Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

3 Diffusionsapproximation von Verzweigungsprozessen
Theorem 3.2. Es sei (E, r) ein vollständiger metrischer Raum. Die Menge A ⊂ D E (R + )
ist genau dann relativ kompakt (d.h. Abschluss von A ist kompakt), wenn die folgenden zwei
Bedingungen gelten:
(i) Für jede rationale Zahl t ≥ 0 gibt es eine Kompakte Menge Γ t ⊂ E, so dass x(t) ∈ Γ t für
alle x ∈ A.
(ii) Für alle T > 0 gilt
lim sup
δ↓0 x∈A
w ′ (x, δ, T ) = 0.
Die Bedingung (i) folgt aus eine stärkeren Bedingung (die ihrerseits aus relativer Kompaktheit
folgt): Für alle T > 0 gibt es eine kompakte Menge K T ⊂ E so, dass x(t) ∈ K T für alle x ∈ A
und 0 ≤ t ≤ T ist.
Für das folgende Theorem verweisen wir auf Theoreme 3.7.2 und 3.8.6 in (Ethier and Kurtz
1986) sowie auf (Aldous 1978).
Theorem 3.3. Es sei (E, r) Polnisch und sei (X· (n) ) n=1,2,... eine Folge stochastischer Prozesse
mit Pfaden in D E (R + ). Ferner sei für jede rationale Zahl t ≥ 0 die Folge (X (n)
t ) n=1,2,... straff in
E. Dann ist (X· (n) ) n=1,2,... genau dann straff in D E (R + ), wenn eine der folgenden Bedingungen
erfüllt ist:
(i) Für alle ε > 0 und T > 0 gibt es ein δ > 0 mit
sup P[w ′ (X n , δ, T ) ≥ ε] ≤ ε. (3.2)
n
(ii) Für jedes T > 0 gibt es ein p > 0 und eine Familie {Y n (δ) : 0 < δ < 1, n = 1, 2, . . . } von
nicht-negativen Zufallsvariablen mit
[(
)
E r(X (n)
p ]
t+u , X(n) t ) ∧ 1 |F
X (n)
t ≤ E[Y n (δ)|Ft X(n) ] (3.3)
für alle 0 ≤ t ≤ T , 0 ≤ u ≤ δ und
lim sup
δ↓0 n
E[Y n (δ)] = 0. (3.4)
(iii) Diese äquivalente Bedingung gilt im Fall E = R. Für alle Stoppzeiten T n , die durch T
beschränkt sind und alle ε > 0 gibt es ein δ > 0 und n 0 so dass
[
]
sup sup P |X (n)
T − n+θ X(n) T n
| > ε ≤ ε. (3.5)
n≥n 0 θ∈[0,δ]
Wie zuvor erfüllt eine in D E (R + ) relativ kompakte Folge (X (n)
· ) die stärkere compact containment
condition: Für alle ε > 0 und T > 0 existiert eine kompakte Menge K T,ε ⊂ E mit
inf
n P[X(n) t ∈ K T,ε für 0 ≤ t ≤ T ] ≥ 1 − ε. (3.6)
Mit dem folgenden Kriterium kann man relative Kompaktheit von Folgen von E-wertigen
Prozessen auf Straffheit von reellwertigen Funktionen von diesen Prozessen für eine genügend
große Funktionenmenge (siehe Ethier and Kurtz 1986, Theorem 3.9.1) zurückführen.
34