Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
Beweis. Aus (1.5) und (1.4) erhalten wir
E[Wn] 2 = 1
m 2n E[Z2 n] = 1
m 2n (Var[Z n] + E 2 [Z n ]) = 1 ( σ 2 m n−1 (m n )
− 1)
m 2n + m 2n
m − 1
= σ2 (1 − m −n )
m 2 − m + 1.
Es folgt sup n E[W 2 n] = lim n→∞ E[W 2 n] = σ 2 /(m 2 − m) + 1 < ∞. Die Aussagen (i) und (ii) folgen
also mit L 2 -Konvergenzsatz (siehe z.B. Korollar 11.11 in (Klenke 2006)).
Sei nun r = P[W = 0]. Aus E[W ] = 1 folgt r < 1. Ferner gilt
r =
∞∑
P[W = 0|Z 1 = k]P[Z 1 = k] =
k=0
∞∑
p k (P[W = 0]) k =
k=0
∞∑
p k r k = g(r).
Da die Gleichung g(s) = s eine eindeutige Lösung in (0, 1) hat muss r = q gelten.
Das folgende Theorem von Seneta und Heyde besagt, dass man einen superkritischen Verzweigungsprozess
stets so reskalieren kann, dass der reskalierte Prozess fast sicher gegen eine
nicht-triviale Zufallsvariable konvergiert.
Theorem 1.22. Es sei 1 < m < ∞ und Z 0 = 1. Dann gibt es eine Folge (C n ) n∈N0 von positiven
Zahlen so, dass
• C n+1 /C n → m für n → ∞;
• ˜W n := Z n /C n konvergiert fast sicher gegen eine Zufallsvariable ˜W , die fast sicher endlich
und nicht-negativ ist. Ferner gilt P[˜W = 0] = q.
Beweis. Sei g 0 (s) = s die Identität auf [0, 1] und sei gn
−1 die Inverse von g n , wobei wir g −1 für
g1 −1 schreiben. Die Funktion g −1 ist wachsend, konkav und differenzierbar. Außerdem bildet sie
das Intervall [q, 1] bijektiv auf sich selbst ab.
Wegen g(s) ≤ s für q ≤ s ≤ 1 gilt g −1 (s) ≥ s und daher gibt es ein g∞
−1
gilt
s = g n (gn
−1 (s)) ≤ g n (g∞ −1 (s)) → q
k=0
mit g −1
n
↑ g −1
∞ . Ferner
wenn g∞ −1 (s) < 1. Also muss g∞ −1 (s) = 1 für s > q gelten.
Für s ∈ [q, 1] setze X n (s) := ( gn
−1 (s) ) Z n
. Diese Folge ist ein nicht-negatives Martingal, denn
es gilt f.s.
[ (g ] [
−1
E[X n+1 (s)|F n ] = E n+1 (s)) Z n+1 (g ]
−1
|F n = E n+1 (s)) Z Zn 1
= g(g
−1
n+1 (s))Zn
= (gn
−1 (s)) Zn = X n (s).
Es gibt also X ∞ (s) mit X n (s) → X ∞ (s) f.s. Wegen 0 ≤ X n (s) ≤ 1 können wir den Satz von
dominierter Konvergenz benutzen und erhalten
E[X ∞ (s)] = E[X 1 (s)] = s.
14