Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
Theorem 1.8. Wenn Z 0 = 1 ist, dann ist die erzeugende Funktion von Z n gegeben durch
g ◦ · · · ◦ g (n mal) und es gilt
E[Z n ] = m n , (1.4)
{ σ 2 m n−1 (m n −1)
Var[Z n ] =
m−1
falls m ≠ 1,
nσ 2 (1.5)
falls m = 1.
Beweis. Bis auf die Formel für die Varianz sind alle Aussagen klar. Für die Varianz kann man
sich überlegen, dass
n−1
∑
Var[Z n ] = σ 2 (m n−1 + · · · + m 2n−2 ) = σ 2 m n−1
gilt. Mit der Formel für die (endliche) geometrische Summe erhält man die Behauptung.
Lemma 1.9 (Eigenschaften von g). Unter der Annahme 1.1 (die ab jetzt stillschweigend vorausgesetzt
wird) gilt
(i) g ist strikt konvex und wachsend in [0, 1];
(ii) g(0) = p 0 , g(1) = 1;
(iii) ist m ≤ 1, so gilt g(t) > t für t ∈ [0, 1);
(iv) ist m > 1, dann hat g(t) = t genau eine Lösung in [0, 1).
Beweis. (i) Wegen p k ≥ 0 und ∑ ∞
k=0 p k = 1 ist nach Annahme p k > 0 für ein k ≥ 2. Damit
sind g ′ (t) = ∑ ∞
k=1 p kkt k−1 und g ′′ (t) = ∑ ∞
k=2 p kk(k − 1)t k−2 positiv auf (0, 1].
(ii) ist klar.
(iii) Wenn g ′ (1) = m ≤ 1 ist, dann gilt (g(t) − t) ′ = g ′ (t) − 1 < g ′ (1) − 1 ≤ 0. Damit ist
t ↦→ g(t) − t strikt fallend und wegen g(1) = 1 folgt g(t) > t für t ∈ [0, 1).
(iv) Wegen Konvexität gibt es höchstens zwei Lösungen der Gleichung g(t) = t. Eine davon ist
in t = 1. Aus g ′ (1) > 1 und g(0) = p 0 ≥ 0 folgt, dass es noch eine Lösung in [0, 1) gibt.
k=0
m k
Es sei q die kleinste Lösung der Gleichung g(t) = t in [0, 1], dann gilt nach dem obigen
Lemma: Ist m ≤ 1, dann ist q = 1; ist m > 1, dann ist q < 1. Nach dem folgenden Lemma ist
q ein attraktiver Gleichgewicht des, durch g definierten, dynamischen Systems x n+1 = g(x n ),
x 0 ∈ [0, 1].
Lemma 1.10. (i) Ist t ∈ [0, q), so gilt g n (t) ↑ q für n → ∞,
(ii) Ist t ∈ (q, 1), so gilt g n (t) ↓ q für n → ∞,
(iii) Ist t ∈ {q, 1}, so gilt g n (t) = t für alle n.
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