Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

3 Diffusionsapproximation von Verzweigungsprozessen
Theorem 3.4. Es sei (E, r) vollständig und separabel und sei (X· (n) ) eine Folge von Prozessen
mit Pfaden in D E (R + ). Ferner sei die compact ( containment ) condition (3.6) erfüllt. Dann ist
(X· (n) ) relativ kompakt auf D E (R + ) wenn f(X · (n) ) straff auf D R (R + ) für alle f ∈ H ist,
wobei H eine dichte Teilmenge von C b (E) ist bezüglich gleichmäßiger Konvergenz auf kompakten
Mengen.
Das folgende Resultat zeigt wie man die Straffheit von Familien von Funktionalen mithilfe der
Generatoren zeigen kann.
Lemma 3.5. Es sei (X· (n) ) eine Folge von Prozessen mit Pfaden in D E (R + ) mit zugehörigen
Halbgruppen (T (n)
t ) und Generatoren A (n) . Ferner ( sei die ) compact containment condition (3.6)
erfüllt. Dann ist für ein f ∈ C n (E) die Folge f(X (n) straff auf D R (R + ), wenn f, f 2 ∈
D(A (n) ) und
· )
sup{‖A (n) f‖ ∞ + ‖A (n) f 2 ‖ ∞ } < ∞. (3.7)
n
Beweis. Die Straffheit von f(X (n)
t ) für jedes t ≥ 0 folgt sofort aus der compact containment
condition. Es genügt also (ii) aus Theorem 3.3 zu zeigen. Mit Theorem 2.8(iii) erhalten wir
E [( f(X (n)
t+u ) − f(X(n) t ) ) 2 ]
|F
n
t
[
]
[
]
= E f 2 (X (n)
t+u ) − f 2 (X (n)
t )|Ft
n − 2f(X (n)
t )E f(X (n)
t+u ) − f(X(n) t |Ft
n
=
∫ u
0
T (n)
s
A (n) f 2 (X s
(n) ) ds − 2f(X (n)
t )
≤ u ( ‖A (n) f 2 ‖ ∞ + 2‖f‖ ∞ ‖A (n) f‖ ∞
)
.
∫ u
0
T (n)
s
A (n) f(X (n) ) ds
Nach Voraussetzung ist der Ausdruck in den Klammern gleichmäßig in n beschränkt. Mit u → 0
folgt (ii) aus Theorem 3.3.
Um die Eindeutigkeit der Grenzwertes einer Folge von Prozessen zu zeigen genügt es nach
Theorem 2.4 zu zeigen, dass die endlich-dimensionalen Verteilungen eindeutig sind. Dazu benutzen
wir die Charakterisierung des Grenzwertes durch ein Martingalproblem. Mit deren Hilfe kann
man oft ein Prozess mit einem gegebenen Generator beschreiben ohne die zugehörige Halbgruppe
genau zu kennen. Um Konvergenz einer reskalierten Folge von BGWP gegen eine Diffusion zu
zeigen werden wir zunächst nachweisen, dass alle Grenzwerte Lösungen eines Martingalproblems
sind und dann zeigen wir mit Hilfe einer anderen Methode, genannt Dualität, die Eindeutigkeit
der Lösungen des Martingalproblems.
Es sei X = (X t ) t≥0 ∈ D R+ (E) ein Markov-Prozess mit Generator A und zugehörigem Definitionsbereich
D(A). Für f ∈ D(A) setzen wir
M f t
:= f(X t ) −
∫ t
und F t := F X t . Dann gilt für t, s ≥ 0 mit Theorem 2.8
E[M f t+s |F t] = T s f(X t ) −
= f(X t ) −
∫ s
0
∫ t
0
0
Af(X s ) ds (3.8)
T u Af(X t ) du −
Af(X u ) du = M f t .
∫ t
0
s
Af(X u ) du
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