Vorlesungsskript - Mathematik

(d) f heißt bijektiv (und Bijektion), wenn f injektiv und surjektiv ist, d.h., jedes y ∈ Ngenau ein Urbild hat, wenn also gilt∀y∈N∃ ! f(x) = y .x∈MIn diesem Fall erhält man eine wohldefinierte Abbildungf −1 : N → My ↦→ x mit f(x) = yd.h., das Urbild von yf −1 heißt inverse Abbildung zu f oder die Umkehrabbildung von f.Beispiele 2.5(a) f : {a, b, c} → {1, 2}a ↦→ 1b ↦→ 2c ↦→ 1ist surjektiv, aber nicht injektiv.(b) f : R → R ist bijektiv.x ↦→ x 3(c) f : N → N istx ↦→ x 3injektiv, aber nicht surjektiv.Definition 2.6 Sei f : M → N eine Abbildung.(a) Für U ⊆ M heißtdas Bild von U unter f.(b) Für V ⊆ N heißtdas Urbild von V unter f.f(U) := {y ∈ N | ∃x∈Uf(x) = y} = {f(x) | x ∈ U}f −1 (V ) = {x ∈ M | f(x) ∈ V }Wir schreiben auch f −1 (y) statt f −1 ({y}) für ein y ∈ N.Beachte: In (b) setzen wir nicht voraus, dass f bijektiv ist und eine Umkehrabbildung f −1existiert. Ist f aber bijektiv, mit Umkehrabbildung g = f −1 , so ist für V ⊆ Nf −1 (V ) (nach Definition (b))= g(V ) (nach Definition (a)).Bemerkung 2.7 Für eine Abbildung f : M → N giltf surjektiv ⇔ f(M) = N .Beispiele 2.8 Wir betrachten die Beispiele von 2.5(a) Für f : {a, b, c} → {1, 2}a ↦→ 1b ↦→ 2c ↦→ 1ist f({a, b}) = {1, 2}, f({a, c}) = {1}, f −1 (1) = {a, c}, f −1 (2) = {b}.9