Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

3 Diffusionsapproximation von Verzweigungsprozessen
Genau wie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen (z.B. hat die DGL y ′ = √ y zwei Lösungen
y(x) ≡ 0 und y(x) = x 2 /4 mit derselben Anfangswert y(0) = 0) sind die Lösungen von
Martingalproblemen im Allgemeinen nicht eindeutig. Genauso wenig müssen die Lösungen Markovprozesse
sein. Das folgende Resultat (siehe Ethier and Kurtz 1986, Thm. 4.4.2) zeigt, dass die
letzten beiden Eigenschaften aus der Eindeutigkeit der eindimensionalen Verteilungen folgen.
Theorem 3.7. Es sei E separabel und sei A ein Operator auf B(E). Ferner seien X und Y zwei
Lösungen des Martingalproblems zu A mit derselben Startverteilung. Wenn die eindimensionalen
Verteilungen von X und Y übereinstimmen, dann stimmen auch alle endlich-dimensionalen
Verteilungen überein. Ferner sind X und Y (zeitlich) homogene Markovprozesse.
Eindeutigkeit der Lösungen von Martingalproblemen kann oft mit Hilfe der Dualität der Lösung
zu einem anderen Prozess (welcher auch deterministisch sein kann). Das folgende Theorem
ist ein Spezialfall von Theorem 4.4.11 in (Ethier and Kurtz 1986).
Theorem 3.8. Es seien E 1 und E 2 zwei metrische Räume und seien f, g ∈ B(E 1 × E 2 ) mit
f(x, ·) ∈ C(E 2 ) für alle x ∈ E 1 und g(·, y) ∈ C(E 1 ) für alle y ∈ E 2 . Ferner seien für zwei
stochastische Prozesse X und Y auf E 1 bzw. E 2
f(X t , y) −
∫ t
0
g(X s , y) ds und f(x, Y t ) −
Martingale für alle x ∈ E 1 und y ∈ E 2 . Dann gilt für t ≥ 0
∫ t
0
g(x, Y s ) ds (3.11)
E X0 [f(X t , Y 0 )] = E Y0 [f(X 0 , Y t )]. (3.12)
Beweis. Da f und g beschränkt sind können wir in (3.11) Erwartungswerte nehmen und die
Integrationsreihenfolge vertauschen. Nach Ableiten erhalten wir dann für s ≥ 0
d
ds E X 0
[f(X s , y)] = E X0 [g(X s , y)]
Es folgt für s ∈ [0, t]
und
d
ds E Y 0
[f(x, Y s )] = E Y0 [g(x, Y s )]. (3.13)
d
ds E X 0 ×Y 0
[f(X s , Y t−s )] = E X0 ×Y 0
[g(X s , Y t−s )] − E X0 ×Y 0
[g(X s , Y t−s )] = 0. (3.14)
Schließlich liefert Integration über [0, t]
0 =
∫ t
was gerade die Behauptung ist.
0
d
ds E X 0 ×Y 0
[f(X s , Y t−s )] ds = E X0 ×Y 0
[f(X t , Y 0 )] − E X0 ×Y 0
[f(X 0 , Y t )],
3.2 Diffusionslimes reskalierter BGWP
Es sei Z (N) eine Folge von BGWP in stetiger Zeit (definiert in Abschnitt 2.3) mit Rate α (für
die Lebensdauer) und Nachkommensverteilung gegeben durch die Verteilung von ξ (N) . In diesem
Abschnitt betrachten wir das Verhalten der Folge X (N) := (X (N)
t ) t≥0
X (N)
t
:= 1 N Z(N) Nt
(3.15)
für N → ∞. Wir nehmen an, dass Z (N)
0 in Verteilung gegen eine Zufallsvariable X 0 konvergiert
(ansonsten können wir natürlich auch keine Konvergenz auf der Prozessebene erwarten).
37