(ytilde))
˜f(y) = y 2 + hy 3 + 3/2 h 2 y 4 + 8/3h 3 y 5 + 31 6 h4 y 6 + 157
15 h5 y 7 + 649
30 h6 y 8
+ 9427
210 h7 y 9 + 19423
210 h8 y 10 + 6576
35 h9 y 11 + O(h 10 )
Implizite Mittelpunktsrregel (1.4.11): y 1 = y 0 + hf( 2 1(y 0 + y 1 ))
(In MAPLE code: res := ytilde-y-h*fcn(0.5*(y+ytilde))
˜f(y) = y 2 + 1 4 h2 y 4 + 1 8 h4 y 6 + 0.057291667h 6 y 8 + 0.02343750000h 8 y 10 + O(h 10 ) .
mit
˜Φt h,l ˆ= Evolutionsoperator zur ODE
˙ỹ = ˜f h,l (ỹ) := f(y) + h p ∆f p (y) + h p+1 ∆f p+1 (y) + h p+2 ∆f p+2 (y) + ... + h l ∆f l (y) . (4.4.26)
4.4
p. 401
☞ Nur gerade Potenzen von h, vgl. Beweis zu Thm. 2.1.15, Thm. 2.4.4
✸
4.4
p. 403
Bemerkung 4.4.19 (Berechnung der Modifikatorfunktionen ∆f j durch Computeralgebra).
MAPLE-Code: Berechnung der ∆f j
fcn := y ->f(y) :
N := q :
fcoe [1] := fcn(y):
for n from 2 by 1 to N do
modeq := sum(hˆj*fcoe [j+1], j=0..n-2):
diffy [0] := y:
for i from 1 by 1 to n do
diffy [i] := diff(diffy[i-1],y)*modeq:
od:
ytilde := sum(hˆk*diffy[k]/k!, k=0..n):
res := ytilde-y-h*fcn(y):
tay := convert(series(res,h=0,n+1),polynom):
fcoe [n] := -coeff(tay,h,n):
od:
simplify(sum(hˆj*fcoe[j+1],j=0..N-1));
ESV:
Explizites Euler-Verfahren
✁ MAPLE-code [10]:
Berechnung der
Modifikatorfunktionen ∆f l
für skalare ODE ẏ = f(y).
Ausgabe der Reihe (4.4.24)
bis zum q. Term.
∞∑
Problem: Potenzreihe (in h) h k ∆f k (y) möglicherweise divergent
k=1
∀h > 0 (↔ Konvergenzradius = 0)
Interpretation von (4.4.24) als asymptotische Entwicklung von ˜f h , siehe Def. 2.4.1
Beispiel 4.4.21 (Bedeutung der modifizierten Gleichungen niedriger Ordnung).
Anfangswertproblem für logistische Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.2.1
ẏ = λy(1 − y) , y(0) = 0.01 .
ESV: Explizites Euler-Verfahren (1.4.2), vgl. Bsp. 1.4.3, Modifikatorfunktionen aus (4.4.24)
∆f 1 (y) = λ 2( −1/2 y + 3/2 y 2 − y 3) , ∆f 2 (y) = λ 3( − 11
6 y2 + 3 y 3 − 3/2y 4 + 1/3 y ) .
△
Beispiel 4.4.20 (Modifikatoren für einfache ESV).
4.4
Skalare Differentialgleichung: ẏ = y 2 → Bsp. 1.3.3 p. 402
ESV: Implizites Euler-Verfahren (1.4.9), vgl. Bsp. 1.4.5, Modifikatorfunktionen aus (4.4.24)
∆f 1 (y) = λ 2( 1/2 y − 3/2 y 2 + y 3) , ∆f 2 (y) = λ 3( − 11 6 y2 + 3 y 3 − 3/2 y 4 + 1/3 y ) 4.4
p. 404

y
y
1
Expl. Euler
y(t)
y 1
(t)
y (t) 2
Explicit Euler h=0.050000, logistic ODE, λ=10.000000
1
Impl. Euler
y(t)
y 1
(t)
y (t) 2
Implicit Euler h=0.050000, logistic ODE, λ=10.000000
• Wenn ja, ist die rechte Seite dieser modifizierten Gleichung nahe bei der rechten Seite der Ausgangsgleichung.
0.8
0.8
0.6
0.6
Strategie: Was wollen wir ?
0.4
0.2
0.4
0.2
☞ Lemma 4.4.13: Familie modifizierter Gleichungen ˙ỹ = ˜f h,l (ỹ),
y k+1 = Ψ h y k , d.h.
konsistent mit dem ESV”
”
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 156
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 157
Konsistenzfehler τ(y,h) := Ψ h y − ˜Φ h h,ly → 0 für h → 0 .
Die Euler-Verfahren für y = f(y) liefern eine bessere Approximation für die Lösungen von
ẏ = ˜f 1,h (y) = f(y) + h∆f 1 (y) und ẏ = ˜f 1,h (y) = f(y) + h∆f 1 (y) + h 2 ∆f 2 (y) .
Betrachte abgeschnittene modifizierte Gleichung !
Idee: Erinnerung an Beweis des Konvergenzsatzes für ESV, Thm. 2.1.10
(vgl. auch Beweis von Thm. 2.1.13 und das ”
diskrete Gronwall-Lemma” Lemma
2.1.11)
‖y k − ỹ(kh)‖ ≤ 1 ∥
max ∥τ(y
h
j , h) ∥ exp(Lhk) − 1 . (4.4.27)
j=0,...,k−1
L
✬
Lemma 4.4.13 (“Abgeschnittene” modifizierte Gleichung).
Mit Modifikatorfunktionen ∆f i gemäss (4.4.25) für die ODE ẏ = f(y) und das ESV mit
diskreter Evolution Ψ h (der Konsistenzordnung p) wie oben definiert, ist
✸
4.4
p. 405
✩
(L > 0: Lipschitz-Konstante der Inkrementfunktion des ESV, ỹ ˆ= Lösung der modifizierten
Gleichung)
Exponentielles Wachstum der Konstanten in (4.4.27) für hk → ∞ !
( ∥ ∥τ(y j ,h) ∥ ∥ = O(h l+2 ) liefert keine sinnvollen Abschätzungen bei Langeitintegration)
4.4
p. 407
✫
˙ỹ = ˜f h,l (ỹ) := f(ỹ) + h p ∆f p (ỹ) + h p+1 ∆f p+1 (ỹ) + · · · + h l ∆f l (ỹ) ,
eine modifizierte Gleichung der Ordnung l + 1, l > p (→ Def. 4.4.12)
✪
JEDOCH:
Wenn Konsistenzfehler ”
exponentiell klein”
100
γ = 1, L = 1
Beweis. Der Beweis ergibt sich aus der rekursiven Konstruktion der ∆f l , siehe (4.4.21), (4.4.22),
(4.4.23).
‖τ ‖ ≤ Ch exp(−γ/h) , γ > 0 . (4.4.28)
log of bound
0
−100
−200
−300
−400
−500
‖y k − ỹ(kh)‖
−600
10 2
4.4.4 Modifizierte Gleichungen: Fehleranalyse
≤ C exp(−γ/h + hkL) . (4.4.29)
10 1
final time T = hk
10 0
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
h
Im Sinne der Rückwärtsanalyse (→ Bem. 4.4.16) des Lanzeitverhaltens von Einschrittverfahren ist
zu untersuchen:
Verhalten der Schranke aus (4.4.29)
• Gibt es eine (strukturerhaltende) modifizierte Gleichung, der Lösung für lange Zeiten nahe bei
der numerische Lösung (Gitterfunktion (y k ) k ) bleibt.
4.4
p. 406
4.4
p. 408

final time T = hk
γ = 1, L = 1
10 2 Contours for 0.1, 0.01, 0.001
10 1
Schranke ≥ 0.1
maximal final time T
10 2
10 1
γ = 1, L = 1, C = 1
bound < 0.1
bound < 0.01
bound < 0.001
f(y) = J −1 gradH(y) holomorph in D ⇔ H(y) holomorph in D
(mit jeweils gleicher unterer Schranke R für Konvergenzradius auf Kompakta)
Mathematisches Pendel, Bsp. 4.4.3: H(p,q) = 2 1p2 − cos q
➣ D = R 2 , R = ∞ (ganze Funktion !)
Federpendel, Bsp. 4.4.12: H(p,q) = 1 2 ‖p‖2 + 2 1 (‖q‖ − 1)2
➣ D = R 4 , R = dist(K, {q = 0}) (H nicht holomorph in q = 0)
Schranke ≤ 0.001
10 0
10 0
10 −2 10 −1
h
Fig. 158
10 3 h
Beachte: H(p,q) jeweils analytisch in Umgebungen physikalisch sinnvoller Trajektorien !
10 −1
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 159
Aus (4.4.29) lesen wir ab:
γ
h <
TL − log(τ/C)
⇒ ‖y k − ỹ(kh)‖ ≤ τ für 0 ≤ kh ≤ T .
Schrittweite h ”
klein” ⇒ Numerische Lösungy k bleibt lange in der Nähe der Trajektorie t ↦→ ỹ(t)
(Präzisere Diskussion in Bem. 4.4.23)
✎ Notation: ˜Φt h,l ˆ= Evolutionsoperator zu ˙ỹ = ˜f h,l (ỹ), vgl. Lemma 4.4.13
✸
4.4
p. 409
✬
✩
4.4
p. 411
Wir sind frei in der Wahl der Abschneideindex l !
Frage: Was ist die beste abgeschnittene modifizierte Gleichung ?
Zur Beantwortung brauchen wir Konzepte/Hilfsmittel aus der Funktionentheorie !
Theorem 4.4.14 (Konsistenzfehlerabschätzung für abgeschnittene modifizierte Gleichungen).
Sei Ψ h die diskrete Evolution eines zu ẏ = f(y) konsistenten (partitionierten) Runge-Kutta-
Einschrittverfahrens. Unter der Analytizitätsvoraussetzung gibt es für jedes Kompaktum K ⊂ D
Konstanten C 1 ,C 2 > 0 und ein h 0 ∈]0, ∞] so, dass
∥
∥Ψ h y − ˜Φ h h,ly∥ ≤ C 1 h(C 2 (l + 1)h) l+1 ∀y ∈ K, ∀l ∈ N , ∀|h| ≤ h 0 . (4.4.30)
Analytizitätsvoraussetzung
für jedes Kompaktum K ⊂ D gibt es ein R = R(K) > 0, so dass f(y) in jedem y ∈ K in
jeder Komponente von y eine Potenzreihenentwicklung mit Konvergenzradius > R besitzt.
⇔ f ist holomorph in D
✫
Hilfsmittel bei Beweis: Differentialgleichung in C → [27, Kap. I, §8]
✬
Theorem 4.4.15 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Dgl. in C).
Ist f : D ⊂ C ↦→ C in einer Umgebung B ρ (z 0 ) := {z ∈ C : |z − z 0 | < ρ} ⊂ D von
z 0 ∈ D holomorph und |f(z)| ≤ M für alle z ∈ B ρ (z 0 ), dann existiert genau eine auf B ρ/M (0)
holomorphe Lösung y des Anfangswertproblems
✪
✩
✎
Erklärung: Potenzreihenentwicklung um y = (y 1 ,...,y d ) T in der j. Komponente
∞∑
f(y 1 , . ..,y j−1 , y,y j+1 , ...,y d ) = a k (y)(y − y j ) k für |y − y j | < R .
k=0
✫
Notation:
y ′ (z) = f(y(z)) ∀z ∈ B ρ/M (0) , y(0) = z 0 .
′ ˆ= komplexe Differentiation
✪
Beispiel 4.4.22 (Analytizitätsvoraussetzung für Hamiltonsche Differentialgleichungen). p. 410
4.4
4.4
p. 412

✬
Lemma 4.4.16. Ist f holormph in einer Umgebung von B ρ (0), |f(z)| ≤ M für alle z ∈ B ρ (0)
und f(0) = · · · = f (p) (0) = 0, p ∈ N 0 , dann gilt
✫
Beweis. Auf B ρ (0):
|f(z)| ≤ M|z| p+1 ρ −(p+1) ∀z ∈ B ρ (0) .
konvergente Potenzreihenentwicklung
∞
f(z) = z p+1 ∑
a j z j
j=0
} {{ }
=:g(z)
, |g(z)| ≤ M für |z| = ρ .
ρp+1 g holomorph auf B ρ (0) ⇒ |g| nimmt Maximum auf Rand |z| = ρ an (Maximumprinzip). ✷
✩
✪
Im Folgenden: betrachte komplexe “Zeitschrittweiten” h ∈ C, 0 < α < 1 fest gewählt.
Aus der Abschätzung für Wegintegrale im Komplexen
∫ M := max |f(z)| ⇒ z∈B R (D) |Φh h
z − z| =
f(Φ τ ) dτ
∣ 0 ∣ ≤ M|h| ,
Schranke für |h|:
⇒ |Ψ h z − z| = |hf(z)| ≤ M|h| .
Wenn z ∈ B αR (D) & |h| ≤ (1−α) R M , 0 ≤ α < 1
dann bleibt die Trajektorie ξ ↦→ Φ ξh z, 0 ≤ ξ ≤ 1,
in B R (D) !
∀z ∈ B αR (D)
|h| klein.
(4.4.31)
D
αR
z
Φ h z Fig. 161
Blosse Beschränktheit auf einer Nullumgebung einer holomorphen Funktion f mit |f(z)| =
O(|z| p+1 ) genügt bereits, um das Abfallverhalten für z → 0 genau zu charakterisieren!
⇒
(1 − α)R
|h| ≤ h 1 :=
M
(
(1 − α)R
|h| ≤ ⇒
M
⇒ |Φh y − y| ≤ (1 − α)R ,
|Ψ h ∀y ∈ B αR (D)
y − y| ≤ (1 − α)R .
)
|Φ h y − Ψ h y| ≤ 2(1 − α)R ∀y ∈ B αR (D) . (4.4.32)
Beweis von Thm. 4.4.14 ☞ für skalaren Fall d = 1, ẏ = f(y), D =]a,b[⊂ R Intervall,
4.4
☞ für explizites Euler-Verfahren (1.4.2): Ψ h y = y + hf(y) p. 413
Anwendung von Lemma 4.4.16 auf g(h) = Φ h y − Ψ h y:
g holomorph in B (1−α)R/M (0)
4.4
p. 415
(Beweis nach S. Reich 1999, siehe [25, Thm. 2])
Annahme:
f holomorph in Umgebung von
B R (D) := {z ∈ C: ∃x ∈ D : |z − x| ≤ R}
Ziel, vgl. (4.4.30):
Abschätzung des Konsistenzfehlers ˜Φ h h,l (y) − Ψh (y) für modifizierte
Gleichungen der Ordnung l + 1 (→ Def. 4.4.12)
⇕ ← (4.4.23)
Abschätzung der Modifikatorfunktionen ∆f l !
D
R
Fig. 160
g beschränkt durch 2(1 − α)R auf B (1−α)R/M (0)
⇒
( )
|Φ h y − Ψ h y| ≤ 2(1 − α)R|h| 2 (1 − α)R −2
M
( )
≤ 2M|h| 2 M
∀y ∈ B
(1 − α)R αR (D) ,
(4.4.33)
da g(h) = O(h 2 ) (Euler-Verfahren Konsistenzordnung 1), so dass g(0) = g ′ (0) = 0.
∣ (4.4.25)
⇒ |∆f 1 (y)| =
∣ lim Φ h y − Ψ h y ∣∣∣∣ ( )
(4.4.33) M
h→0 h 2 ≤ 2M
∀y ∈ B
(1 − α)R αR (D) . (4.4.34)
Wir haben nun gesehen, wie man unter der Analytizitätsannahme an die rechte Seite f eine
Abschätzung für die erste Modifikatorfunktion erhalten kann. Benötigt wird eine Schranke für f in
einer kompakten Umgebung B R (D) ⊂ C.
Schritt I: Abschätzung für Modifikatorfunktion ∆f 1
(auch zur Demonstration der Technik)
Die rekursive Konstruktion der Modifikatorfunktionen gemäss (4.4.25) legt nun folgendes Vorgehen
nahe:
! Interpretation von ẏ = f(y) als Differentialgleichung in C → Thm. 4.4.15 :
f holomorph ⇒ Lösungen t ↦→ y(t) analytisch (in Umgebung von 0) ⇒ fortsetzbar nach C
⇒ Evolution Φ t : B R (D) ↦→ C holomorph (für hinreichend kleines |t|)
4.4
p. 414
➀ Unter Verwendung von Abschätzungen für die Modifikatorfunktionen ∆f j , 1 ≤ j ≤ l, leite eine
Abschätzung für die rechte Seite ˜f h,l der modifizierten Gleichung (4.4.26) aus Lemma 4.4.13 her.
Ebenso wie alle Modifikatorfunktionen wird auch ˜f h,l analytisch in einer Umgebung von D sein.
4.4
p. 416

➁ Benutze die Schranke für ˜f h,l , um mit gleichen Techniken wie oben für ∆f 1 die nächste Modifikatorfunktion
∆f l+1 abzuschätzen.
➂ Mache weiter mit ➀
Erinnerung an unser Ziel (4.4.35) für ”
l ← l + 1”. Wegen
müssen wir also zeigen:
∆f l+1 (y) = − lim h→0
˜Φ h h,l y − Ψh y
h l+2 , (4.4.25)
Rekursive Abschätzung ←→ Induktionsbeweis
Herausforderung: Formulierung einer geeigneten Induktionsannahme, vgl. (4.4.34).
(
|˜Φ h h,l y − Ψh y| ≤ |h| l+2 c(l + 1)M
) l+1|h|
bM
bMh
(1 − α)R
l h −(l+2)
l
} {{ }
∀y ∈ B αR (D) (4.4.37)
=h −1
l !
Beachte: (4.4.37) ⇒ Behauptung des Theorems mit C 1 = bM, C 2 = cM
(1−α)R !
Schritt II. Induktionsbeweis: Induktionsannahme: Es gibt l-unabhängige b > 0, c > 0, so dass
( ) clM l
∀l ∈ N: max |∆f l(y)| ≤ bM
∀y ∈ B
y∈B αR (D) (1 − α)R αR (D) , ∀0 ≤ α < 1 . (4.4.35)
Beachte: per constructionem, Lemma 4.4.13: ˜Φh h,l y − Ψ h y = O(h l+2 ) für h → 0
Lemma 4.4.16 ⇒ Da h ↦→ ˜Φ h h,l y − Ψh y analytisch, genügt es zu zeigen
Die Konstanten b,c werden dann später geeignet festgelegt.
|˜Φ h h,l y − Ψh y| ≤ h l bM ∀h ∈ B hl (0) , ∀y ∈ B αR (D) . (4.4.38)
Dann Dreiecksungleichung wie in (4.4.32) & Abschätzung analog zu (4.4.31):
Induktionsbeginn “l = 0” ⇔ (4.4.34)
4.4
p. 417
|˜Φ h h,ly − y| ≤ |h| max | ˜f h,l (y)| ∀y ∈ B αR (D), |h| hinreichend klein”. (4.4.39)
y∈B α ∗ R (D) ”
4.4
p. 419
Induktionsschritt “l ⇒ l + 1”: (0 < α < 1 fixiert!)
Was brauchen wir ?
(|Ψ h y − y| ≤ M|h| wie oben)
| ˜f h,l (y)| ≤|f(y)| + |h||∆f 1 (y)| + |h| 2 |∆f 2 (y)| + · · · + |h| l |∆f l (y)|
2M
l∑
( )
≤M + |h|
(1 − α)R + bM |h| j jcM j
∀y ∈ B
, αR (D) ,
(1 − α)R ∀0 < α < 1 .
j=2
aus (4.4.34) nach Induktionsannahme (4.4.35)
? Nötig: Schranke für | ˜f h,l (y)| in einer Umgebung von B αR (D)
max
y∈B α ∗ R (D) | ˜f h,l (y)| ≤ (b − 1)M,
h l · max | ˜f h,l (y)| ≤ δ(1 − α)R, damit die Trajektorie z ↦→ ˜Φ z
y∈B
h,l y in B α ∗ R(D) bleibt, wenn
α ∗ R
|z| ≤ h l (Beachte: B αR (D) ⊂ B α ∗ R(D)).
Idee:
⇒
∀α” in (4.4.35) ➣ nutze Freiheit in der Wahl von α !
”
α ∗ := α + δ(1 − α) ∈]δ, 1[ ⇒ 1 − α ∗ = (1 − α)(1 − δ) , α ∗ > α .
max | ˜f 2M
l∑
(
h,l (y)| ≤ M + |h|
y∈B α ∗ R (D) (1 − α)(1 − δ)R + bM j=2
Versuch: Vereinfachung durch Beschränkung von |h|: |h| ≤ h l :=
⇒
max | ˜f
(
h,l (y)| ≤ M 1 +
y∈B α ∗ R (D)
2
l∑
(
c(l + 1)(1 − δ) + b
j=2
jcM|h|
(1 − α)(1 − δ)R
j
(l + 1)(1 − δ)
(1 − α)R
(l + 1)cM
) j
.
) j)
. (4.4.36)
4.4
p. 418
Dazu müssen wir die Parameter in (4.4.36) geeignet wählen!
Wir sind ”
frei” in der Wahl von δ ∈]0, 1[ ! ➣ δ := b − 1
c
(4.4.36)
⇒
1
·
l + 1
⇒
h l (b − 1)M = δ(1 −α)R
max | ˜f
(
2
l∑
( )
h,l (y)| ≤ M 1 +
y∈B α ∗ R (D) c(l + 1) − b + 1 + b jc j)
.
c(l + 1) − b + 1
j=2
} {{ }
=:Γ(b,c,l)
Frage: Gibt es b, c > 0 (b − 1 < 2c) so, dass max l∈N ? 4.4
p. 420

1
1
0
Für Beweis von Thm. 4.4.14:
Γ(b, c, ell)
22
20
18
16
14
12
Γ(b, c,l) := 1 +
Verhalten von
2
l∑
c(l + 1) − b + 1 + b
b=20, c=300
b=20, c=100
b=10,c=10
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
l
Fig. 162
c
400
350
300
250
200
150
100
50
j=2
(
)
jc j
:
c(l + 1) − b + 1
2 2 2 2
1
5 10 15 20 25 30
b
Fig. 163
0
Γ(b, c, l) < b − 1
1
−1
0
Verhalten der Schranke aus Thm. 4.4.14
Mögliche Divergenz der asymptotischen Entwicklung
(4.4.24) manifestiert sich in C 1 h(C 2 (l +
1)h) l+1 → ∞ für l → ∞.
Optimaler Abbruchindex:
[ ] 1
l opt ≈ . (4.4.42)
C 2 eh
✄
((l+1)C 2
h) (l+1)
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 −16
C 2
h = 0.1
10 −18 C h = 0.05
2
C 2
h = 0.01
10 −20
10 0 10 1 10 2
10 0 l
Fig. 164
Linker Plot: l ↦→ Γ(b, c,l) ➣ eindeutiges Maximum für kleines l
Rechter Plot: Konturen von (b,c) ↦→ max l Γ(b,c,l) − b + 1
4.4
p. 421
4.4
p. 423
Aus den Plots lesen wir ab: mögliche Wahl c = 300, b = 20 ∀l.
10 −2
40
35
10 0 1/C 2
h
Dann weiter wie zuvor skizziert, siehe (4.4.38), (4.4.39):
⇒ |˜Φ h h,ly − y| ≤ M(b − 1)|h| ,
⇒
|˜Φ h h,l y − Ψh y| ≤ bM|h|
für |h| ≤ h l , ∀y ∈ B αR (D) , (4.4.40)
Beachte: ˜Φ h h,l y − Ψh y = O(h l+2 ) nach Konstruktion der Modifikatorfunktionen und holomorph in
Umgebung von 0. Mit Formel für h l , o.B.d.A. 0 < h l < 1,
optimal consistency error bound
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
optimal truncation index
30
25
20
15
10
5
Lemma 4.4.16
⇒
|˜Φ h h,l y − Ψh y| ≤ bM
Mit (4.4.25) folgt die Induktionsbehauptung für l + 1.
( ) |h| l+2 ( )
≤ bM|h| l+2 c(l + 1)M l+1
. (4.4.41)
h l (1 − α)R
10 −16
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Fig. 165
✎ Notation: [x] ˆ= ganzzahliger Anteil von x > 0
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1/C 2
h
Fig. 166
4.4
Behauptung des Theorems mit C 1 = bM, C 2 = cM R (Fall α = 0) folgt ebenfalls aus (4.4.41) ✷ p. 422
∥
∥Ψ h y − ˜Φ h h,l opt
y∥ ≤ C 1 h exp(−l opt ) ≤ C 1 h exp(−γ/h) , γ := 1
C 2 e > 0 . (4.4.43)
4.4
Schranke exponentiell klein für h → 0, vgl. (4.4.28) p. 424
(4.4.42) ergibt sich aus Kurvendiskussion von x ↦→ (ax) x , x > 0.

Beachte: (4.4.43) ↔ Konsistenzfehlerabschätzung (2.1.6)
T < γ
Lh ⇒
“exponentiell kleiner” Fehler des Einschrittverfahrens
bzgl. der optimal abgeschnittenen modifizierten Gleichung
Nun leiten wir eine Abschätzung für die Abweichung der numerischen Lösung von der
Lösungstrajektorie der optimal abgeschnittenen modifizierten Gleichung ˙ỹ = ˜f h,lopt (ỹ) her,
vgl. (4.4.27).
Nächster Punkt: Entsteht die optimal abgeschnittene modifizierte Gleichung wirklich durch eine ”
kleine”
Störung der ursprünglichen ODE?
Betrachte: AWP ẏ = f(y) y(0) = y 0 ∈ D auf [0,T], Endzeitpunkt T ∈ J(y 0 )
✬
Lemma 4.4.18 (Störungsabschätzung für optimal abgeschnittene modifizierten Gleichung).
Neben den Voraussetzungen von Thm. 4.4.14 (Analytizitätsannahme) gibt es für jedes Kompaktum
K ⊂ D eine von (hinreichend kleinem) h > 0 unabhängige Konstante C > 0 so, dass
✩
✎ Notationen: ỹ ˆ= Lösung des AWP ˙ỹ = ˜f h,lopt (ỹ), ỹ(0) = y 0
(l opt aus (4.4.42) mit C 2 aus Thm. 4.4.14 bzgl. K)
(
)
yk
((Ψ h
)k := h ) k y 0
k , k ∈ {0, . ..,[ T/h]}: Gitterfunktion erzeugt durch das
Einschrittverfahren mit Schrittweite h > 0 (numerische Näherungslösung)
✫
Beweis.
∥
∥˜f h,l (y) − f(y) ∥ ≤ Ch p ∀y ∈ K , ∀l ∈ N .
Ergänzung zum Beweis von Thm. 4.4.14, siehe die dort gemachten Annahmen und verwendeten
Notationen. Ausführungen für das explizite Euler-Verfahren, d.h. p = 1.
✪
✬
✩
4.4
p. 425
4.4
p. 427
Lemma 4.4.17 (Konvergenz der optimal abgeschnittenen modifizierten Gleichung).
Es gebe eine kompakte Umgebung K ⊂ D von y 0 , so dass yk h ∈ K für alle k ∈ N,
wenn h hinreichend klein.
Es gelten die Voraussetzungen von Thm. 4.4.14 (Analytizitätsannahme).
✫
Die diskrete Evolution zum ESV besitze die Darstellung Ψ h y = y + hψ(y,h) mit einer
auf K gleichmässig Lipschitz-stetigen Inkrementfunktion ψ, d.h., vgl. 2.1.10,
∃L > 0: ‖ψ(z, h) − ψ(w,h)‖ ≤ L ‖z − w‖
∀z,w ∈ K, |h| hinreichend klein.
Dann gibt es h 0 > 0 und von h 0 unabhängige Konstanten C > 0, γ > 0 so, dass
∥
∥ỹ(hk) − yk
h ∥ ≤ C(exp(hkL) − 1) exp(−γ/h) ∀k ∈ {0,...,[T/h]} , ∀0 < h < h 0 .
Beweis.
Siehe (4.4.27) und die dortigen Bemerkungen:
✪
Aus der Definition von ˜f h,l , → Lemma 4.4.13,
˜f h,l (y) − f(y) =
l∑
h j ∆f j (y) .
Idee: Verwende Abschätzung der Modifiktorfunktionen ∆f j aus dem Beweis von Thm. 4.4.14
Konkret: aus (4.4.35) mit α = 0
⎛
⎞
| ˜f h,l (y) − f(y)| ≤ |h| ⎝ 2M l∑
( )
R + bM |h| j−1 jcM j
⎠ .
R
j=2
R
|h| ≤
(l + 1)2cM ⇒ | ˜f
( 2M
h,l (y) − f(y)| ≤ |h|
R + 2bcM2 l∑
( )
2 −j j + 1 j )
j .
R l + 1
j=2
} {{ }
beschränkt
j=1
Der Beweis von Thm. 2.1.10 kann fast unverändert übertragen werden, nachdem (2.1.9) durch
(4.4.43) ersetzt worden ist. Siehe auch Sect. 2.1.4 für die Beweistechnik. ✷
4.4
p. 426
4.4
p. 428

0.8
Beispiel 4.4.24 (Modifizierte Gleichung für symplektisches Euler-Verfahren). → [22, Sect. 5.1.2]
Summe
l ↦→
l∑
2 −j j
j=2
✄
( ) j + 1 j
(4.4.44)
l + 1
Summe (4.4.44)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
l
Fig. 167
Also: | ˜f h,l (y) − f(y)| ≤ Ch für kleines h, ∀y ∈ K, mit C > 0 unabhängig von l. ✷
Das Vektorfeld der optimal abgeschnittenen modifizierten Gleichung ist “O(h p )-nah” zu f
Bemerkung 4.4.23 (Schrittweitenbedingungen für ”
Langzeitintegration”).
Betrachte AWP
ẏ = f(y), y(0) = y 0 , auf [0,T] ⊂ J(y 0 ), f holomorph.
ESV y 1 = Ψ h y 0 der Konsistenzordnung p ∈ N. p. 429
Schrittweitenbedingung für genaue numerische Lösung (‖y(hk) − y k ‖ klein) auf [0, T]
Thm. 2.1.10 ⇒ h p exp(LT) ≪ 1 ⇒ h = O(exp(−T/p)) .
Schrittweitenbedingung für akzeptable (∗) numerische Lösung (‖ỹ(hk) − y k ‖ klein) auf [0, T]
Lemmas 4.4.17, 4.4.18 ⇒ h < γ
LT ⇒ h = O(T −1 ) .
(∗) ”
generisch akzeptabel” bzgl. allgemeiner additiver Störungen von f. (Schärfer: strukturerhaltend
akzeptabel, siehe Anfang von Sect. 4.4.3)
△
4.4
Separierte Hamilton-Funktion mit Potential U : R n ↦→ R, vgl. (1.2.16)
Hamiltonsche Differentialgleichung:
H(p,q) := 1 2 ‖p‖2 + U(q) , p,q ∈ R n .
ṗ = −grad U(q) , ˙q = p . (4.4.45)
➀ Explizites Euler-Verfahren für (4.4.45), Schrittweite h > 0 (Konsistenzordnung 1):
p 1 = p 0 − hgradU(q 0 ) , q 1 = q 0 + hp 0 .
Taylorentwicklung & (4.4.45) & (4.4.23) ➣ erste Modifikatorfunktion
p(h) = p 0 + hṗ(0) + 1 2 h2¨p(0) + O(h 3 )
= p 0 − hgradU(q 0 ) − 1 2 h2 ∇ 2 U(q 0 )p 0 + O(h 3 ) ,
q(h) = q 0 h ˙q(0) + 1 2 h2¨q(0) + O(h 3 )
Ausdruck für den Konsistenzfehler:
= q 0 + hp 0 − 1 2 h2 grad U(q 0 ) + O(h 3 ) .
( )
p(h) − p1
τ(y 0 , h) = =
q(h) − q 1
(4.4.25)
⇒ ∆f 1 (p,q) = 1 2
(
− 1
2 h 2 ∇ 2 )
U(q 0 )p 0
−2 1 + O(h 3 ) .
h2 grad U(q 0 )
(
∇ 2 )
U(q)p
≠ J −1 grad ˜H(y) .
gradU(q)
➁ Symplektisches Euler-Verfahren (4.4.6), Schrittweite h > 0 (Konsistenzordnung 1):
p 1 = p 0 − hgradU(q 1 ) , q 1 = q 0 + hp 0 .
Taylorentwicklung & (4.4.45) & (4.4.23) ➣ Modifikatorfunktion
Im Unterschied zu oben, unter Verwendung von (4.4.6):
q(h) = q 0 + hp 0 − 1 2 h2 grad U(q 0 ) + O(h 3 )
= q 0 + hp 1 + 1 2 h2 gradU(q 0 ) + O(h 3 )
4.4
p. 431
4.4.5 Strukturerhaltende modifizierte Gleichungen
Gemäss Bem. 4.4.16 müssen wir zu zeigen, dass die Vektorfelder ˜f h,l der abgeschnittenen modifizierten
Gleichungen strukturelle Eigenschaften (f ∈ V von Bem. 4.4.6) von f erben. Fokus ist auf
Hamiltonschen Differentialgleichungen (→ Def. 1.2.2) ↔ Symplektizität (→ Def. 4.4.5)
4.4
p. 430
∆f 1 (p,q) = 1 2
(
∇ 2 )
U(q)p
−grad U(q)
⎛
= ⎝ −∂ ˜H ⎞
1
∂q (p,q)
∂ ˜H ⎠ , ˜H 1 (p,q) = − 1
1
∂p (p,q) 2 p · gradU(q) .
⇒ Modifizierte Gleichung zweiter Ordnung ist Hamiltonsche Differentialgleichung !
4.4
p. 432

Konkret: mathematisches Pendel → Bsp. 1.2.7
n = 1 , H(p,q) = 1 2 p2 − cosq .
“exakte” Trajektorien ✄
Trajektorien zu modifizierten Gleichungen 2. Ordnung
p = velocity
3
2
1
0
−1
−2
Explicit Euler, h = 0.000000, trajektories for modified equation
✬
Theorem 4.4.19 (Symplektizität der Modifikatorfunktionen).
Sei Ψ h die diskrete Evolution eines symplektischen Einschrittverfahrens (→ Def. 4.4.10) für
die Hamiltonsche Differentialgleichung ẏ = J −1 · grad H(y) mit glatter Hamilton-Funktion
H : D ⊂ R 2n ↦→ R, D sternförmig.
Dann sind die abgeschnittenen modifizierten Gleichungen ˙ỹ = ˜f h,l (ỹ) aus Lemma 4.4.13 ebenfalls
Hamiltonsch für alle l ∈ N und alle (hinreichend kleinen) h > 0.
✫
Beweis. (von Thm. 4.4.19)
Idee: Induktion nach l
✩
✪
−3
−6 −4 −2 0 2 4 6
q = α
Fig. 168
Induktionsbeginn: Für l ≤ p: ˜fh,l (y) = f(y) = J −1 · gradH(y) ✔
“l → l + 1”: ˜Φt ˆ= Evolutionsoperator zu ˙ỹ = ˜fh,l (ỹ) = J −1 grad ˜H l (y) (Induktionsannahme !)
⇒ Für festes t: ˜Φt : D ↦→ R 2n is symplektisch (→ Def. 4.4.5)
4.4
p. 433
Nach (4.4.21) & (4.4.23), Lemma 4.4.13 für h → 0
˜Φ h y 0 − Ψ h y 0 = −∆f l+1 (y 0 )h l+2 + O(h l+3 ) ∀y 0 . (4.4.46)
(D y˜Φh )(y0 ) − (D y Ψ h )(y 0 ) = −(D y ∆f l+1 )(y)h l+2 + O(h l+3 ) . (4.4.47)
4.4
p. 435
3
Explicit Euler, h = 0.500000, trajektories for modified equation
3
Symplectic Euler, h = 0.500000, trajektories for modified equation
˜Φ h , Ψ h = symplektische Abbildungen (→ Def. 4.4.5, Argument y 0 weggelassen)
⇒
p = velocity
2
1
0
−1
p = velocity
2
1
0
−1
(D y ˜Φh ) T JD y ˜Φh
} {{ }
=J
= (D y Ψ h ) T JD y Ψ h
} {{ }
=J
+ h l+2( (D y Ψ h ) T JD y ∆f l+1 + (D y ∆f l+1 ) T JD y Ψ h) + O(h l+3 ) .
⇒ 0 = (D y Ψ h ) T JD y ∆f l+1 + (D y ∆f l+1 ) T JD y Ψ h + O(h) .
Für konsistentes ESV, siehe Lemma 2.1.6: D y Ψ h = I + O(h) für h → 0.
−2
−2
h→0
⇒ 0 = JD y ∆f l+1 + (D y ∆f l+1 ) T J ⇒ D y (J∆f l+1 ) = (D y (J∆f l+1 )) T .
−3
−6 −4 −2 0 2 4 6
q = α
Fig. 169
−3
−6 −4 −2 0 2 4 6
q = α
Fig. 170
Anwendung von Lemma 4.4.9 (Integrabilitätslemma) auf J∆f l+1 .
✷
Expl. Euler, h = 0.5
Synplekt. Euler, h = 0.5
✸
Symplektische Integratoren liefern strukturerhaltende akzeptable (∗) diskrete Evolutionen für
(glatte) konservative mechanische Systeme.
4.4
p. 434
(∗): (exponentiell genaue) Lösung einer Evolution mit “leicht gestörter” (nämlich O(h p ), siehe Lemma
4.4.18) Hamilton-Funktion ➢ Rückwärtsanalyse → Sect. 4.4.3
4.4
p. 436

Erklärung der “Langzeitenergieerhaltung” symplektischer Integratoren durch Rückwärtsanalyse:
☞ Lösung des ESV (Konsistenzordnung p) ist “exponentiell genaue” (→ Lemma 4.4.17) Approximation
der Lösung einer (optimal abgeschnittenen) modifizierten Gleichung
Diese ist eine Hamiltonsche Differentialgleichung (→ Def. 1.2.2) mit einer (bzgl. H) um
O(h p ) gestörten Hamilton-Funktion ˜H(y) (→ Thm. 4.4.18).
✬
Theorem 4.4.20 (Langzeitenergieerhaltung bei symplektischer Integration).
Für die Hamiltonsche ODE ẏ = J −1 gradH(y) (→ Def. 1.2.2) und ein dazu von Ordnung
p konsistentes symplektisches Einschrittverfahren (→ Def. 4.4.10) seien die Voraussetzungen
von Thm. 4.4.14 erfüllt.
Für hinreichend kleine (uniforme !) Schrittweiten h gelte (Ψ h ) k y ∈ K für alle k ∈ N 0 und
y ∈ K 0 , wobei K, K 0 ⊂ D kompakt. Dann gibt es C > 0 mit
✩
Details:
|H((Ψ h ) k y 0 ) − H(y 0 )| ≤ C(hk exp(−γ/h) + h p ) ∀h hinreichend klein, ∀y 0 ∈ K 0 .
Annahmen:
symplektisches ESV der Konsistenzordnung p
Schrittweite h < h ∗ ⇒ numerischen Lösungen (y k ) k ⊂ K ⊂ D, K kompakte
Teilmenge K ⊂ D des Zustandsraums.
K ist sternförmig (darauf kann verzichtet werden [11, Sect. XI.3.2])
f erfüllt Analytizitätsannahme bzgl. K
✫
T exp(O(h −1 )) =⇒ H(y k ) − H(y 0 ) = O(h p )
Sect. 4.4.3”: Methode der Rückwärtsanalyse erfordert uniforme Zeitschrittweite.
✪
✎ Notation: (t,y) ↦→ ˜Φ t hy ˆ= Evolutionsoperator zur (optimal abgeschnittenen)
modifizierten Gleichung ˙ỹ = ˜f h,lopt (ỹ).
∥
Abschätzung (4.4.43) ⇒ ∥Ψ h y − ˜Φ h hy∥ ≤ Ch exp(−γ/h) ∀y ∈ K, ∀h < h ∗ .
Thm. 4.4.19 ⇒ ˜f h,lopt (y) = J −1 grad ˜H h (y) mit ˜Hh : K ↦→ R holomorph .
4.4
p. 437
Eine bloss theoretische Einschänkung ?
Beispiel 4.4.25 (Symplektische Integratoren und variable Schrittweite). Fortsetzung Bsp. 4.4.10
Symplektisches Eulerverfahren (4.4.6) für (4.4.1) auf [0,T], T = 5000. Erratische variable Schrittweite
4.4
h i = 0.5(1 + 0.5(rand() − 0.5)), i = 1,...,10000, p(0) = 0, q(0) = 7π/6 p.
439
600
250
˜H h : K ↦→ R holomorph
K kompakt
⇒ ∃L > 0: | ˜H h (y) − ˜H h (z)| ≤ L ‖y − z‖ ∀y,z ∈ K .
500
200
” Teleskopsummenargument”: da ˜H h (˜Φ t hy) = ˜H h (y) für alle t ∈ J(y), y ∈ K (Hamilton-Funktion
ist Invariante einer Hamiltonschen ODE, siehe Lemma 1.2.3)
| ˜H h (y k ) − ˜H
k−1 ∑
h (y 0 )| ≤ | ˜H h (y j+1 ) − ˜H
k−1 ∑
h (y j )| = | ˜H h (Ψ h y j ) − ˜H h (˜Φ h hy j )|
j=0
j=0
k−1 ∑
∥
≤ L∥Ψ h y j − ˜Φ h ∥ k−1 ∥∥
∑
hy j ≤ CL h exp(−γ/h) ≤ CLhk exp(−γ/h) .
j=0
j=0
Thm. 4.4.19 ⇒ ∃C > 0: max
y∈K | ˜H h (y) − H(y)| ≤ Ch p ∀h < h ∗ .
⇒ |H(y k ) − H(y 0 )| ≤ C(Lhk exp(−γ/h) + h p ) ∀h < h ∗ .
LT h p exp(−γ/h) ➣ ”
Energiefehler” der numerischen Lösung von der Grösse O(h p )
Gesamtenergie
400
300
200
100
0
−100
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
t
Energiedrift bei variabler Schrittweite (Verfahren
(4.4.6), links)
Gesamtenergie
150
100
50
0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
t
Energiedrift bei variabler Schrittweite (Verfahren
(4.4.6), rechts)
✸
für ”
exponentiell lange Zeit”
4.5 Methoden für oszillatorische Differentialgleichungen [20]
☞ Dies ist die Erklärung für die Vermutung aus Bsp. (4.4.11) !
4.4
p. 438
4.5
☞ p. 440

Prototyp: ÿ = −ω 2 y , y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0
Ziel: Effiziente numerische Integration von (4.5.1)/(4.5.2) auch für ω ≫ 1 bzw. λ max (A) ≫ 1
y(t) = α cos(ωt) + β sin(ωt) , α,β ∈ R
Idee: ( wie bei exponentiellen Integratoren, siehe Sect. 3.7)
Verallgemeinerung (skalar): ÿ = −ω 2 y + g(y) , y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0 , (4.5.1)
Verwende analytische Lösungsdarstellung (4.5.4) zur numerischen Integration:
mit Lipschitz-stetiger Störung g : R ↦→ R.
Verallgemeinerung (vektoriell) ÿ = −Ay + g(y) , y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0 , (4.5.2)
Bemerkung 4.5.1.
(4.5.1)
A ∈ R d,d symmetrisch positiv definit,
v:=ẏ
⇐⇒
Lösung von (4.5.3) durch Variation der Konstanten:
( )
y(t)
=
v(t)
(
cos tω ω −1 )(
sin tω y0
−ω sintω costω
g : R d ↦→ R d
( ) ( ( ) ( )
d y 0 1 y 0
=
dt v −ω 0) 2 + . (4.5.3)
v g(y)
v 0
)
+
∫t
0
(
ω −1 )
sin(t − s)ω
g(y(s)) ds (4.5.4)
cos(t − s)ω
Bemerkung 4.5.2. y(t) löst (4.5.1) & G ′ = g ➡ 1 2 |ẏ|2 + 1 2 ω2 y(t) − G(y(t)) ≡ const.
” Energie” für ODE (4.5.1) △
Beispiel 4.5.3 (Standardintegratoren für oszillatorische Differentialgleichung).
△
4.5
p. 441
g ≡ const. ,
(4.5.5)
y(t ± h) = cos(hω)y(t) ± sinhω
ω ẏ(t) +
±h ∫
0
sin(±h−s)ω
ω · g(y(t + s)) ds (4.5.5)
y(t + h) − 2 cos(hω)y(t) + y(t − h) = h 2 (
sin( 1
2 hω)
1
2 hω ) 2
g . (4.5.6)
➣ Gautschis Zweischrittverfahren (y h (t + h) aus y h (t),y h (t − h)) für (4.5.1)
y h (t + h) − 2 cos(hω)y h (t) + y h (t − h) = h 2 (
sin( 1
2 hω)
1
2 hω ) 2
g(y h (t)) . (4.5.7)
Notwendig: Startschritt aus (4.5.4)
Ableitungsnäherung:
y h (h) = cos(hω)y 0 +
sin hω
ω
Aus (4.5.5) für g ≡ const:
v 0 + 1 2 h2 (
sin( 1
2 hω)
1
2 hω ) 2
g(y 0 ) . (4.5.8)
4.5
p. 443
Adaptives explizites RK-ESV (Sect. 2.6 für (4.5.1):
y0=[1;0]; f=@(t,x) [0,1;-omegaˆ2,0]*x + 20*[0;sin(x(1))];
options=odeset(’reltol’,1.0e-2,’abstol’,1.0e-5);
[t,y]=ode45(f,[0,1],y0,options); ( ”
Energie” ˆ= Invariante aus Bem. 4.5.2)
sin hω
y(t + h) − y(t − h) = 2h
hω ẏ(t) ⇒ v h(t) = hω
sin hω · yh(t + h) − y h (t − h)
.
2h
(4.5.9)
Bemerkung 4.5.4. Gautschi-Verfahren (4.5.7), (4.5.8) für vektorielles Problem (4.5.2) ?
(
sin( 1
2 hω)
800
700
0.45
0.4
Ersetze cos(hω) ↦→ coshA ,
1
2 hω ) 2
↦→ 4(hA) −2 sin 2 ( 1 2 hA) . △
#(Zeitschritte)
600
500
400
300
200
100
Relativer Energiefehler fuer t=1
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
Beispiel 4.5.5 (Gautschis Zweischrittverfahren).
Anfangswertproblem vom Typ (4.5.1) auf [0, 1]:
ÿ = −ω 2 y + sin y , y(0) = 1 , ẏ(0) = 0 .
0
0 50 100 150 200 250
ω Fig. 171
0
0 50 100 150 200 250
ω Fig. 172
ω ↑ ⇒ Oszillationen in y(t) ↑ ⇒ Anzahl Zeitschritte ↑
✸
4.5
p. 442
4.5
p. 444

y
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
Gautschi−Verfahren: h = 0.1000, ω = 25
y(t)
v(t)/ω
y h
(t)
v h
(t)/ω
−1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 173
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
Gautschi−Verfahren: h = 0.0333, ω = 25
y(t)
v(t)/ω
y h
(t)
v h
(t)/ω
−1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 174
Fehler fuer t=1
10 1 Gautschi−Verfahren: Konvergenz, ω = 25
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
|y h
(1)−y(1)|
|v (1)−v(1)|
10 −5
h
Energiefehler
O(h 2 )
10 −6
10 −3 10 −2 10 −1
h
Fig. 177
Beobachtung:
Alle Fehler ≈ O(h 2 )
⇕
Konvergenzordnung 2
ω = 25: y h folgt (oszillatorischer Lösung), auch wenn h ≈ 2π ω
Ziel erreicht ?
Relativer Fehler in ”
Energie” (→ Bem. 4.5.2) für t = 1:
Fehler für fixes h in Abhängigkeit von ω:
4.5
p. 445
4.5
p. 447
0.25
Gautschi−Verfahren: h = 0.1000, ω = 25
5
Gautschi−Verfahren: h = 0.0333, ω = 25
7
6
Gautschi−Verfahren: Konvergenz, h = 0.0500
|y h
(1)−y(1)|
|v h
(1)−v(1)|/ω
Gautschi−Verfahren: Energiedrift, h = 0.0500
10 4 Energiefehler fuer t=1
10 2
0.2
4
5
10 0
energy
0.15
0.1
energy
3
2
Fehler fuer t=1
4
3
2
Fehler fuer t=1
10 −2
10 −4
10 −6
0.05
1
1
10 −8
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 175
6 x 10−3 t
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fig. 176
0
0 50 100 150 200
ω
10 −10
0 50 100 150 200
ω
Zeitschritt h = 0.1
Zeitschritt h = 0.033
h = 0.05: Was pasiert für ω ≈ 61, ω ≈ 123, ω ≈ 185 ? Instabilität ?
4.5
p. 446
4.5
p. 448

15
Gautschi−Verfahren: Konvergenz, h = 0.0200
|y h
(1)−y(1)|
|v h
(1)−v(1)|/ω
10 4 Gautschi−Verfahren: Energiedrift, h = 0.0200
Energiefehler fuer t=1
1
0.8
Fehler fuer t=1
10
5
Fehler fuer t=1
10 2
10 0
10 −2
10 −4
sinc(x)
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
Die sinc-Funktion:
sinc(x) := sin x
x
➤ Analytisch auf R
➤ | sinc(x)| ≤ 1 mit globalem Maximum in x = 0
−0.8
0
0 50 100 150 200
ω
➣
10 −6
0 50 100 150 200
ω
h-Abhängigkeit kritischer Frequenzen
−1
0 5 10 15 20
x
Analyse von (4.5.11): Ansatz y h (kh) = ξ k ↔ Charakteristische (quadratische) Gleichung
∃ Lösungen y h (kh) von (4.5.11):
lim y h(hk) = ±∞
k→∞
⇔
∣
∣2 cos(hω) + h 2 α sinc 2 ( 1 2 hω) ∣ ∣∣ > 2
4.5
p. 449
(coshω ≈ 1 ⇔ hω ≈ 2πl, l ∈ Z) ⇒ y h (hk) → ±∞ auch für h ≪ 1 . 4.5
Abhilfe [20]:
” Filterung”: Dämpfung von α, falls hω ≈ 2πl: p. 451
In (4.5.7), (4.5.8) ersetze: g(y h (t)) ↦→ g(ψ(hω)y h (t)), ψ(ξ) := sinc 2 ξ(1 + 2 1 (1 − cosξ))
h-Abhängigkeit kritischer Frequenzen
➤
Modifiziertes Gautschi-Verfahren:
Logarithmus log 10 des relativen Energiefehlers
zum Endzeitpunkt t =
✄
0
y h (t + h) − 2 cos(hω)y h (t) + y h (t − h) = h 2 (
sin( 1
2 hω)
1
2 hω ) 2
g(ψ(hω)y h (t)) . (4.5.12)
Beobachtung:
hω-Abhängigkeit kritischer Frequenzen
10 1 Filterndes Gautschi−Verfahren: Konvergenz, ω = 25
Fig. 178
10 0
✸
Modellproblem:
ÿ = −ω 2 y + αy , α ≪ ω 2 . (4.5.10)
➤ Gautschi-Verfahren (4.5.7), Schrittweite h: ➢ Dreitermrekursion
}
y h (t + h) −
{2 cos(hω) + h 2 α sinc 2 ( 2 1hω) y h (t) + y h (t − h) = 0 . (4.5.11)
4.5
p. 450
Beispiel 4.5.6 (Modifiziertes Gautschi-Verfahren).
AWP aus Bsp. 4.5.7, Integration gemäss (4.5.12),
Filterfunktion ψ(ξ) := sinc 2 ξ(1 + 1 2 (1 − cos ξ))
Konvergenzordnung 2
✄
Fehler fuer t=1
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
|y h
(1)−y(1)|
|v (1)−v(1)|
h
10 −5
Energiefehler
O(h 2 )
10 −6
10 −3 10 −2 10 −1
h
4.5
p. 452

0.14
0.12
0.1
Filterndes Gautschi−Verfahren: Konvergenz, h = 0.0500
|y h
(1)−y(1)|
|v h
(1)−v(1)|/ω
Filterndes Gautschi−Verfahren: Energiedrift, h = 0.0500
10 −1 Energiefehler fuer t=1
10 −2
5 Randwertprobleme
Fehler fuer t=1
0.08
0.06
0.04
Fehler fuer t=1
10 −3
0.02
0
0 50 100 150 200
ω
10 −4
0 50 100 150 200
ω
4.5
p. 453
5.0
p. 455
hω-Abhängigkeit der Energiedrift
✄
Beobachtung:
(4.5.12): Keine Instabilität
Im Vergleich zu (4.5.7) (→
Bsp. 4.5.5) deutlich reduzierte
Energiedrift (Skala!)
Verzeichnisse
4.5
p. 454
5.0
p. 456

Index
R-reversible Abbildung, 352
R-reversible Evolution, 352
A-Stabilität, 252
absolute Toleranz, 201
adjungierte Matrix, 335
Affin-Kovarianz
Runge-Kutta, 148
Aitken-Neville-Schema, 168
akzeptable Lösung, 436
akzeptables Resultat, 395
algebraische Konvergenz, 63, 64, 93
algebraische Nebenbedingung
bei DAE, 298
algebraische Stabilität, 256
alternierende Bilinearform, 362
analytische Funktion, 410
Analytizitätsvoraussetzung, 410
Anfangswertproblem
Lösung, 16
linear, 43
steifes, 268
Bootstrapping, 141
Butcher-Bäum, 159
Butcher-Matrix, 261
Butcher-Schema, 143
DAE, 297, 298
separiert, 299
vom Index 1, 300
Deskriptorform
mechanischer Bewegungsgleichungen, 310
von Bewegungsgleichungen, 311
Determinante
Ableitung, 335
diagonal-implizite ESV, 282
DIFEX, 190
Differentialgleichung
Hamiltonsche, 30
linear, 44
logistische, 128, 163
Variation der Konstanten, 45
Differentialgleichungen
Skalare, 41
differentiell-algebraische Gleichung (DAE), 297
differentiell-algebraisches Anfangswertproblem (DAE), 298,
299
differentielle Konditionsanalyse, 49
Differenzenverfahren, 62, 71, 77
DIRK-Einschrittverfahren, 282
diskrete Evolution
Konsistenz, 95
Konsistenzfehler, 96
Konsistenzordnung, 97
Asymptotische (absolute) Kondition, 49
asymptotische Entwicklung, 169, 173, 404
Asymptotische Stabilität
eines Fixpunkts, 236
attraktiver Fixpunkt, 18, 221
autonome Differentialgleichung, 13
Autonomisierung, 14
Autonomisierungsinvarianz, 149
AWP
Kondition, 51
B-Stabilität, 256
Bahnebene, 32
Banachscher Fixpunktsatz, 119
Basisverfahren
für Extrapolation, 178
Bewegungsgleichungen
Hamiltonsche Form, 28
Molekulardnamik, 384
Newtonsche, 28
5.0
bimolekulare Reaktion, 22
Blow-up, 35, 42, 210 p. 457
reversibel, 110
diskretes dynamisches System, 241
Diskretisierungsfehler, 93
Diskretisierungsparameter, 165
dissipatives Vektorfeld, 250
Divergenz
eines Vektorfeldes, 339
Drehmoment, 33
Drehmomenterhaltung, 33
Dreitermrekursion, 450
dynamisches System
diskret, 241
Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren, 210
eingebettete Runge-Kutta-Verfahren, 211
Einschrittfehler, 108
Einschrittverfahre
implizit, 92
Einschrittverfahren, 82, 91
diagonal-implizit, 282
explizit, 92
Konvergenz, 100
Notation, 91
reversibel, 187
symplektisch, 371
elementare Differentiale, 158
Energie
für oszillatorische Differentialgleichung, 441
Energiedrift, 81, 86, 357, 440, 454
Energieerhaltung, 31, 356
5.0
Pendel, 28
Energiemannigflatigkeit, 392 p. 458
Erstes Integral
Bedingung, 22
erstes Integral, 22, 325
linear, 325
polynomial, 326
quadratisch, 79, 325
erweiterter Zustandsraum
einer ODE, 11
ESV
Radau, Ordnung 3, 263
Radau, Ordnung 5, 263
Euler
Implizit, 263
Euler-Verfahren, 180
explizites, Stabilitätsfunktion, 228
implizit, 70
semi-implizit, 279
Euler-Verfahrens
Konvergenz, 63
Eulersches Polygonzugverfahren, 61
Eulerverfahren
explizit, 60, 126
implizit, 126
implizites, Stabilitätsfunktion, 228
Evolution
R-reversibel, 352
diskrete, 115
Evolutionsoperator, 40
explizite Mittelpunktsregel, 160
explizite Trapezregel, 160
explizites Einschrittverfahren, 92
gewöhnliche Differentialgleichung, 10
autonome, 13
erster Ordnung, 10
Gewichte
einer Quadraturformel, 125
Gitterfunktion, 92
Glattheit
hinreichende, 100
globale Lösung, 39
globale Lipschitzbedingung, 52
Gradientenfluss, 248
Grenzzyklus, 273
Gronwalls Lemma, 52
Hamilton-Funktion, 30, 356
Molekulardnamik, 384
separiert, 372
Hamiltonsche Bewegungsgleichugen
mit Nebenbedingunge, 313
Hamiltonsche Differentialgleichung, 30, 356
Herzschlagmodell, 25
hinreichende Glattheit, 100
holomorphe Funktion, 410
homogene lineare Differentialgleichung, 44
implizite Mittelpunktsregel, 76, 98, 126, 372
implizites Einschrittverfahren, 92
implizites Euler-Verfahren, 70
implizites, Euler-Verfahren, 160
Index
einer DAE, 300, 312
inkompressible Strömung, 338
explizites Eulerverfahren, 60, 126
exponentiell klein, 408
exponentielle Konvergenz, 64, 128
exponentielle Runge-Kutta-Verfahren, 294
Extrapolation, 165
Extrapolations-Einschrittverfahren, 178
Extrapolationstableau, 168
Extrapolationsverfahren
global, 177
lokal, 178
Faltung, 45
Federpendel, 381
Fehlerfortpflanzung, 108
Fehlerfunktion, 108
Fehlerschätzung
zeitlokal, 199
Fixpunkt
asymptotisch stabil, 236
asymptotische Stabilität, 239
attraktiv, 18, 69, 221
einer ODE, 235
repulsiv, 18
Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren, 127, 140, 160, 251,
267, 374
Gauss-Radau-Quadratur, 262
Gaussquadratur, 126
Gautschi-Verfahren, 443
Filterung, 452
5.0
modizifiertes, 452
Gautschis Zweischrittverfahren, 443 p. 459
Inkremente
Kollokation, 116
Runge-Kutta, 143
Inkrementfunktion, 96
Inkrementgleichungen, 116
linearisiert, 280
Instabilität
Gautschi-Verfahren, 448
Integrabilitätslemma, 369
intervallweise Kondition, 51
Invariante, 22
Jordan-Block, 237
Jordan-Normalform, 237
Keplerproblem, 31
Keplersches Gesetz
erstes, 33
zweites, 33
kinetische Energie, 28
klassisches Runge-Kutta-Verfahren, 160
Knoten
einer Quadraturformel, 125
Knotenanalyse
von Schaltkreisen, 272, 295
Kollaps, 35, 42, 209
Kollokation
Inkremente, 116
Kollokations
RK-ESV, 262
5.0
Kollokationsbedingung, 113
Kollokationspunkt, 113 p. 460

Kollokationsverfahren, 113
Inkrementfunktion, 116
Konsistenz, 135
Kompaktheitsargument, 104
Kondition, 48
analyse
differentielle, 54
asymptotisch, 49
intervallweise, 51
punktweise, 51
Kongruenztransformation, 362
Konsistenz, 95
Runge-Kutta-Verfahren, 155
Konsistenzfehler, 96, 101, 108
Konsistenzordnung, 97
Splittingverfahren, 193
Kontraktion, 119
Konvergenz, 93
algebraisch, 63
exponentiell, 128
Kollokationsverfahren, 127
von Einschrittverfahren, 100
Konvergenzordnung, 93
kovariante Transformation, 43
Kovergenz
global, 93
Kraftfeld
konservativ, 31
Kuttas 3/8-Regel, 160
L-Stabilität, 260
Lösung
Mittelpunktsregel, 142
explizit, 142, 145
implizit, 76, 126
implizit, Stabilitätsfunktion, 228
Modellprobelanalyse
implizites Euler-Verfahren, 72
Modellproblem
für gestörte oszillatorische Differentialgleichungen, 450
Modellproblemanalyse, 221
explizites Eulerverfahren, 69
modifizierte Differentialgleichung, 395
für lineare AWP, 396
modifizierte Gleichung
abgeschnittene, 406
der Ordnung q, 397
Molekulardnamik, 384
Molekulardynamik, 388
mplizite Trapezregel, 160
multivariates Polynom, 326
Newton-Verfahren
vereinfacht, 285
nichtdegenerierte Bilinearform, 362
Nichtexpansivität, 248
nichtlineare Stabilität, 109
Normalform
bei schiefsymmetrischen Matrizen, 362
numerische Quadratur, 125
numerischer Integrator, 88
ODE, 10
skalar, 13
eines Anfangswertproblems, 16
Lagrange-Multiplikator, 311, 313
Lagrange-Polynom, 114
Legendre-Polynome, 127
Lenard-Jones-Potential, 384
Lie-Trotter-Splitting, 192
linear-implizites Runge-Kutta-Verfahren, 285
lineare Differentialgleichung, 43, 44
linearisierte Störungstheorie, 49
Liouville
Satz von, 339
Lipschitz-Stetigkeit
lokale, 37
Logistische Differentialgleichung, 128, 163, 192
logistische Differentialgleichung, 17, 181
Lotka-Volterra Differentialgleichung, 20
Makroschritt
bei Extrapolationsverfahren, 178
MAPLE, 98
mathematisches Pendel, 27
symplektische Integration, 357
Matrix
Propagations-, 55
Wronski, 55
Matrixexponentialfunktion, 44, 290
Matrixfunktionen, 233
maximale Fortsetzbarkeit, 35
maximales Existenzintervall, 36
Mikroschritt
5.0
bei Extrapolationsverfahren, 178
Minimalkoordinaten, 311 p. 461
ordinary differential equation (ODE), 10
Ordnung
einer Quadraturformel, 136
Ordnungsschranken
für Runge-Kutta-Verfahen, 160
Ordnungssteuerung
bei Extrapolationsverfahren, 184
Oregonator, 24
oszillatorische Differentialgleichungen, 440
parasitäre Kapazität, 301
partikuläre Lösung, 45
partitionierte Runge-Kutta-Einschrittverfahren, 376
Peano
Satz von, 38
Pendel, 27, 310
Pendelgleichung, 358
Picard-Lindelöf
Satz von, 38
Polynom
multivariat, 326
polynomiale Invariante, 326
Polynominterpolation
Fehlerabschätzung, 131
potentielle Energie, 28
Problem
in der Numerik, 47
Propagationsmatrix, 55
Punkt
stationär, 21
5.0
punktweise Kondition, 51
Push-Forward, 361 p. 462
Quadraturformel, 125
Mittelpunktsregel, 142
Ordnung, 136
Trapezregel, 142
Räuber-Beute-Modell, 20
Rückwärtsanalyse, 436
von Integrationsverfahren, 394
Radau-ESV, Ordnung 3, 263
Radau-ESV, Ordnung 5, 263
Radau-Verfahren, 308
Reaktionskinetik, 22
rechte Seite
einer ODE, 10
Regel
Kuttas 3/8, 148
Mittelpunkt, explizit, 142
Trapez, explizit, 142, 146
relative Toleranz, 201
repulsiver Fixpunkt, 18
Reversibilität, 110, 187, 350
reversible Einschrittverfahren
Konsistenzordnung, 111
Riccati-Differentialgleichung, 12, 62
Richtungsfeld, 12
RK4, 147
Stabilitätsfunktion, 228
Romberg-Quadratur, 165
ROW-Methoden, 285
Runge-Kutta
3/8-Regel, 148
Affin-Kovarianz, 148
Schrittweitenvorschlag, 202
semi-implizites Euler-Verfahren, 279
Sensitivitä, 48
Separation der Variablen, 18
sinc-Funktion, 451
Singuläre Störungstechnik, 301
Skalare Differentialgleichungen , 41
Skalare ODE, 13
Spektralradius
einer Matrix, 241
Spektrum
einer Matrix, 237
Splitting
Lie-Trotter, 192
Strang, 192
Splittingverfahren, 191, 375
inexakt, 197
inexakte, 197
ssymmetrische Runge-Kutta-Einschrittverfahren, 348
Störmer-Verlet-Verfahren, 81, 372
Molekulardnamik, 385
Stabilit
nichtlineare, 109
Stabilität, 108
-sfunktion, 264
-sgebiet, 245
B-, 256
L-, 260
Stabilitätsfunktion, 227
Interpretation, 225
von Runge-Kutta-Verfahren, 224
Autonomisierung, 149
eingebettet, 211
Einschritt-Verfahren, 143
Inkremente, 143
klassisch, 147
Runge-Kutta-Einschrittverfahren
R-reversibel, 354
steif-genaue, 261
symmetrisch, 348
Runge-Kutta-Verfahen
Autonomisierungsinvarianz, 149
Ordnungsschranken, 160
Runge-Kutta-Verfahren, 141, 143
eingebettet, 210
exponentiell, 294
Konsistenz, 155
Konstruktion, 142
Konvergenzordnung, 160
linear-implizit, 285
Stabilitätsfunktion, 224
Satz
Peano & Picard-Lindelöf, 38
Satz über implizite Funktionen, 118
Satz von Liouville, 339
Schaltkreis
Knotenanalyse, 272, 295
Schrittweitenbeschränkung, 122, 244
für explizite RK-ESV, 231
Schrittweitenkorrektur, 202
5.0
Schrittweitensteuerung, 269
für ESV, 199 p. 463
Stabilitätsgebiet, 224
Startschritt, 83, 443
steif-genau, 261, 305
Steifheit, 268
sternförmig, 369
Strang-Splitting, 192
Stromlinien, 341
strukturerhaltende Integratoren, 395
Stufen
eines RK-ESV, 144
symplektische Abbildung, 366
symplektische Evolution, 360
symplektischer Fluss, 363
symplektischer Integrator, 373
symplektisches Einschrittverfahren, 371
symplektisches Euler-Verfahren, 372, 375
symplektisches Produkt, 361
Taylorentwicklung, 156
Toleranz, 199
absolute, 201
realtiv, 201
Relativ, 201
Trajektorie, 20
Transformation
kovariant, 43
Trapezregel, 142
explizit, 142, 146
explizit, Stabilitätsfunktion, 228
5.0
Varationsgleichung, 55
Variation der Konstanten, 45, 289, 441 p. 464

Variationsgleichung, 342
Vektorfeld, 13
Vektorprodukt, 33
Verfahren
Einschritt, Schrittweitensteuerung, 199
ESV, Runge-Kutta, 143
Euler, implizit, 126
Runge-Kutta, 141, 143
Runge-Kutta, klassisch, 147
Runge-Kutta, Konstruktion, 142
versteckte Nebenbedingungen, 312
bei DAEs, 314
volumenerhaltende Abbildung, 338
Volumenerhaltung, 339
bei Hamiltonschen ODEs, 358
wohlgestellt, 52
Problem, 48
Wronski-Matrix, 55
Zeeman-Modell, 25
Zeitgitter, 91
Zeitschrittweite, 91
Zustandsraum
einer ODE, 11
Molekulardnamik, 384
Zwangskraft, 311
Zweischrittverfahren, 82
Gautschis, 443
Beispiele und Bemerkungen
[Lösung der Schaltkreis-DAEs mit MATLAB, 309
[Steife Probleme in der chemischen Reaktionskinetik, 270
‘Gronwall-Schranke” für Kondition, 53
“Butcher barriers” für explizite RK-ESV, 161
A-Stabilität ⇏ Diskrete Nichtexpansivität, 255
Adaptive explizite RK-ESV für steifes Problem, 268
Adaptive RK-ESV zur Teilchenbahnberechnung, 214
Adaptives semi-implizites RK-ESV für steifes Problem, 276
Affin-Kovarianz der Runge-Kutta-Verfahren, 148
Allgemeine Variation-der-Konstanten-Formel, 46
Analytizitätsvoraussetzung für Hamiltonsche Differentialgleichungen,
410
Anfangswerte für Dgl. höherer Ordnung, 16
Attraktiver Grenzzyklus, 273
Autonome skalare Differentialgleichungen, 41
Autonomisierung, 14
Autonomisierungsinvarianz von Runge-Kutta-Verfahren, 149
AWP-Löser in MATLAB, 19
B-Stabilität, 256
Bedeutung der modifizierten Gleichungen niedriger Ordnung,
404
Bedeutung linearer AWPe, 47
Bedingungsgleichungen für Linear-implizite Runge-Kutta-
Verfahren 2. Ordnung, 285
Berechnung der Modifikatoren ∆f j durch Computeralgebra,
402
Bimolekulare Reaktion, 22
Butcher-Bäume, 159
DAE: Transformation auf separierte Form, 299
Definitionsintervalle von Lösungen von AWPe, 39
Dense output, 150
DIFEX, 190
Doppelpendel, 58
5.0
p. 465
Einfache A-stabile RK-ESV, 245
Einfache reversible Einschrittverfahren, 110
Einfache symplektische Integratoren, 372
Eingebettete RK-ESV, 210
5.0
Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren, 211
Einschrittformulierung des Störmer-Verlet-Verfahrens, 86 p. 466
Energieerhaltung bei numerischer Integration, 357
Energieerhaltung bei semi-impliziter Mittelpunktsregel, 286
Euler-Extrapolationsverfahren mit Ordnungssteuerung, 185
Euler-Verfahren für Pendelgleichung, 72
Eulerverfahren für längenerhaltende Evolution, 74
Explizite Runge-Kutta-Schritte für Ricatti-Differentialgleichung,
145
Explizites Euler-Verfahren für logistische Dgl, 67
Explizites Eulerverfahren als Differenzenverfahren, 62
Exponentielles Euler-Verfahren, 291
Exponentielles Euler-Verfahren für steifes AWP, 292
Extrapolationsverfahren als Runge-Kutta-Verfahren, 183
Extrapolierte implizite Mittelpunktsregel, 187
Extrapoliertes Euler-Verfahren, 180
Federpendel, 381
Funktionenkalkül für Matrizen, 233
Gauss-Kollokations-ESV bei stark attraktiven Fixpunkten,
257
Gauss-Kollokationsverfahren, 254
Gautschis Zweischrittverfahren, 444
Glattheitsannahmen an rechte Seite, 90
Globale h 2 -Extrapolation für implizite Mittelpunktsregel, 189
Gradientenfluss, 248
Hamiltonsche Bewegungsgleichugen mit Nebenbedingungen,
313
Implementierung steif-genauer RK-ESV für DAE, 321
Implizite Mittelpunktregel für Kreisbewegung, 78
Implizite Mittelpunktsregel als Differenzenverfahren, 77
Implizite Mittelpunktsregel für logistische Dgl., 77
Langzeit-Energieerhaltung bei symplektischer Integration,
380
Linearisierung der Inkrementgleichungen, 278
Lorenz system, 56
Magnetnadel
Präzession , 326
Massenpunkt im Zentralfeld, 31
Mathematisches Pendel, 27
MATLAB-Integratoren für Index-1-DAEs, 309
MATLAB-Integratoren für Pendelgleichung in Deskriptorform,
315
Modifikatoren für einfache ESV, 402
Modifizierte Gleichung der Ordnung 2 zu explizitem Euler-
Verfahren, 397
Modifizierte Gleichung für RK-ESV und lineare AWPe, 396
Modifizierte Gleichung für symplektisches Euler-Verfahren,
431
Modifiziertes Gautschi-Verfahren, 452
Molekulardnamik, 384
Notation fuer Einschrittverfahren, 91
Numerische Integratoren als approximative Evolutionsoperatoren,
41
Numerische Quadratur, 125
Oregonator-Reaktion, 24
Partitionierte Runge-Kutta-Einschrittverfahren, 376
Pendelgleichung in Deskriptorform, 310
Philosophische Grundlage der Rückwärtsanalyse, 394
Präzession
Magnetnadel, 326
Implizite Mittelpunktsregel für Pendelgleichung, 80
Implizite RK-ESV bei schnellen Transienten, 259
Implizite RK-ESV mit linearisierten Inkrementgleichungen,
281
Implizites Euler-Verfahren für Pendelgleichung in Deskriptorform,
316
Implizites Eulerverfahren als Differenzenverfahren, 71
Implizites Eulerverfahren für logistische Differentialgleichung,
71
Ineffizienz expliziter Runge-Kutta-Verfahren, 219
Inexakte Splittingverfahren, 197
Interpretation der Stabilitätsfunktion, 225
Invertierbarkeit der Koeffizientenmatrix von RK-ESV, 261
Knotenanalyse eines Schaltkreises, 295
Kollokationsverfahren und numerische Quadratur, 125
Kondition skalarer linearer Anfangswertprobleme, 51
Konsistenzordnung einfacher Einschrittverfahren, 98
Konstante 2-Formen, 361
Konstruktion einfacher Runge-Kutta-Verfahren, 142
Konvergenz des expliziten Euler-Verfahrens, 63
Konvergenz einfacher Splittingverfahren, 192
Konvergenz expliziter Runge-Kutta-Verfahen, 153
Konvergenz kombinierter Verfahren, 163
Konvergenz von Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren, 134
Konvergenz von Kollokationsverfahren, 127
Lösbarkeit der Inkrementgleichungen für Gauss-Kollokations-
ESV, 253
Lösung der Inkrementgleichungen, 151
5.0
Lösungsfunktion aus Extrapolationsverfahren, 129
p. 467
Projektion auf Energiemannigfaltigkeit, 391
Qualität der Fehlerschätzung, 200
Räuber-Beute-Modelle, 20
Radau-ESV bei stark attraktiven Fixpunkten, 265
Reskalierung des Modellproblems, 222
Resourcenbegrenztes Wachstum, 17
Reversibilität bei mechanischen Systemen, 350, 353
Richtungsfeld und Lösungskurven, 12
RK-Bedingungsgleichungen für Konsistenzordnung p =
3, 155
RK-ESV für autonome homogene lineare ODE, 231
RK-ESV und Elimination der DAE-Nebenbedingungen, 306
Romberg-Quadratur, 166
Schaltkreis
steife -gleichunge Zeitbereich, 272
Schrittweitenbedingungen für ‘Langzeitintegration”, 429
Schrittweitenbeschränkung aus Lemma 2.2.1, 122
Schrittweitensteuerung für Bewegungsgleichungen, 216
Schrittweitensteuerung für explizite Trapezregel/Euler-Verfahren,
205
Schrittweitensteuerung und Blow-up, 210
Schrittweitensteuerung und Instabilität, 208
Schrittweitensteuerung und Kollaps, 209
Singulär gestörte Schaltkreisgleichungen, 301
Skalierungsinvarianz der Extrapolation, 167
Splittingverfahren für mechanische Systeme, 196
Störmel-Verlet-Verfahren für Pendelgleichung, 84
Störmer-Verlet-Verfahren als Differenzenverfahren, 83 5.0
Störmer-Verlet-Verfahren als Polygonzugmethode, 87
Stabilitätsfunktionen einiger RK-ESV, 227 p. 468

Stabilitätsgebiet des exponentiellen Euler-Verfahren, 291
Standardintegratoren für oszillatorische Differentialgleichung,
442
Steife Schaltkreisgleichungen im Zeitbereich, 272
Steuerung von ˜Ψ durch Ψ, 203
Strömungsvisualisierung, 340
Strang-Splitting erzeugt reversible ESV, 195
Stufenform der Inkrementgleichungen, 144
Symplektische Integratoren und variable Schrittweite, 439
Symplektisches Euler-Verfahr, 375
Symplektisches Euler-Verfahren für Pendelgleichung, 379
Symplektisches Flussintegral, 363
Symplektizität der Pendelgleichung, 358
Symplektisches Produkt, 361
Volumenerhaltung, 338
Translationsinvarianz von Lösungen autonomer Dgl., 14
Umformulierung der Inkrementgleichungen, 116
Vektorräume von Vektorfeldern und Eigenschaften von Evolutionen,
367
Verfahren
ESV adaptiv, explizit, steifes Problem, 268
Verhalten von Stabilitätsfunktionen, 229
Vielteilchen-Molekulardynamik, 388
Volumenerhaltende Integratoren für d = 2, 343
Volumenerhaltendes Splittingverfahren 2. Ordnung, 346
Volumenerhaltung bei zweidimensionalen Hamiltonschen
ODEs, 358
Zeemans Herzschlagmodell, 25
5.0
p. 469
5.0
p. 471
Definitionen
MATLAB-Codes
R-reversible Abbildung, 352
(Abgeschnittene) asymptotische Entwicklung, 169
A-Stabilität, 245
algebraische Stabilität, 256
Alternierende, nichtdegenerierte Bilinearform, 362
Arten der Konvergenz, 64
Asymptotische Stabilität eines Fixpunkts, 236
DAE vom Index 1, 300
Diskretisierungsfehler, 93
Dissipatives Vektorfeld, 250
Einschrittverfahren, 91
Erstes Integral, 22
Evolutionsoperator, 40
explizite und implizite Einschrittverfahren, 92
Exponentielle Runge-Kutta-Verfahren, 294
Fixpunkt, 235
Hamiltonsche Differentialgleichung, 30
Konsistenz einer diskreten Evolution, 95
Konsistenzfehler einer diskreten Evolution, 96
Konsistenzordnung einer diskreten Evolution, 97
Konvergenz und Konvergenzordnung, 93
L-Stabilität, 260
Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung, 12
Lösung eines Anfangswertproblems, 16
Lokale Lipschitz-Stetigkei, 37
Maximale Fortsetzbarkeit einer Lösung, 35
Modifizierte Gleichung der Ordnung q, 397
Nichtexpansivität, 248
Nichtlineare Stabilität, 109
Polynomiale Invarianten, 326
Reversible diskrete Evolutionen, 110
Runge-Kutta-Verfahren, 143
Stabilitätsgebiet eines Einschrittverfahrens, 224
Sternförmiges Gebiet, 368
5.0
Symplektische Abbildung, 366
symplektisches Einschrittverfahren, 371 p. 470
odeset, 214
ode45, 269
odeset, 269
ode15s, 276
ode23s, 276
ode23, 213
ode45, 193, 213
odeset, 193, 213, 276
Adaptives RK-ESV für steifes Problem, 269
Aitken-Neville-Extrapolation, 168
ode15s, 309
ode23s, 327
ode23t, 309
ode45, 327
5.0
p. 472

Notationen
C l (J, D) ˆ= l-mal stetig differenzierbare Funktionen J ↦→
D, 12
D y f ˆ= Ableitung von f nach y (Jacobi-Matrix), 37
J(t 0 ,y 0 ) :=]t − , t + [ ˆ= maximales Existenzintervall, 36
O(g(h)) ˆ= “Landau-O”, 63
[x] ˆ= ganzzahliger Anteil von x > 0, 424
divf ˆ= Divergenz eines Vektorfeldes, 339
‖y‖ M
:= (y T My) 1 /2
induzierte Vektornorm, 248
P s ˆ= Raum der univariaten Polynome vom Grad ≤ s, 114
J ˆ= Matrix zum symplektischen Produkt, 361
y,z, . . . Fettdruck für Spaltenvektoren, 11
C − := {z ∈ C: Rez < 0}, 237
1 = (1, . . .,1) T , 224
∇ 2 f ˆ= Hesse-Matrix, 366
adj(X) adjungierte Matrix, 335
⊗ ˆ= Kronecker-Produkt von Matrizen, 281
ρ(A): Spektralradius einer Matrix, 241
f ˆ= rechte Seite einer ODE, 10
σ(A): Spektrum einer Matrix, 237
˙ ˆ= Ableitung nach der Zeit t, 11
y α für Multiindex α, 326
Appendix
MATLAB-Files zu Beispielen
• Beispiel 1.2.3 ↔ File/Directory ex:LV
• Beispiel 1.2.5 ↔ File/Directory ex:Oregonator
• Beispiel 1.2.6 ↔ File/Directory ex:heartbeat
• Beispiel 1.3.8 ↔ File/Directory ex:Lorenz
• Beispiel 1.4.2 ↔ File/Directory ex:expleulcvg
Im(M) := {Mx:x ∈ R d }, Bild der Matrix M, 298
Diskrete Evolution Ψ s,t y, 90
Eklidische Vektornorm ‖·‖, 32
Hamilton-Funktion H, 30
Konsistenzfehler τ(t,y, h), 96
Landau-o, 96
Landau-Symbol O(h p ), 93
Push-Forward Φ ∗ , 361
symplektisches Produkt ω(v,w), 361
ToleranzTOL, 199
Vektorprodukt ×, 33
5.0
p. 473
• Beispiel 1.4.3 ↔ File/Directory ex:eeullog p. 474
5.0
• Beispiel 1.4.5 ↔ File/Directory ex:ieullog
• Beispiel 1.4.6 ↔ File/Directory ex:pendeul
• Beispiel 1.4.7 ↔ File/Directory ex:eulspin
• Beispiel 1.4.9 ↔ File/Directory ex:logimid
• Beispiel 1.4.10 ↔ File/Directory ex:imidspin
>> eulspin([1;0],10,40,’midspin40’)
>> eulspin([1;0],10,160,’mispin160’)
• Beispiel 1.4.11 ↔ File/Directory ex:pendimid
>> pendmidp([pi/4;0],5,50,’pendimid50’);
>> pendmidp([pi/4;0],5,100,’pendimid100’);
>> pendmidp([pi/4;0],5,200,’pendimid200’);
• Beispiel 1.4.14 ↔ File/Directory ex:svpend
• Beispiel 2.2.4 ↔ File/Directory ex:cvgkoll
• Beispiel 2.2.6 ↔ File/Directory ex:GaussCollcvg
• Beispiel 2.4.1 ↔ File/Directory ex:kombesv
• Beispiel 2.3.8 ↔ File/Directory ex:rkexplcvg
• Beispiel 2.4.4 ↔ File/Directory ex:eulexpol
• Beispiel 2.4.6 ↔ File/Directory ex:eulex p. 475
• Beispiel 2.5.1 ↔ File/Directory ex:splitcvg
• Beispiel 2.5.4 ↔ File/Directory ex:splitinex
• Beispiel 2.6.1 ↔ File/Directory ex:qualest
• Beispiel 2.6.9 ↔ File/Directory ex:adesv
• Beispiel 2.6.10 ↔ File/Directory ex:adaptsat
• Beispiel 3.0.11 ↔ File/Directory ex:logeximpl
• Beispiel 3.3.3 ↔ File/Directory ex:GaussCollLog
• Beispiel 3.4.1 ↔ File/Directory ex:iesvstiff
• Beispiel 3.5.1 ↔ File/Directory ex:ode45stiff
• Beispiel 3.5.3 ↔ File/Directory ex:odecircuit
• Beispiel 3.5.5 ↔ File/Directory ex:odes
• Beispiel 3.6.1 ↔ File/Directory ex:silog
logsieul(0.1,round(5*1.5.ˆ(0:18)),’silog’);
• Beispiel 3.6.2 ↔ File/Directory ex:siradlog
siradlog(0.1,round(5*1.5.ˆ(0:18)),’siradlog’)
• Beispiel 3.6.4 ↔ File/Directory ex:pendimipEnSmp
• Beispiel 3.7.2 ↔ File/Directory ex:eeul p. 476
5.0
5.0

• Beispiel 3.7.3 ↔ File/Directory ex:eeulstiff
• Beispiel 3.8.8 ↔ File/Directory ex:daecircml
• Beispiel 3.8.11 ↔ File/Directory ex:daependmatlab
• Beispiel 3.8.12 ↔ File/Directory ex:daependieul
• Beispiel 4.1.1 ↔ File/Directory ex:magneedle
• Beispiel 4.4.1 ↔ File/Directory ex:enpres
• Beispiel 4.4.10 ↔ File/Directory ex:pendsympeul
• Beispiel 4.4.13 ↔ File/Directory ex:md
• Beispiel 4.4.12 ↔ File/Directory ex:springpend
• Beispiel 4.4.14 ↔ File/Directory ex:moldyn
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5.0
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