Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

4 Populationsmodelle mit fester Populationsgröße
Der Generator von X (N) ist gegeben durch
A (N) f(p) := A (N)
res f(p) + A (N) f(p) (4.8)
mut
mit
und
( ) ( ( (
N
A (N)
res f(p) = p(1 − p) f p + 1 ) ) ( (
− f(p) + (1 − p)p f p − 1 ) ))
− f(p)
2 N
N
( (
A (N)
mut = Nθ 1(1 − p) f p + 1 ) ) ( (
− f(p) + Nθ 2 p f p − 1 ) )
− f(p) .
N
N
Den Resampling-Generator A (N)
res f(p) kennen wir schon. Außerdem haben wir schon gezeigt, dass
dieser für N → ∞ gegen 1 2 p(1 − p)f ′′ (p) konvergiert.
Für den Mutationsgenerator erhalten wir
Insgesamt gilt also
A (N)
mut = N (θ 1 (1 − p) 1 N f ′ (p) − Nθ 2 p 1 N f ′ (p) + O(N −2 )
= (θ 1 (1 − p) − θ 2 p) f ′ (p) + O(N −1 ).
A (N) f(p) → 1 2 p(1 − p)f ′′ (p) + (θ 1 (1 − p) − θ 2 p) f ′ (p), N → ∞.
Das ist der Generator der Wright-Fisher Diffusion mit Mutation.
4.3 Wright-Fisher Diffusion
Eine eindimensionale Diffusion ist ein starker Markovprozess auf R mit stetigen Pfaden. Der Zustandsraum
ist typischerweise ein Intervall (a, b), der endlich oder unendlich ein kann. Außerdem
können je nach Anwendung beide, einer oder keiner der Randpunkte {a, b} zum Zustandsraum
gehören. Der Generator hat die Form
Af(x) = 1 2 σ2 (x)f ′′ (x) + µ(x)f ′ (x). (4.9)
Je nach Verhalten an den Randpunkten müssen die Funktionen f ∈ D(A) abgesehen von zweimaliger
Differenzierbarkeit bestimmte Randbedingungen erfüllen.
Wir nehmen an:
1. Für jedes kompakte Intervall I ⊂ (a, b) gibt es ein ε mit σ 2 (x) > ε für alle x ∈ I;
2. Die Funktionen µ und σ 2 sind stetig auf (a, b).
Für f 1 (x) = x gilt
1
Af 1 (X t ) = lim
h↓0 h E X t
[X t+h − X t ] = µ(X t )
)
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