Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
Theorem 1.15. Ist m = 1 und σ 2 < ∞, so gilt
(i)
(ii)
(iii)
Beweis.
lim nP[Z n > 0] = 2
n→∞ σ 2 ,
[
lim E Zn
n→∞ n |Z n > 0
]
= σ2
2 ,
[
Zn
lim
n→∞ P n ≤ u|Z n > 0
]
= 1 − e −2u/σ2 , u ≥ 0.
(i) Mit s = 0 in (1.6) gilt
[ (
) 1 1
nP[Z n > 0] = n(1 − g n (0)) =
n 1 − g n (0) − 1 + 1 ] −1
→ 2 n σ 2 .
(ii) Allgemein gilt für Verzweigungsprozesse E[Z n ] = E[Z n |Z n > 0]P[Z n > 0] + 0 · P[Z n = 0]
und somit E[Z n |Z n > 0] = E[Z n ]/P[Z n > 0]. Damit und mit (i) erhalten wir
[ ]
Zn
E
n |Z 1
n > 0 =
nP[Z n > 0] → σ2
2 .
(iii) Wir haben zu zeigen, dass bedingt auf Z n > 0 die Folge Z n /n gegen eine exponentiell
verteilte Zufallsvariable mit Parameter 2/σ 2 in Verteilung konvergiert. Dazu reicht es
zu zeigen, dass die bedingte Laplace-Transformierte E [exp(−uZ n /n)|Z n > 0] gegen die
Laplace-Transformierte der Exponentialverteilung mit Parameter 2/σ 2 konvergiert. Letztere
ist gegeben durch
u ↦→
∫ ∞
0
e −ux 2 σ 2 e− 2
σ 2 x dx =
Wenn u = 0 ist, dann ist nichts zu zeigen. Für u > 0 gilt
1
1 + uσ 2 /2 .
g n (exp(−u/n)) = E [ exp(−u/n) Zn] = E [exp(−uZ n /n)]
= E [exp(−uZ n /n)|Z n > 0] P[Z n > 0] + 1 · P[Z n = 0]
= E [exp(−uZ n /n)|Z n > 0] (1 − g n (0)) + g n (0).
Nun können wir nach dem bedingten Erwartungswert auflösen und erhalten
E [exp(−uZ n /n)|Z n > 0] = g n(exp(−u/n)) − g n (0)
1 − g n (0)
Den zweiten Term können wir wie folgt umschreiben
= 1 − 1 − g n(exp(−u/n))
.
1 − g n (0)
[
1 1
n(1 − g n (0)) n ·
=
1
n(1 − g n (0))
1
1 − g n (exp(−u/n))
[ ( 1
n
] −1
1
1 − g n (exp(−u/n)) − 1
n→∞
−−−→ σ2
2
1 − exp(−u/n)
( σ
2
2 + 1 u
)
+ 1 n ·
]
1 −1
1 − exp(−u/n)
) −1
= σ2 u
σ 2 u + 2 = 1 − 1
σ 2 u/2 + 1 .
8