Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
Theorem 1.25. Ist m = 1, σ 2 = g ′′ (1−) < ∞ und 0 < a := h ′ (1) < ∞ dann konvergiert Y n /n
in Verteilung gegen eine gamma verteilte Zufallsvariable mit Dichte
w(x) =
1
Γ(α)β α xα−1 e −x/β , x > 0, (1.32)
wobei α = 2a/σ 2 und β = σ 2 /2. Insbesondere ist im Falle a = σ 2 /2
w(x) = 1 x
σ 2 /2 e− σ 2 /2
. (1.33)
Bemerkung 1.26. In Theorem 1.15(iii) haben wir bereits gesehen, dass Z n /n bedingt auf {Z n >
0} gegen eine Zufallsvariable mit Dichte w(x) aus (1.33) in Verteilung konvergiert. Zusammen
mit obigem Theorem folgt also daraus, dass das Bedingen auf {Z n > 0} und Immigration mit
Mittelwert σ 2 /2 denselben Effekt haben.
Theorem 1.27. Es sei m > 1. Dann gilt
(i) Ist E[log + ζ 0 ] < ∞, dann konvergiert Z n /m n in Verteilung und der Grenzwert ist f.s.
endlich.
(ii) Ist E[log + ζ 0 ] = ∞, dann gilt lim sup n→∞ Z n /c n = ∞ f.s. für jedes c > 0.
1.9.2 Verzweigungsprozesse in zufälliger Umgebung
Wie der Name schon vermuten lässt, ist die Evolution eines Verzweigungsprozesses in zufälliger
Umgebung (engl. branching process in random environment (BPRE)) wie die des “gewöhnlichen”
Verzweigungsprozesses mit dem Unterschied, dass sich die Nachkommensverteilung von Generation
zu Generation ändern kann. Man denke beispielsweise an eine Population von Pflanzen mit
einem Lebenszyklus von einem Jahr, bei der die Nachkommensverteilung von Wetterverhältnissen
beeinflusst wird.
Zum ersten mal wurden BPRE in (Athreya and Karlin 1970, Smith and Wilkinson 1969)
eingeführt. Wir halten uns hier an die Darstellung in (Birkner et al. 2005).
Es sei ∆ die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf N 0 , ausgestattet mit Totalvariationsabstand
Polnisch ist. Ferner sei Q eine ∆-wertige Zufallsvariable und Π = (Q 1 , Q 2 , . . . ) eine Folge
von u.i.v. Zufallsvariablen mit derselben Verteilung wie Q.
Definition 1.28. Eine Folge Z := (Z n ) n=0,1,... von N 0 -wertigen Zufallsvariablen ist ein Verzweigungsprozess
in zufälliger Umgebung Π falls Z 0 unabhängig von Π ist und gegeben Π die
Folge Z eine Markovkette ist mit
[ i∑
]
P[Z n = j|Z n−1 = i, Π = (q 1 , q 2 , . . . )] = P ξ (qn)
k
= j
k=1
für alle n ≥ 1, i, j ∈ N 0 und q 1 , q 2 , . . . ∆. Dabei sind ξ (q i)
1 , ξ (q i)
2 , . . . u.i.v. q i verteilt.
Im Folgenden nehmen wir immer Z 0 = 1 f.s. an. Mit Z kann man wie folgt eine Irrfarht S =
(S 0 , S 1 , . . . ) assoziieren. Sei S 0 = 0 und definiere die Inkremente von S durch X n = S n − S n−1 ,
n ≥ 1, wobei
∞∑
X n := log yQ n ({y}),
y=0
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