Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
Die Folge (X 2 n(s)) ist ein [0, 1]-wertiger Submartingal. Für s < 1 gilt daher (hier ist nach unserer
Annahme 1.1 Z 1 nicht-trivial in dem Sinne, dass P[Z 1 = 0] < 1)
E[X 2 ∞(s)] ≥ E[X 2 1(s)] > E 2 [X 1 (s)].
Insgesamt ist X ∞ (s) eine Zufallsvariable mit positiver Varianz.
Wir definieren C n (s) := (− log gn
−1 (s)) −1 und ˜W (s) := − log X ∞ (s) (der Wert unendlich ist
zunächst mal nicht ausgeschlossen). Es gilt nun
1
C n (s) Z n = − log(g −1
n (s))Z n = − log(X n (s)) → ˜W (s) f.s.
Um zu zeigen, dass ˜W (s) f.s. endlich ist betrachten wir die Taylorentwicklung von g. Wie wir
im Abschnitt 1.5 gesehen haben ist
1 − g(s) = (m − r(s))(1 − s).
Ersetzen wir s durch g −1 (s) für q < s < 1 dann gilt
Produkt über k = 1, . . . , n liefert
k
1 − g −1
k
(s)
1 − g −1
k−1 (s) = 1
m(1 − r(g −1
k
(s))/m).
m n (1 − g −1
n (s)) =
∏ n
k=1
1 − s
(1.20)
(1 − r(g−1
k
(s))/m).
Wegen − log x ∼ 1 − x für x ↑ 1 und gn
−1 (s) ↑ 1 für n → ∞ und s > q folgt
lim
n→∞
C n (s)
C n−1 (s) = lim 1 − g −1
n→∞
Nun können wir die f.s. Endlichkeit von ˜W zeigen. Es gilt
P[˜W (s) < ∞] = E[P[ lim
[ [
= E P
n→∞ C−1
lim
n→∞
(
= g P[˜W (s) < ∞]
n−1 (s)
1 − g −1 n (s) = m.
n (s)Z n < ∞|Z 1 ]]
] ]
C n−1 (s)
Z1
C n (s) C−1 n−1 (s)Z n−1 < ∞
)
.
Analog zeigt man, dass
(
)
P[˜W (s) = 0] = g P[˜W (s) = 0] .
Da die Wahrscheinlichkeit auf der linken Seite kleiner 1 ist, folgt P[˜W (s) = 0] = q. Schließlich
ist
s = E[X ∞ (s)] = E[e −˜W (s) ] ≤ P[˜W (s) < ∞]
und somit ist P[˜W (s) < ∞] = 1 für s > q. Ansonsten hätten wir nach Lemma 1.10 q < s ≤
P[˜W (s) < ∞] = g n (P[˜W (s) < ∞]) → q für n → ∞, was zu einem Widerspruch führt.
15