Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

1 Bienaymé-Galton-Watson-Prozess
1.8 Beispiel: Die gebrochen-rationale Nachkommensverteilung
Wir betrachten hier ein Beispiel, bei dem man die erzeugende Funktion von Z n direkt berechnen
kann (was typischerweise kaum möglich ist).
Für b, p ∈ (0, 1) mit b+p ≤ 1 sei p k = bp k−1 für k = 1, 2, . . . und p 0 = 1− ∑ ∞
i=1 p i = 1−b/(1−p).
Dann ist
∞∑
∞∑
g(s) = p k s k = p 0 + bs (ps) k = 1 −
b
1 − p + bs
(1.22)
1 − ps
und
k=0
k=0
m = g ′ (1−) =
b
(1 − p) 2 .
Man beachte, dass die Potenzreihe von g den Konvergenzradius 1/p hat. Für u, v aus dem
Konvergenzbereich folgt mit (1.22)
g(s) − g(u)
g(s) − g(v) = s − u
s − v · 1 − pv
1 − pu . (1.23)
Die Gleichung g(s) = s hat zwei Lösungen ̂q und 1, die auch zusammenfallen können. Wenn
m > 1 ist, dann ist ̂q = q < 1; ist m = 1, so ist ̂q = q = 1; ist m < 1 so ist ̂q > 1 = q. Nehmen
wir nun u = ̂q und v = 1 in (1.23), dann folgt für m ≠ 1
1 − p
1 − p̂q
=
g(s) − ̂q
s − ̂q
( g(s) − 1
s − 1
) −1
.
Hier hängt die linke Seite nicht von s ab und deswegen erhalten wir mit s ↑ 1 auf der rechten
Seite
Setzen wir das wieder in (1.23) ein, dann folgt
und nach Iteration dieser Gleichung
1 − p
1 − p̂q = 1 m .
g(s) − ̂q
g(s) − 1 = 1 m · s − ̂q
s − 1
g n (s) − ̂q
g n (s) − 1 = 1
m n · s − ̂q
s − 1 .
Diese Gleichung kann man nun nach g n (s) auflösen und man erhält für m ≠ 1
{
̂q : wenn m > 1,
g n (s) = 1 − mn (1 − ̂q)(s − 1)
m n (s − 1) − (s − ̂q)
n→∞
−−−→
Falls m = 1, dann ist b = (1 − p) 2 und ̂q = 1. Damit ist
1 : wenn m < 1.
g(s) =
p − (2p − 1)s
, (1.24)
1 − ps
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