Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

4 Populationsmodelle mit fester Populationsgröße
des Moran Modells mit Mutation und zwei Typen in Abbildung 4.2. Anstatt Mutation zwischen
zwei Typen kann man sich allgemeinere Mutationsmechanismen und Typenräume vorstellen. Bei
der Graphischen Konstruktion ändern sich nur die Ereignisse an den “Mutationskreuzen”. Wir
nehmen an, dass Mutationen sich im Moran Modell entlang jeder Linie gemäß unabhängiger
Poissonprozesse mit Rate θ/2 ereignen.
Definition 4.6 (Infinitely many alleles model). In dem infinitely many alleles model (IMA)
wird bei einem Mutationsereignis ein neues Allel erzeugt, das in der Population bis dahin nicht
vorgekommen ist. Beispielsweise kann man (0, 1) als Typenraum nehmen und bei jeder Mutation
eine neue unanhängige auf (0, 1) gleichverteilte Zufallsvariable nehmen.
In dem IMA sind zwei Gene (Individuen) genau dann identisch, wenn auf dem genealogischen
Baum keine zwischen den beiden kein Mutationsereignis stattgefunden hat. Wenn T die Zeit bis
zum letzten gemeinsamen Vorfahr ist, dann gilt
P ( zwei zufällig gezogene Gene sind vom selben Typ )
= E [P ( zwei zufällig gezogene Gene sind vom selben Typ| MRCA zur Zeit T )]
= E [P (keine Poissonpunkte im Intervall [0, 2T ] )]
[ ] [ ]
= E e − θ 2 ·2T = E e −θT .
Also haben wir nachgerechnet, dass die Homozygotie (definiert als 1− Heterozygotie) die Laplacetransformierte
von T ist. Diese Rechnung funktioniert sowohl im neutralen Fall als auch
im Fall mit Selektion. Da wir hier schon wissen, dassT exponentiell mit Rate 1 verteilt ist kann
man leicht nachrechnen, dass die Homozygotie (im lange laufenden IMA-Modell) durch 1/(1+θ)
gegeben ist.
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