Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

4 Populationsmodelle mit fester Populationsgröße
Definition 4.5 (Kingmann’s Koaleszent). Der Kingman k-Koaleszent ist eine Markovkette auf
E k , den Äquivalenzklassen auf [k], mit Übergangsraten q ξ,η , ξ, η ∈ E k definiert durch
{
1 wenn η aus ξ durch Verschmelzen von genau zwei Klassen erhalten werden kann,
q ξ,η :=
0 sonst.
Der Kingmann N-Koaleszent ist ein Prozess auf Äquivalenzrelationen auf N mit der Eigenschaft,
dass jede Einschränkung auf eine Menge der Größe k ein k-Koaleszent ist. In jedem Fall besteht
die Anfangsbedingung aus einelementigen Äquivalenzklassen.
Wenn wir nur an der jeweiligen Anzahl der Äquivalenzklassen, nicht jedoch an deren Zusammensetzung
zur Zeit t interessiert sind, so kann man Kingmann’s k-Koaleszent als eine Todeskette
auffassen, mit Übergangsraten
{( k
)
q k,j :=
2
: wenn j = k-1,
0 : sonst.
Es sei W k die Zeit bis zum jüngsten gemeinsamen Vorfahr (MRCA=most recent common ancestor)
von k Individuen. Dann gilt
W k = T k + T k−1 + · · · + T 2 ,
wobei T l jeweils die Wartezeit für den Sprung von l nach l + 1 ist. Wir erhalten
E[W k ] =
k∑
( ) l −1
=
2
l=2
k∑
l=2
2
k∑
( 1
l(l − 1) = 2 l − 1 − 1 )
= 2(1 − 1 ). (4.14)
l
k
Damit ist die erwartete Zeit bis MRCA der ganzen Population durch 2 beschränkt. Außerdem
gilt für K ≥ k
l=2
0 ≤ E[W K − W k ] = 2( 1 k − 1 K ) ≤ 2 k .
Insbesondere unterscheiden sich die Zeit zum MRCA von k Individuen und der von der ganzen
Population nur wenig für nicht zu kleine Werte von k. Man beachte auch, dass in (4.14) E[T 2 ] = 1
den größten Beitrag liefert.
Für die Varianz von W k erhalten wir
Var[W k ] =
k∑
Var[T l ] =
l=2
k∑
( l
2
l=2
) −2
= 8
k−1
∑
l=1
1
l 2 − 4(1 − 1 k )(3 + 1 k )
und es folgt
1 = Var[W 2 ] ≤ Var[W k ] ≤ lim Var[W k] = 8 π2
− 12 ≈ 1.16.
k→∞ 6
Also kommt auch bei der Varianz der größte Anteil von der Verschmelzungszeit der letzten
zwei Individuen. Die Verteilung und auch Dichte von W k können auch berechnet werden. Wir
verweisen auf (Tavaré 2004, 2.3, p. 21).
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