Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

2 Verzweigungsprozesse in stetiger Zeit
2. Es sei X eine symmetrische Irrfahrt auf Z in stetiger Zeit, d.h. wenn X s = x ist dann
springt die Irrfahrt nach einer exponentiell verteilten Zeit mit Parameter λ zu einem der
nächsten Nachbarn jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Dann kann man für f : Z → R wie
oben T t f(x) hinschreiben und zeigen, dass
T t f(x) − f(x)
t
t→0
−−→ λ 2 (f(x + 1) − f(x)) + λ (f(x − 1) − f(x)) = Af(x).
2
3. Für diejenigen, die Q-Matrizen gewohnt sind sei bemerkt, dass in den oberen Beispielen
Af(x) = (Qf) x ist. In der Tat werden Q-Matrizen auch infinitesimale Generatoren
genannt. Die Q Matrix des Poissonprozesses ist
⎛
Q =
⎜
⎝
und (Qf) x = −λf(x) + λf(x + 1) = Af(x).
2.3 BGWP in stetiger Zeit
⎞
−λ λ 0 0 · · ·
0 −λ λ 0 · · · ⎟
⎠
.
. .. . ..
Hier konstruieren wir den BGWP in stetiger Zeit. Bei diesem Prozess produziert ein Individuum
unabhängig von den anderen (und von der Vorgeschichte) mit Rate α Nachkommen gemäß
einer vorher festgelegten Verteilung. Mit anderen Worten ist die Lebensdauer eines Individuums
exponentiell verteilt mit Rate α. Es sei Z 0 eine N 0 -wertige Zufallsvariable und sei (ξ n ) n∈N0 eine
Folge von u.i.v. Zufallsvariablen mit Verteilung p j = P[ξ n = j], j ∈ N 0 und erzeugenden Funktion
g. Ferner sei (T n ) n∈N0 eine Folge exponentiell verteilter Zufallsvariablen mit Parameter 1.
Schließlich definieren wir die eingebettete Sprungkette (Y n ) n∈N0 und die zugehörigen Inkremente
der Sprungzeiten ( ˜T n ) n∈N0 durch
Y n = Z 0 +
n∑
(ξ k − 1) und ˜T n = T n
. (2.6)
αY n
k=1
Man beachte, dass bedingt auf Y n die Sprungzeit ˜T n wie das Minimum von Y n u.i.v. Zufallsvariablen
mit Parameter α verteilt ist.
Der Bienaymé-Galton-Watson-Prozess Z := (Z t ) t∈R+ in stetiger Zeit mit Start in Z 0 ist
definiert durch
Z t :=
{
Z 0 : falls 0 ≤ t < ˜T 0
Y n : falls ∑ n−1 k=0 k ≤ t < ∑ n k=0 k .
(2.7)
Mit der Konvention T/0 = ∞ folgt auch, dass Z t = 0 für alle t ≥ ∑ n ∗ −1
k=1
˜T k , wobei n ∗ = inf{n ≥
0 : Y n = 0}. Im Gegensatz zu Prozessen in diskreter Zeit kann es bei Prozessen in stetiger
Zeit zu unendlich vielen Sprüngen in endlicher Zeit kommen. Man spricht dann von Explosion
der Markovkette. In diesem Fall wäre (Z t ) t∈R+ kein Prozess mit Pfaden in D N0 (R + ), weil es
in endlicher Zeit den Wert unendlich erreicht. Das folgende Resultat liefert ein Kriterium das
Explosion ausschließt (siehe Harris (1963, Thm. III.1) oder Athreya and Ney (1972, Thm. V.9.1)).
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