Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

2 Verzweigungsprozesse in stetiger Zeit
Hier steht auf der rechten Seite die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der (am Anfang auf
jeden Fall vorhandenen) n ε Individuen in der Zeit [0, t] stirbt und keine Nachkommen produziert.
Es folgt
Insgesamt haben wir
|T t f(z) − f(z)| ≤ 2ε + 2‖f‖ ∞ p 0 (1 − e −αnεt ), für z ≥ n ε . (2.11)
|T t f(z) − f(z)| ≤ 2ε + 2‖f‖ ∞ (1 − e −αnεt ), für alle z ∈ N 0 . (2.12)
Mit t → 0 und dann ε → 0 auf der rechten Seite folgt lim t→0 ‖T f − f‖ ∞ = 0.
Es bleibt zu zeigen, dass A Generator von Z ist. Dazu genügt es, es auf dem Raum der stetigen
Funktionen mit kompaktem Träger, welchen wir mit C C (N 0 ) bezeichnen (denn C C (N 0 ) ist Core
von A auf C 0 (N 0 )).
Das Ereignis V 1 (t) kann man als disjunkte Vereinigung der Ereignisse
V 1
k
:= { es gibt genau ein Verzweigungsereignis in [0, t] mit genau k Nachkommen }
schreiben. Damit gilt
1
t (T tf(z) − f(z)) = 1 t E z[f(Z t ) − f(z)]
= 1 t E z[(f(Z t ) − f(z))
= 1 t
∞∑
1 V 1
k (t) ] + R tf(z)
k=0
∞∑
(f(z − 1 + k) − f(z))
k=0
∫ t
0
αze −αzs p k e −α(z−1+k)(t−s) ds + R t f(z)
(hier ist im Integral αze −αzs die Dichte der “Verzweigungszeit”, p k die W’keit für k-Nachkommen
und e −α(z−1+k)(t−s) die W’keit, dass die dann vorhandenen z − 1 + k Individuen sich nicht in
der verbleibenden Zeit [s, t] verzweigen)
= αz
∞∑
p k (f(z − 1 + k) − f(z)) 1 t
k=0
∫ t
0
e −αzs e −α(z−1+k)(t−s) ds + R t f(z).
Das Restglied ist gegeben durch t −1 E z [(f(Z t ) − f(z))1 (V 1 (t)) C ]. Auf V 0 (t) ist Z t = z und damit
gilt
|R t f(z)| ≤ 2‖f‖ ∞
t
= 2‖f‖ ∞ αz
P z [(V 0 (t) ∪ V 1 (t)) C ]
∞∑
k=0
p k
t
∫ t
0
e −αzs (1 − e −α(z−1+k)(t−s) ) ds.
Es sei H die Stammfunktion der Funktion h t (s) := e −αzs (1 − e −α(z−1+k)(t−s) ), die sicherlich
existiert. Dann gilt
1
t
∫ t
0
e −αzs (1 − e −α(z−1+k)(t−s) ) ds =
H(t) − H(0)
t
→ H ′ (0) = h 0 (0) = 0
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