Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

4 Populationsmodelle mit fester Populationsgröße
Wir schauen uns nun eine weitere wichtige Größe, nämlich die Baumlänge der Genealogie von
k Individuen an, die wir mit L k bezeichnen und die durch
definiert werden kann.
Es gilt
und
E[L k ] =
k∑
lE[T l ] =
l=2
Var[L k ] =
L k := 2T 2 + · · · + kT k =
k∑
l=2
l=2
l=1
k∑
lT l
l=2
k∑
k−1
2
l
l(l − 1) = 2 ∑ 1
l
∑k−1
l 2 Var[T l ] = 4
l=1
∼ 2 log k, für k → ∞
1
l 2 ∼ 2π2 , für k → ∞.
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Insbesondere wächst ist die erwartete Länge unbeschränkt und die Varianz beschränkt in k.
Nun kommen wir zur Verteilung von L k . Mit E(λ) bezeichnen wir eine exponentiell verteilte
Zufallsvariable mit Rate λ. Alle solchen Zufallsvariablen die unten auftauchen sind unabhängig
voneinander. Es gilt
L k =
k∑
d
lT l =
l=2
k∑
( ) l − 1
E
2
l=2
∑k−1
d
=
l=1
min E lj(1/2) =
d
1≤j≤l
max E j(1/2).
1≤j≤k−1
Es folgt
P[L k ≤ t] =
(
1 − e −t/2) k−1
, t ≥ 0.
Daraus erhält man auch dass L k − 2 log k gegen die Gumbel-Verteilung mit Verteilungsfunktion
e −e−t/2 konvergiert. Denn es ist
P[L k − 2 log k ≤ t] =
( )
(
k−1
1 − e −t/2−log k) k−1
= 1 − e−t/2 k→∞
−−−→ e −e−t/2 .
k
Die Genealogie bei dem Moran Modell ist übersichtlicher als die bei dem (endlichen) Wright-
Fisher Modell. Sie kann einfach von der graphischen Konstruktion abgelesen werden. Verfolgen
wir eine Stichprobe von k Individuen, rückwärts in der Zeit, dann treffen wir irgendwann auf
einen Pfeil der zwei Individuen miteinander verbindet. Das Individuum an der Pfeilspitze (wurde
forwärt in der Zeit ersetzt) verschmilzt mit dem Individuum von dem der Pfeil ausgeht.
Letzterer bleibt unverändert. Die Rate mit der man auf ein Pfeil zwischen k Individuen triff ist
rückwärts wie vorwärts gleich und ist gegeben durch ( k
2)
. Dies ist genau die Verschmelzungsrate
im Kingmann’s k-Koaleszent. Die Genealogie des Moran-Modells ist also genau durch den
Kingman Koaleszent gegeben.
Die große Stärke der Koaleszenten zeigt sich in der Betrachtung von neutralen Modellen im
Multitypenfall und insbesondere mit Mutation. Wir erinnern an die graphische Konstruktion
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