Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
Beispiel 1.30. Für l ∈ (0, 1) setze q l (0) = 1−l und q l (⌈2/l⌉) = l. Dadurch ist eine einparametrige
Verteilung auf N 0 definiert mit Mittelwert
m l = l · ⌈2/l⌉ > 1.
Sei nun der Parameter l Realisierung der Zufallsvariablen L mit Verteilung
P[L ≤ x] = C(− log x) −α , x ∈ (0, 1).
Dabei ist α ∈ (0, 1) fest und C ist eine Normierungskonstante. Wir setzen Q = q l , wenn L = l
ist. Dann gilt
E[X] = E[log(L · ⌈2/L⌉] > 0
und
E[log(1 − Q({0}))] = E[log L] = −C
∫ 1
= C
1 + α lim
A→0 (log A)1+α = −∞.
0
log x 1 x α(log x)α−1 ] = −C
(log x)1+α
1 + α
∣
∣ 1 0
23