Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

3 Diffusionsapproximation von Verzweigungsprozessen
Das Supremum in der letzten Zeile ist beschränkt in N. Wenn µ = m (N) − 1 + o(1/N) < 0 ist
dann ist es beschränkt durch 1. Anderenfalls ist es gleich e α(µ+o(1))T was gegen e αµT konvergiert
und somit beschränkt ist. Insgesamt kann man also zu jedem ε > 0 und jedem T > 0 ein c so
wählen, dass P X
(N)
0
[
sup 0≤t≤T X (N)
t > c
]
< ε gilt, was die compact containment condition zeigt.
Nach Theorem 3.6 ist jeder Grenzwert X gegen den eine Teilfolge von X (N) in Verteilung
konvergiert eine Lösung von dem Martingalproblem zu A. Für die Konvergenz X (N) ⇒ X bleibt
also noch die Eindeutigkeit des Grenzwertes zu zeigen. Dies zeigen wir mit Hilfe von Dualität.
Sei dazu u(t) die eindeutige Lösung von
d
dt u(t) = −1 2 ασ2 u 2 (t) + αµu(t), u(0) = u 0 ,
auf R + (u(t) ist natürlich deterministisch). Dann ist
e −xu(t) −
∫ t
0
x( 1 2 ασ2 u 2 (s) − αµu(s))e −xu(s) ds = e −xu(t) −
∫ t
0
d
ds e−xu(s) ds = e −xu 0
ein Martingal für x ∈ R + . Da X eine Lösung des Martingalproblems zu A ist, ist auch
e −Xtu −
∫ t
0
X s ( 1 2 ασ2 u 2 − αµu)e −Xsu ds
= f u (X t ) −
∫ t
0
Af u (X s ) ds
ein Martingal für jedes u ∈ R + , hier ist f u (x) := e −ux . Nach Theorem 3.8 gilt E X0 [e −uXt ] =
e −utX 0
dadurch sind die eindimensionalen Verteilungen von X eindeutig festgelegt und mit
Theorem 3.7 folgt die Eindeutigkeit der endlich dimensionalen Verteilungen.
Wir haben in dem obigen Theorem Konvergenz in D R+ (R + ) gezeigt. Tatsächlich kann man
sogar zeigen, dass der Grenzwert X eine Diffusion ist, ein Prozess also, dessen Pfade fast sicher
in C(R + , R + ) liegen. Ferner kann man X als Lösung der stochastischen Differentialgleichung
dX t = √ ασ 2 X t dB t + αµX t dt
auffassen. Dieser Prozess wird oft als Feller-Diffusion bezeichnet (siehe Feller 1951). Es ist ein
Beispiel für einen Verzweigungsprozess mit stetigem Zustandsraum R + . Ist X ein allgemeiner
subkritischer oder kritischer Verzweigungsprozess auf R + mit Übergangsoperator p(t, x, ·), so
gilt (siehe Le Gall 1999)
E x [e −λXt ] =
∫ ∞
0
e −λy p(t, x, dy) = e −xut(λ) , λ > 0.
Hier ist u t (λ) die eindeutige nicht-negative Lösung der Integralgleichung
wobei
u t (λ) +
∫ t
ψ(u) = αu + βu 2 +
0
ψ(u s (λ)) ds = λ
∫ ∞
0
(e −ru − 1 + ru) π(dr)
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