Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
1.7 Superkritische Verzweigungsprozesse
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns hauptsächlich mit dem superkritischen Fall, m > 1.
Einige Aussagen gelten aber für jedes m ∈ (0, ∞). Wir werden hier einige Resultate aus der
Martingaltheorie voraussetzen müssen. Wir verweisen an dieser Stelle auf z.B.(Klenke 2006).
Es sei also m ∈ (0, ∞) und (Z n ) n≥0 ein Verzweigungsprozess aus Definition 1.1. Mit Markoveigenschaft
(und zeitlicher Homogenität) erhalten wir
E[Z n+k |Z n = i n , Z n−1 = i n−1 , . . . , Z 1 = i 1 , Z 0 = i 0 ]
Für W n := m −n Z n folgt
= E[Z n+k |Z n = i n ] = i n E[Z k |Z 1 = 1] = i n m k .
E[W n+k |W 0 , . . . , W n ] = m −(n+k) E[Z n+k |Z n ] = m −(n+k) m k Z n = W n , f.s. (1.17)
Es gilt also das folgende Theorem.
Theorem 1.20. Es sei m ∈ (0, ∞), F n = σ(Z 0 , . . . , Z n ) die natürliche Filtration von (Z n ) n≥0 .
Dann ist (W n , F n ; n = 0, 1, . . . ) ein nicht-negatives Martingal und es gibt eine Zufallsvariable
W mit
W n
n→∞
−−−→ W f.s. (1.18)
Beweis. Die Martingaleigenschaft wurde in (1.17) bereits gezeigt und (1.18) folgt mit bekannten
Martingalkonvergenzsätzen. Man beachte, dass W n ein nicht-negatives Supermartingal ist und
siehe z.B. Korollar 11.5 in (Klenke 2006).
Nach dem obigen Theorem ist es klar, dass Z n (ω) sich asymptotisch wie m n W (ω) verhält.
Martingalkonvergenzsätze liefern aber nicht ausreichend Informationen über W . Nach dem Lemma
von Fatou haben wir zwar
E[W ] = E[ lim
n→∞ W n] ≤ lim inf
n→∞ E[W n] = E[Z 0 ], (1.19)
es schließt aber nicht aus, dass E[W ] = 0 und somit W = 0 f.s. gilt. Im kritischen und subkritischen
Fall gilt für genügend große n Z n = 0 f.s. und somit gilt in diesen Fällen auch W = 0
f.s. Wir betrachten also im Folgenden den superkritischen Fall m > 1 und interessieren uns für
Bedingungen unter denen {W > 0} positive Wahrscheinlichkeit hat. Das erste Resultat geht von
endlichen zweiten Momenten aus und ist relativ einfach.
Theorem 1.21. Ist m > 1, σ 2 < ∞ und Z 0 = 1, dann gilt
(i) lim n→∞ E [ (W n − W ) 2] = 0, d.h. W n
(ii) E[W ] = 1, Var[W ] =
σ 2
m 2 − m ;
(iii) P[W = 0] = q = P[Z n = 0 für ein n].
n→∞
−−−→ W in L 2 ;
13