Stochastische Populationsmodelle - Abteilung für Mathematische ...

2 Verzweigungsprozesse in stetiger Zeit
Es sei Λ die Menge (streng) monoton wachsender Lipschitz stetiger Funktionen λ : R + → R +
mit λ(0) = 0, λ(t) → ∞ für t → ∞ und
γ(λ) := sup
λ(s) − λ(t)
∣log s − t ∣ < ∞.
0≤t 0.
lim
sup
n→∞ 0≤t≤T
r(x n (t), x(λ n (t))) = 0
Theorem 2.3. Es seien x, x 1 , x 2 , · · · ∈ D E (R + ), dann gilt d(x n , x) → 0 für n → ∞ genau dann
wenn für jedes t ∈ R + und jede Folge (t n ) n=1,2,... ⊂ R mit lim n→∞ t n = t folgende Aussagen
gelten
(i)
lim r(x n(t n ), x(t)) ∧ r(x n (t n ), x(t−)) = 0;
n→∞
(ii) Ist lim n→∞ r(x n (t n ), x(t)) = 0, dann gilt für jede Folge (s n ) n=1,2,... mit s n ≥ t n und
lim n→∞ s n = t
lim r(x n(s n ), x(t)) = 0.
n→∞
(iii) Ist lim n→∞ r(x n (t n ), x(t−)) = 0, dann gilt für jede Folge (s n ) n=1,2,... mit s n ≤ t n und
lim n→∞ s n = t
lim r(x n(s n ), x(t−)) = 0.
n→∞
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