Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
Das folgende Theorem von Kesten und Stigun benutzt wieder die bekannte E[Z 1 log Z 1 ] < ∞
Bedingung um die Reskalierungsfolge aus dem vorherigen Theorem genauer anzugeben.
Theorem 1.23. Es sei 1 < m < ∞, Z 0 = 1 und setzte W n := m −n Z n und W := lim n→∞ W n . Ist
E[Z 1 log Z 1 ] < ∞, dann gilt W n → W in L 1 und insbesondere E[W ] = 1. Ist E[Z 1 log Z 1 ] = ∞,
dann ist E[W ] = 0 (was wegen W ≥ 0 f.s. zu P[W = 0] = 1 äquivalent ist).
Beweis. Für q < s < 1 gilt gn
−1 (s) ↑ 1 und somit Cn
−1 (s) = − log gn
−1 (s) ∼ 1−gn −1 (s) für n → ∞.
Mit (1.20) folgt
lim
n→∞ C−1 n
(s)m n < ∞ ⇔
∞∏
(1 − r(g −1
k (s))/m) > 0
k=1
und nach Lemma 1.17 gilt
lim
n→∞ C−1 n
(s)m n < ∞ ⇔
∞∑
k=1
r(g −1
k
(s)) < ∞. (1.21)
Wähle nun q < s 0 < 1 mit m 0 := g ′ (s 0 ) > 1. Für s 0 ≤ s < 1 gibt es nach dem Mittelwertsatz
ein ŝ ∈ [s, 1] mit (1 − g(s))/(1 − s) = g ′ (ŝ) und wegen der Konvexität gilt m 0 ≤ g ′ (ŝ) ≤ m. Es
folgt
m 0 ≤ 1 − g(s)
1 − s
≤ m
und somit
m 0 ≤
Mit Teleskopprodukt erhalten wir wieder
1 − g k(s)
1 − g k−1 (s) ≤ m.
m n 0 (1 − s) ≤ 1 − g n (s) ≤ m n (1 − s),
woraus wir durch Substitution von gn
−1 (s) für s
1 − m −n
0 (1 − s) ≤ g−1 n (s) ≤ 1 − m −n (1 − s)
erhalten. Für genügend große k ∈ N gilt m −k
0 ≤ 1 − s und somit folgt
1 − m −n−k
0 ≤ 1 − m −n
0 (1 − s) ≤ g−1 n (s) ≤ 1 − m −n 1 − s) ≤ 1 − m −n .
Auf diese Ungleichung wenden wir die Funktion r an, die auf (0, 1] wachsend ist und erhalten
r(1 − m −n−k
0 ) ≤ r(1 − m −n
0 (1 − s)) ≤ r(g−1 n (s)) ≤ r(1 − m −n (1 − s)) ≤ r(1 − m −n ).
Wir summieren über n, nutzen (1.21) und Lemma 1.16 und bekommen
E[Z 1 log Z 1 ] < ∞ ⇔
lim
n→∞ C−1 n (s)m n < ∞,
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