Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

2 Verzweigungsprozesse in stetiger Zeit
und es folgt |R t f(z)| → 0 für t → 0. Mit einem ähnlichen Argument zeigt man auch
1
t
∫ t
Insgesamt folgt für jedes z ∈ N 0
0
e −αzs e −α(z−1+k)(t−s) ds → 1 für t → 0.
1
t (T tf(z) − f(z)) → Af(z) für t → 0.
Es bleibt noch Uniformität zu zeigen. Sei n 0 so, dass f(z) = 0 für z ≥ n 0 . Für z ≥ n 0 + 1 gilt
Für z > n 0 + 1 ist also
P z [Z t < n 0 ] ≤ αn 0 p 2 0
∫ t
0
e −α(n 0+1)s (1 − e −αn 0(t−s) ) ds.
1
t |T tf(z) − f(z)| = 1 t |E z[f(Z t )]| ≤ 1 t ‖f‖ ∞P z [Z t < n 0 ]
≤ 1 t ‖f‖ ∞αn 0 p 2 0
∫ t
0
e −α(n 0+1)s (1 − e −αn 0(t−s) ) ds.
Wie oben kann man zeigen, dass die rechte Seite für t → 0 gegen Null konvergiert, was die
Uniformität zeigt.
Das folgende Theorem zeigt, dass in ein BGWP in stetiger Zeit stets BGWP in diskreter Zeit
eingebettet sind. Man kann also Resultate aus dem vorherigen Kapitel auch für Verzweigungsprozesse
in stetiger Zeit nutzen. Umgekehrt kann man jedoch nicht jeden BGWP in diskreter
Zeit in einen mit stetiger Zeit einbetten (siehe Athreya and Ney 1972, Abschn. III.12).
Theorem 2.15. Es sei Z ein BGWP in stetiger Zeit mit Generator A definiert in (2.8) und
zugehöriger Halbgruppe (T t ) t∈R+ . Für ein festes δ > 0 definieren wir ˜Z n := Z δn , n ∈ N 0 . Dann
ist ˜Z := ( ˜Z n ) n∈N0 ein BGWP in diskreter Zeit. Die erzeugende Funktion der Nachkommensverteilung
ist gegeben durch g(s) := T δ h s (1), wobei h s (z) := s z für s ∈ [0, 1] und z ∈ N 0 ist.
Beweis. Es gilt
g(s) = E 1 [s ˜Z 1
] = E 1 [s Z δ
] = T δ h s (1)
und da die Verzweigungseigenschaft sich von Z auch überträgt, ist das Theorem bewiesen.
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