Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
Damit folgt
E [exp(−uZ n /n)|Z n > 0] n→∞ −−−→
1
σ 2 u/2 + 1 .
1.5 Wichtiges Lemma
Bevor wir mit den Sub- und Superkritischen Fällen weitermachen beweisen wir hier ein Lemma,
das im Folgenden wichtig sein wird. Dazu betrachten wir die Taylorentwicklung von g um 1:
Es gilt
und
g(s) = 1 − m(1 − s) + r(s)(1 − s), 0 ≤ s ≤ 1. (1.7)
r(s) = m − 1 − g(s)
1 − s ,
r(0) = m − (1 − p 0 ) ≥ 0,
r(q) = m − 1, wenn q < 1,
r(1−) = 0,
r ′ (s) ≤ 0, 0 ≤ s < 1.
Damit ist r eine fallende Funktion von [0, 1) nach [0, m].
Lemma 1.16. Für alle δ ∈ (0, 1) gilt
∞∑
r(1 − δ k ) < ∞ ⇐⇒
k=1
∞∑
p k k log k < ∞. (1.8)
Die Bedingung auf der rechten Seite ist gleichbedeutend mit E 1 [Z 1 log Z 1 ] < ∞.
Beweis. Für s ∈ [0, 1) gilt
n=0
k=1
)
∞∑
∞∑
r(s) = m − s
(1 n − p k s k
∞∑ ∞∑
= m − s n +
n=0
k=0
n=0
( n∑
k=0
p k
)
s n = m −
∞∑
a n s n ,
n=0
wobei
∞∑
a n = p k .
k=n+1
9