Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
1.4 Kritische Verzweigungsprozesse
Hier betrachten wir genauer den kritischen Fall m = 1. Wir wissen bereits, dass
P[Z n → 0] = 1,
E[Z n ] = 1,
Var[Z n ] → ∞.
Ist also Z n nicht 0 sollte man wegen der großen Varianz auch große Werte erwarten.
Lemma 1.14. Es sei m = 1 und σ 2 < ∞. Dann gilt
[
1 1
lim
n→∞ n 1 − g n (s) − 1 ]
= σ2
1 − s 2
(1.6)
gleichmäßig in s ∈ [0, 1).
Beweis. Es sei s ∈ [0, 1). Mit Taylorentwicklung in 1 gilt
g(s) = g(1) + g ′ (1)(s − 1) + g′′ (1)
2 (1 − s)2 + r(s)(1 − s) 2 ,
für ein r mit lim s↑1 r(s) = 0. Mit g(1) = 1, g ′ (1) = m = 1 und σ 2 = g ′′ (1)+g ′ (1)−(g ′ (1)) 2 = g ′′ (1)
(siehe Lemma 1.6) erhalten wir
Es folgt
g(s) = s + σ2
2 (1 − s)2 + r(s)(1 − s) 2 .
1
1 − g(s) − 1
σ
1 − s = g(s) − s
2
(1 − g(s))(1 − s) = 2 (1 − s)2 + r(s)(1 − s) 2
(1 − g(s))(1 − s)
= 1 − s
1 − g(s)
( σ
2
2 + r(s) )
= σ2
2 + ρ(s),
wobei
ρ(s) :=
1
1 − g(s) − 1
1 − s − σ2
2 = 1 − s ( ) σ
2
1 − g(s) 2 + r(s) − σ2
2
→ 0 für s ↑ 1.
Wir können diese Gleichung iterieren und erhalten
[
1 1
n 1 − g n (s) − 1 ]
1 − s
= 1 n−1
∑
[
]
1
n 1 − g(g j (s)) − 1
1 − g j (s)
j=0
= σ2
2 + 1 n−1
∑
ρ(g j (s)).
n
Da g n (0) ≤ g n (s) ≤ 1 und g n (0) ↑ 1 ist die Konvergenz g n (s) → 1 uniform in s ∈ [0, 1). Da ρ
beschränkt ist folgt die Behauptung.
j=0
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