Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
Wobei man die letzte Gleichung mit der Stirling-Formel (n! ∼ √ 2πn(n/e) n ) bekommt. Insgesamt
erhalten wir, dass ∑ ∞
n=1 a n log n genau dann endlich ist, wenn ∑ ∞
k=1 p kk log k endlich ist.
1.6 Subkritische Verzweigungsprozesse
In diesem Abschnitt betrachten wir den subkritischen Fall m < 1. Wenn wir die Taylorentwicklung
von g um 1 (siehe (1.7)) auf g k (s) anwenden, dann erhalten wir
bzw.
g k+1 (s) = g(g k (s)) = 1 − m(1 − g k (s)) + r(g k (s))(1 − g k (s)), (1.9)
1 − g k+1 (s)
1 − g k (s)
Teleskopprodukt dieser Gleichungen liefert
(
= m 1 − r(g )
k(s))
. (1.10)
m
1 − g n (s)
1 − s
n−1
∏
= m n
k=0
(
1 − r(g )
k(s))
. (1.11)
m
Da 0 ≤ r(s)/m ≤ 1 für s ∈ [0, 1] ist, gibt es zu jedem s ∈ [0, 1] ein φ(s) ≥ 0 mit
Insbesondere ist
m −n 1 − g n(s)
1 − s
↓ φ(s), für n → ∞. (1.12)
P[Z n > 0] = 1 − g n (0) ∼ m n φ(0), (1.13)
wobei wir wie üblich a n ∼ b n schreiben, falls a n /b n → 1 für n → ∞.
Ein nützliches und leicht zu beweisendes Kriterium, das Konvergenz von Reihen und Produkten
in Verbindung bringt ist das folgende Resultat (Übung!).
Lemma 1.17. Es sei (a n ) n≥0 eine Folge mit 0 ≤ a n ≤ 1. Dann konvergiert ∏ ∞
n=1 (1 − a n) genau
dann gegen eine positive Zahl, wenn die Reihe ∑ ∞
n=1 a n konvergiert.
Mit diesem Lemma gilt φ(0) > 0 genau dann, wenn ∑ ∞
k=0 r(g k(0)) < ∞. Aus 1 − g(s) ≤
m(1 − s) (was z.B. aus (1.7) folgt) erhalten wir induktiv
1 − g k (s) ≤ m k (1 − s)
für alle k. Aus der Konvexität von g folgt für s ≥ s 0
woraus wir induktiv
1 − g(s)
1 − s
≥ g ′ (s 0 ),
1 − g k (s) ≥ (g ′ (s 0 )) k (1 − s)
erhalten. Mit s 0 = p 0 (was zwangsläufig positiv im subkritischen Fall ist) und a = g ′ (p 0 ) folgt
1 − m k ≤ g k (0) = g k−1 (g(0)) = g k−1 (p 0 ) ≤ 1 − a k−1 (1 − p 0 ) ≤ 1 − b k ,
wobei b k = a ∧ (1 − p 0 ) ist. Nach Lemma 1.16 gilt also ∑ ∞
k=0 r(g k(0)) < ∞ genau dann, wenn
∑ ∞
k=1 p kk log k < ∞ ist. Es gilt also das folgende Theorem.
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