Vorlesungsskript - Mathematik

heißt auch bilineare Abbildung oder Bilinearform auf V . Zum Beispiel ist das Skalarproduktϕ : R n × R n → R(x, y) ↦→∑< x, y >= n x i y ieine Bilinearform auf R n .Definition 14.5 Eine m-lineare Form ϕ : V m → K heißt symmetrisch (bzw. antisymmetrisch),wenn für alle i < j giltϕ(v 1 , . . . , v i , . . . , v j , . . . , v n ) = ϕ(v 1 , . . . , v j , . . . , v i , . . . , v n )(bzw. = −ϕ(v 1 , . . . , v j , . . . , v i , . . . , v n )) .i=1Bemerkung 14.6 (i) Das Skalarprodukt auf R n ist symmetrisch.(ii) Eine alternierende m-lineare Form ist anti-symmetrisch: Für i < j ist0 = ϕ(v 1 , . . . , v i + v j , . . . , v i + v j , . . . , v n )= ϕ(v 1 , . . . , v i , . . . , v j , . . . , v n ) + ϕ(v 1 , . . . , v j , . . . , v i , . . . , v n )da ϕ m-linear und alternierend ist.(iii) Ist 1 + 1 = 0 in K (man sagt hierzu, dass die Charakteristik von K gleich 2 ist: charK = 2), so sind die anti-symmetrischen Formen gleich den symmetrischen (−1 = +1!),und nicht notwendig alternierend( Beispiel ?).Ist char K ≠ 2 (also 2 = 1 + 1 ≠ 0), so sind die alternierenden m-linearen Formen gleichden anti-symmetrischen:ϕ anti-symmetrisch ⇒ 2 · ϕ(v 1 , . . . , v i , . . . , v i , . . . , v m ) = 0⇒ ϕ(v 1 , . . . , v i , . . . , v i , . . . , v m ) = 0 .Proposition 14.7 Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und sei b = (b 1 , . . . , b n ) eineBasis von V . Dann gibt es höchstens eine alternierende n-lineare Formmit ϕ(b 1 , . . . , b n ) = 1.ϕ : V n → KBeweis Seien ϕ, ϕ ′ zwei solche Formen, und seien v 1 , . . . , v n ∈ V . Dann gibt es a ij ∈ Kmitn∑v i = a ij b j , i = 1, . . . , n ,und es istj=1ϕ(v 1 , . . . , v n ) =∑ϕ( n n∑a 1j1 b j1 , . . . , a 1jn b jn )=j 1 =1∑j n =1a 1j1 . . . a njn ϕ(b j1 , . . . , b jn ) ,(j 1 ,...,j n )∈{0,...,n} nentsprechend für ϕ ′ . Also ist ϕ durch die Werte auf den Tupeln (b j1 , . . . , b jn ) bestimmt.Es ist aber ϕ(b j1 , . . . , b jn ) = 0, falls dasselbe b i zweimal vorkommt, da ϕ alternierend ist;90