2 - SAM - ETH Zürich

Definition 2.1.3 (Diskretisierungsfehler).
Für gegebenes T ∈ J(t 0 ,y 0 ), sei y : [t 0 , T] ↦→ R d Lösung des AWP (1.1.6)
y G eine Näherungslösung auf dem Gitter G = {t 0 < t 1 < · · · < t N = T }.
Diskretisierungsfehler
Definition 2.1.4 (Konvergenz und Konvergenzordnung).
Das ESV (2.1.1) zum AWP (1.1.6) konvergiert, falls
∀ǫ > 0: ∃δ > 0: ∀Zeitgitter G: h G ≤ δ ⇒
(Kurz: ǫ G → 0, falls h G → 0)
ǫ G := max
0≤k≤N ‖y(t k) − y k ‖ .
ESV wohldefiniert,
ǫ G ≤ ǫ .
Das ESV heisst (algebraisch) konvergent von der Ordnung p ∈ N, falls
✗
✖
d
(
Ψ s,t y
dt
)
Falls Ψ (i)–(iii) erfüllt, dann gilt Ψ = Φ !
Ψ s,t+τ y − Ψ s,t y (iii) Ψ t,t+τ (Ψ s,t y) − Ψ t,t (Ψ s,t y) (ii)
= lim
= lim
= f(t,Ψ s,t y) .
τ→0 τ τ→0 τ
t ↦→ Ψ s,t löst das gleiche Anfangswertproblem für ẏ = f(t,y) wie t ↦→ Φ s,t y. Mit Satz von Picard-
Lindelöf Thm. 1.3.4 folgt Ψ = Φ.
Definition 2.1.5 (Konsistenz einer diskreten Evolution).
Diskrete Evolution Ψ ist konsistent mit der ODE ẏ = f(t,y), falls für alle (t,y) ∈ Ω
Ψ t,t d
y = y und
ds Ψt,t+s y
∣ = f(t,y) .
s=0
✔
✕
ESV wohldefiniert,
∃h 0 > 0, C > 0:
ǫ G ≤ Ch p G
(Kurzschreibweise mit Landau-Symbol ǫ G = O(h p ))
∀Zeitgitter G, h G ≤ h 0 .
2.1
Erweiterung: Kovergenz für alle (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω ➣ globale Konvergenz p. 93
Beachte: Kovergenz ist ein asymptotischer Begriff (h G → 0)
2.1.2 Konsistenz [5, Sect. 4.1.1]
✬
Lemma 2.1.6 (Darstellung konsistenter diskreter Evolutionen).
(t,y) ∈ Ω, s ↦→ Ψ t,t+s y stetig differenzierbar in Umgebung von 0. Ψ is genau dann konsistent
mit ẏ = f(t,y) (→ Def. 2.1.5), wenn eine auf dieser Nullumgebung stetige Inkrementfunktion
h ↦→ ψ(t,y, h) existiert mit
Ψ t,t+h y = y + hψ(t,y,h) , ψ(t,y, 0) = f(t,y) . (2.1.2)
✩
2.1
p. 95
Kontinuierliche Evolution (→ Def. 1.3.5) ←→
Diskrete Evolution
Φ s,t
Ψ s,t
erfüllt für alle (t,y) ∈ Ω
sollte erfüllen:
(i) Φ t,t y = y
(i) Ψ t,t y = y klar!
(ii) d ds Φt,t+s y
d
∣ = f(t,y)
(ii)
s=0 ds Ψt,t+s y
∣ = f(t,y) unbedingt!
s=0
(iii) Φ r,s Φ t,r y = Φ t,s y ∀r,s ∈ J(t,y) (iii) Ψ r,s Ψ t,r y = Ψ t,s y ∀r, s ∈ J(t,y) utopisch!
Unter der Annahme, dass t ↦→ Ψ s,t y differenzierbar:
✫
Definition 2.1.7 (Konsistenzfehler einer diskreten Evolution).
Konsistenzfehler: τ(t,y,h) := Φ t,t+h y − Ψ t,t+h y (h hinreichend klein); .
✬
Lemma 2.1.8 (Konsistenz und Konsistenzfehler).
Sei (t,y) ∈ Ω, s ↦→ Ψ t,t+s y stetig differenzierbar in Umgebung von 0. Ψ is genau dann
konsistent mit ẏ = f(t,y) (→ Def. 2.1.5), wenn für den Konsistenzfehler gilt
‖τ(t,y, h)‖ = o(h) für h → 0 lokal gleichmässig in (t,y) ∈ Ω .
✪
✩
2.1
p. 94
✫
✎
Notation:
✪
2.1
g(h)
Landau-o”: g(h) = o(h) :⇔
” h → 0 für h → 0 p. 96