2 - SAM - ETH Zürich

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Theorem 2.4.3 (Asymptotische Entwicklung des Diskretisierungsfehlers von ESV).
Es existieren ein K ∈ N (abhängig von der Glattheit von f) und glatte Funktionen e i :
J(t 0 ,y 0 ) ↦→ R d , i = p,p + 1,...,p + K, mit e i (0) = 0 und (für hinreichend kleine h)
gleichmässig beschränkte Funktionen (T,h) ↦→ r k+p+1 (T,h), 0 ≤ k ≤ K, so dass
Dabei gilt
✫
y N − y(T) =
k∑
e l+p (T)h l+p + r k+p+1 (T,h)h k+p+1 für kleines h .
l=0
∥
∥r k+p+1 (T,h) ∥ ∥ = O(T − t 0 ) für T − t 0 → 0 gleichmässig in h < T ,
‖e(T)‖ = O(T − t 0 ) für T − t 0 → 0.
Beweis. Annahme: f, y(t) ”
hinreichend” glatt
Weiter nehmen wir globale Lipschitz-Stretigkeit der Inkrementfunktion ψ des ESV aus (2.4.5) an:
∃L > 0: ‖ψ(t,z, h) − ψ(t,w,h)‖ ≤ L ‖z − w‖ gleichmässig in t 0 ≤ t ≤ T, h . (2.4.6)
✩
✪
Beweis von (2.4.9) durch Induktion:
(∗) ← Induktionsannahme.
ŷ j+1 = ŷ j + ĥψ(t j ,ŷ j ,h)
(2.4.8)
= ŷ j + hψ(t j ,ŷ j + e(t j )h p ,h) − h p (e(t j+1 ) − e(t j ))
(∗)
= y j + hψ(t j ,y j ,h) −e(t
} {{ } j+1 )h p .
=y j+1
Annahme: Das modifizierte Einschrittverfahren ist konsistent mit ẏ = f(t,y) zur Ordnung p + 1
Thm. 2.1.10
⇒ ŷ N − y(T) = r p+1 (T, h)h p+1 ,
∥
∥r p+1 (T, h) ∥ ≤ C exp(L(T − t 0)) − 1
,
} {{ L }
=O(T −t 0 ) für T −t 0 →0
(Kompaktheitsargumente, vgl. Beweis von Thm. 2.1.10, machen Verzicht auf diese Annahme
möglich.)
Konsequenz der Konsistenzordnung p (→ Def. 2.1.9) und Glattheit von f: für Konsistenzfehler (→
Def. 2.1.7) entlang der Lösungstrajektorie (nur dort wird die Konsistenzfehlerabschätzung im Beweis
2.4
p. 173
mit C > 0 unabhängig von h, T . L ˆ= gemeinsame Lipschitz-Konstante von ψ, ̂ψ (bzgl. y) aus (2.4.6)
(2.4.9)
⇒ y N − y(T) = e(T)h p + r p+1 (T, h)h p+1 .
Damit haben wir das erste Glied der asymptotischen Entwicklung des Theorems erhalten.
2.4
p. 175
von Thm. 2.1.10 gebraucht !) gilt
τ(t,y(t), h) := y(t + h) − Ψ t,t+h y(t) = d(t)h p+1 + O(h p+2 ) für h → 0 , (2.4.7)
mit stetiger Funktion d : [t 0 , T] ↦→ R d . Dies ergibt sich mit Taylorentwicklung, siehe Bsp. 2.3.9:
RK-ESV: d hängt nur von Ableitungen von f ab ➢ d “hinreichend glatt”
Idee: Betrachte ESV mit modifizierter Inkrementfunktion
̂ψ(t,u, h) := ψ(t,u + e(t)h p ,h) − (e(t + h) − e(t))h p−1 , (2.4.8)
mit “hinreichend glatter” Funktion e : [t 0 , T] ↦→ R d .
Beachte: Auch ̂ψ erfüllt (2.4.6) mit dem gleichen L > 0.
Warum betrachten wir dieses modifizierte ESV ?
y j /ŷ j , j = 0, ...,N ˆ= Gitterfunktionen erzeugt durch ursprüngliches/modifiziertes ESV mit Zeitschrittweite
h := (T −t 0)
N . Setze ŷ 0 = y 0
ŷ j = y j − e(t j )h p , t j := t 0 + jh , j = 0, ...,N . (2.4.9)
2.4
p. 174
Induktive Anwendung des Arguments ➢ Modifizierte ESVen ̂Ψ 1 := ̂Ψ, ̂Ψ 2 , ..., ̂Ψ k+1 konsistent
zu ẏ = f(t,y) mit Ordnungen p + 1,p + 2,...,p + k + 1 erzeugen Näherungslösungen ŷ 1 j :=
ŷ j ,ŷj 2, ...,ŷk+1 j
, j = 1, . ..,N.
Mit ŷ 0 k = y k (Teleskopsumme)
ŷj l+1 = ŷj l − e l(t j )h p+l , l = 0, ...,k .
k∑
y N − y(T) = ŷN l − ŷl+1 N + r p+k+1(T,h)h p+k+1
l=0
k∑
= e l (T)h p+l + r p+k+1 (T,h)h p+k+1 .
l=0
Daraus folgt die Behauptung des Theorems.
?
Existenz von e(t) so dass das modifizierte ESV Konsistenzordnung p + 1 besitzt.
☞
Betrachte den Konsistenzfehler des modifizierten Verfahrens & Taylorentwicklung(en)
y(t + h) − ̂Ψ t,t+h y(t) = y(t + h) − y(t) − ĥψ(t,y(t),h)
= y(t + h) − y(t) − hψ(t,y(t) + e(t)h p ,h) + (e(t + h) − e(t))h p
(
= y(t + h) − y(t) − h ψ(t,y(t),h) + ∂ψ
)
∂y (t,y(t), h)e(t)hp + O(h 2p ) + ė(t)h p+1 + O(h p+2 )
( )
2.4
p. 176