Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

4 Populationsmodelle mit fester Populationsgröße
Mit Hilfe der Green-Funktion kann man verschiedene Funktionale des Prozesses berechnen. Für
stetige Funktionen g auf (a, b) gilt nämlich
[ ∫ ]
T ∗
∫ b
E x g(X s ) ds = G(x, ξ)g(ξ) dξ. (4.12)
0
Nehmen wir hier g ≡ 1, so steht hier auf der linken Seite E[T ∗ ]. Für die Wright-Fisher Diffusion
erhalten wir also für p ∈ (0, 1)
E p [T ∗ ] =
= 2
∫ 1
= 2p
0
∫ 1
G(p, ξ) dξ
p
∫ 1
p
a
∫
1
p
p(1 − ξ)
ξ(1 − ξ) dξ + 2 1
(1 − p)ξ
ξ(1 − ξ) dξ
∫
1
p
ξ dξ + 2(1 − p)
0
0
1
1 − ξ dξ
= −2(p log p + (1 − p) log(1 − p)).
Für große N ist dies auch eine gute Approximation für die erwartete Absorptionszeit in dem
Moran Modell bei Start des einen Typs mit Häufigkeit p. Für Wright-Fisher Modell auf der
ursprünglichen Zeitskala und bei Start mit Häufigkeit p gilt wie wir schon in (4.7) bemerkt
haben
T (N)
p
≈ −2N(p log p + (1 − p) log(1 − p)),
und insbesondere ist T (N)
1/2
≈ 2N log 2.
Nun betrachten wir die Wright-Fisher Diffusion mit Mutation. In diesem Fall sind die Ränder
nicht absorbierend also handelt es sich um eine regulären (d.h. jeder Punkt ist mit positiver
Wahrscheinlichkeit von jedem anderen Punkt aus erreichbar, in der Sprache von Markovketten
würde man irreduzibel sagen) Diffusion auf einem kompakten Intervall. Damit ist sie auch positiv
rekurrent und in diesem Fall haben Markovketten eindeutige stationäre Verteilungen. Dasselbe
ist auch für Diffusion wahr und schauen uns die stationäre Verteilung der Wright-Fisher Diffusion
an.
Es sei zunächst allgemein X = (X t ) t≥0 ein Diffusionsprozess auf [a, b] mit Generator (4.9).
Eine stationäre Verteilung von X ist eine Verteilung Ψ mit der Eigenschaft X t ∼ Ψ für alle
t ≥ 0, falls X 0 ∼ Ψ. Insbesondere ist dann
An der Stelle t = 0 erhalten wir
a
∫ b
0 = d dt E[f(X t)|X 0 ∼ Ψ] = d dt
∫ b
a
∫ b
a
Af(x)Ψ(dx) = 0
E[f(X t )|X 0 = x]Ψ(dx).
für alle f ∈ D(A). Aus dieser Gleichung kann man manchmal Ψ bekommen. Wir schreiben im
Folgenden ψ(x) dx = Ψ(dx). Mit partieller Integration erhalten wir
∫ b
( )
1
0 =
2 σ2 (x) d2 f df
(x) + µ(x)
dx2 dx (x) ψ(x) dx
=
a
( 1
f(x)
2
d 2
dx 2 (σ2 (x)ψ(x)) − d
dx (µ(x)ψ(x)) )
dx + Randterme.
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