Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

3 Diffusionsapproximation von Verzweigungsprozessen
mit α, β ≥ 0 und einem σ-endlichen Maß π mit ∫ ∞
0 (r ∧r2 )π(dr) < ∞. Die Funktion ψ heißt Verzweigungsmechanismus.
Außerdem kann man zu jedem (subkritischen oder kritischen) Verzweigungsprozess
X abhängig von den Parametern α, β und π ein Folge von Verzweigungsprozessen
mit diskretem Zustandsraum konstruieren, die X approximieren.
Die Verzweigungsprozesse die wir betrachtet haben, haben alle keine räumliche Struktur. Man
kann eine solche einführen indem man zum Beispiel jedes Individuum während seiner Lebenszeit
gemäß einer Irrfahrt auf Z d oder gemäß einer Brownschen Bewegung auf R d sich bewegen lässt.
Stirbt das Individuum, dann wird es eine zufällige (nach der festen Nachkommensverteilung
verteilte) Anzahl von Nachkommen ersetzt. Diese verhalten sich dann wie unabhängige Kopien
ihrer “Mutter”. Solche Prozesse bezeichnet man als verzweigende Irrfahrt bzw. verzweigende
Brownsche Bewegung und man kann sie als maßwertige Prozesse auffassen. Reskalierungen von
diesen Prozessen führen zu so genannten Superprozessen (siehe Etheridge 2000).
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